第2章 圆锥曲线【过习题】- 2022-2023学年高二数学单元复习（沪教版2020年选择性必修第一册）

这是一份第2章 圆锥曲线【过习题】- 2022-2023学年高二数学单元复习（沪教版2020年选择性必修第一册），文件包含第2章圆锥曲线过习题解析版docx、第2章圆锥曲线过习题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。
单元复习 第2章 圆锥曲线

1．已知A(2,-1)，B(-1,1)，O为坐标原点，动点P满足OP=mOA+nOB，其中m、n∈R，且2m2-n2=2，则动点P的轨迹是（    ）
A．焦距为3的椭圆 B．焦距为23的椭圆
C．焦距为3的双曲线 D．焦距为23的双曲线
【答案】D
【分析】动点P(x,y)，由OP=mOA+nOB得到m=x+y，n=x+2y，进而得到2(x+y)2-(x+2y)2=2，化简可得答案.
【详解】设动点P(x,y)，因为点P满足OP=mOA+nOB，其中m、n∈R，
且2m2-n2=2，所以(x,y)=(2m-n,n-m)，所以x=2m-n，y=n-m，
所以m=x+y，n=x+2y，所以2(x+y)2-(x+2y)2=2，
即x22-y2=1，表示焦距为23的双曲线.
故选：D
2．已知直线的参数方程为x=3-tsin20∘y=2+tcos70∘，则该直线的倾斜角为（    ）
A．20∘ B．45∘ C．110∘ D．135∘
【答案】D
【分析】根据直线参数方程可确定斜率，由斜率和倾斜角关系可得结果.
【详解】由参数方程可知：直线斜率k=y-2x-3=cos70∘-sin20∘=-1，∴直线倾斜角为135∘.
故选：D.
3．圆心为1,1且与直线 x-y+3=0相切的圆的标准方程是__．
【答案】x-12+y-12=92
【分析】根据圆与直线相切得出圆心到直线的距离，即可求出圆的标准方程.
【详解】由题意，圆的圆心为1,1且与直线 x-y+3=0相切，
∴圆心到直线的距离d=1-1+312+12=32=322，
∴圆的标准方程为x-12+y-12=92.
故答案为：x-12+y-12=92.
4．双曲线C的实轴长为6，且C的一条渐近线方程为3x+y=0，则C的方程为__．
【答案】x29-y281=1或y29-x2=1
【分析】分别讨论当焦点在x轴和在y轴的情况，结合双曲线的渐近线方程即可求解.
【详解】由题意得2a=6，所以a=3，
当焦点在x轴上时，设方程为x29-y2b2=1，
又C的一条渐近线方程为3x+y=0，所以b3=3，所以b=9，
故C的方程为x29-y281=1；
当焦点在y轴上时，设方程为y29-x2b2=1，
又C的一条渐近线方程为3x+y=0，所以3b=3，所以b=1，
故C的方程为y29-x2=1；
综上，C的方程为x29-y281=1或y29-x2=1.
故答案为：x29-y281=1或y29-x2=1.
5．F1,F2是椭圆x216+y24=1的两个焦点，P是椭圆上的一点，则△F1PF2的周长是__．
【答案】43+8
【分析】根据椭圆定义可得△F1PF2的