第十二章 复数（B卷•能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（苏教版2019必修第二册）

第十二章   复数（B卷•能力提升练）

本试卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟。

一、单选题

1．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据复数模的计算公式及充分条件、必要条件的定义判断即可

【详解】由题意得，所以，

因为，所以，解得或，

故“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

2．已知为虚数单位，下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．实部为零的复数是纯虚数

C．可能是实数 D．复数的虚部是

【答案】C

【分析】根据复数的概念即可求解.

【详解】A.，说法不正确；

B.实部为零的复数可能虚部也为零，从而是实数，说法不正确；

C.当时，是实数，说法正确；

D.复数的虚部是1，说法不正确.

故选：.

3．已知i是虚数单位，若，则（    ）

A．1 B． C． D．3

【答案】C

【分析】根据复数的除法运算，化简，进而即可求出答案.

【详解】因为，

所以．

故选：C.

4．已知方程在复数范围内有一根为，其中i为虚数单位，则复数在复平面上对应的点在（    ）．

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】把代入已知方程，结合复数的运算及复数相等条件可求，再由复数几何意义可求．

【详解】解：因为方程在复数范围内有一根为，

所以，整理得，

所以，

则复数在复平面上对应的点在第二象限．

故选：B．

5．已知复数满足，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】A

【分析】设，根据求得，根据求得代入运算，再根据模长公式即可求解.

【详解】设，

因为，所以，

解得或

所以或.

因为，所以

当时，

，则；

当时，

，则；

故选：A

6．设为实数，若存在实数，使得为实数（为虚数单位），则的取值范围是（   ）

A．  B．  C．  D．

【答案】C

【分析】由题知关于的方程有实数根，进而得，再解不等式即可得答案.

【详解】解：由题知，，

因为存在实数，使得为实数，

所以关于的方程有实数根，

所以，有实数根，

所以，即

所以，的取值范围是

故选：C

7．若复数，其中是虚数单位，则的最大值为（    ）

A． B．2 C． D．3

【答案】C

【分析】根据题意，结合复数的几何意义，画出图形，即可得到结果.

【详解】

由题意可得，对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上，对应的点为，如上图所示，则

故选:C

8．已知复数，则“”是“”的（    ）条件.

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】当时，即，，充分性；取，则，，不必要，得到答案.

【详解】设，，当时，即，

，充分性；

取，则，，不必要性.

综上所述：“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

二、多选题

9．在复平面内，复数，正确的是（    ）

A．复数的模长为1

B．复数在复平面内对应的点在第二象限

C．复数是方程的解

D．复数满足

【答案】AC

【分析】根据复数的除法运算法则化简复数得，进而可判断AB,将代入方程中即可验证C，根据复数的几何意义即可判断D.

【详解】由得，则

对于A,，故A正确，

对于B, 复数在复平面内对应的点为，故该点位于第四象限，故B错误，

对于C, ,故是的复数根，故C正确，

对于D，设复数对应的向量为到,复数对应的向量为,由得的距离为1，故复数对应点的在以为圆心，半径为1的圆上，故的最大值为，故D错误，

故选：AC

10．下列关于非零复数，的结论正确的是（    ）

A．若，互为共轭复数，则 B．若，则，互为共轭复数

C．若，互为共轭复数，则 D．若，则，互为共轭复数

【答案】AC

【分析】根据题意，设，根据共轭复数的定义，结合复数的运算，对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】设，由，互为共轭复数，得，则，故A正确．

当，时，，此时，，不是共轭复数，则B错误．

由，互为共轭复数，得，从而，即，则C正确．

当，时，，即，此时，，不是共轭复数，则D错误．

故选:AC

11．已知，下列命题中正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】ABCD

【分析】利用复数问题实数化可证各选项中的等式均成立.

【详解】设，则，

故，

同理，故A成立.

，而，

故，故B成立.

，

而且，

故，故成立，

同理，故C成立.

,

，故D成立.

故选：ABCD.

12．已知复数是关于x的方程的两根，则下列说法中正确的是（    ）

A． B． C． D．若，则

【答案】ACD

【分析】在复数范围内解方程得，然后根据复数的概念、运算判断各选项．

【详解】，∴，不妨设，，

，A正确；

，C正确；

，∴，时，，B错；

时，，，计算得，

，，同理，D正确．

故选：ACD．

三、填空题

13．设、为复数，为正实数，则下列命题一定成立的有__________个.

①如果，那么；

②如果，那么；

③如果，那么；

④如果，，那么.

【答案】2

【分析】利用特殊值判断①、②，根据复数的模及复数代数形式的乘法运算判断③，根据复数的几何意义判断④.

【详解】对于①，如果，，则，所以不正确．

对于②，如果，，则，那么不正确．

对于③，令，则，如果，即，

则，故③正确；

对于④，因为，则在复平面内表示以坐标原点为圆心，为半径的圆上的点，

，则在复平面内表示以为圆心，为半径的圆上的点，

表示、的距离，所以，

，

即，故④正确；

即正确的有个.

故答案为：

14．复数与复数在复平面上对应点分别是，则tan∠AOB＝______．

【答案】1

【分析】根据复数运算法则可得两点的坐标，再根据两角和的正切公式即可算出.

【详解】根据复数运算法则可得，

所以与对应的点的坐标为，如下图所示：

易知；

则.

故答案为：1

15．若为虚数单位，复数，且，则实数______．

【答案】

【分析】先将化简，由可知，复数的虚部为0，再可知复数的实部的绝对值范围，再将的值代入验证即可.

【详解】

，

，

解得或或，

，

，

当时，，不符合题意；

当时，，不符合题意；

当时，，符合题意；

所以；

故答案为:.

16．若关于x的方程无实根，则实数p的取值范围是______．

【答案】

【分析】将方程化为，由方程有实数根求出p的范围取其补集作答.

【详解】若方程无实根，即：无实根，

假定方程有实数根，而为实数，则，且，

解得或，因此原方程无实数根时，且，

故实数p的取值范围是.

故答案为：

四、解答题

17．已知是虚数单位，复数满足.

(1)求的最大值；

(2)若为实数，求复数．

【答案】(1)7

(2)或或

【分析】（1）根据题意，可知的轨迹为以为圆心，以2为半径的圆，表示点到的距离，结合几何意义求得结果；

（2）根据为实数，列出等量关系式，求得结果.

【详解】（1）设复数，则，

即，

∴复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，

如图

∴的几何意义为圆上的点到点的距离，

则的最大值为.

（2），

由为实数，得，则或，

若，则，又，得或，即（舍）或；

若，又，即，

解得，，即或.

∴或或.

18．已知复数，．

(1)若是实数，求的值．

(2)若是纯虚数，求的值．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）由题意可知虚部为0，解一元二次方程即可；

（2）由题意可知实部为0，虚部不为0，解方程组即可.

【详解】（1）因为为实数，所以，解得或；

（2）因为是纯虚数，所以有，解得.

19．已知复数，．

(1)若是纯虚数，求的值；

(2)若复数在复平面内对应的点在直线上，求a的值．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据纯虚数求出的值，然后利用复数的模长公式即可.

（2）利用复数的四则运算求出对应点的坐标，代入即可.

【详解】（1）∵，∴要使是纯虚数，需满足

∴，．∴.

（2）∵，

∴复数在复平面内对应的点为．∴．

∴，解得或．

20．已知复数，其中为虚数单位，.

(1)若为实数，求的值；

(2)若复数在复平面内对应的点在直线上，求的值.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）根据复数的概念列出方程，解方程即可求解；

（2）根据复数的几何意义列出方程，解之即可求解.

【详解】（1）若为实数，

则有，得或.

（2）若复数在复平面内对应的点在直线上，

则，得.

21．在复平面内，若复数对应的点：（1）在虚轴上；（2）在第二象限；（3）在的图象上，分别求实数的取值范围．

【答案】（1）或；（2）；（3）．

【分析】根据复数的定义与性质根据已知列式得出答案；

（1）当复数在虚轴上时，其实部为0，列式即可解出答案；

（2）当复数在第二象限时，其实部小于0，虚部大于0，列式即可解出答案；

（3）当复数在的图象上时，其实部等于虚部，列式即可解出答案.

【详解】复数的实部为，虚部为．

（1）由题意得，解得或；

（2）由题意，得，解得；

（3）由已知得，解得．

22．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667—1754年）创立．指的是设两个复数（用三角函数形式表示），，则．已知的辐角主值为，的辐角主值为，利用棣莫弗定理猜测的辐角，并证明．

【答案】；证明见解析

【分析】利用复数的代数形式的四则运算，结合三角函数的平方关系与和差公式进行证明即可.

【详解】猜想的辐角为，证明如下：

依题意，得，，

所以

，

故的辐角主值为，则其辐角为.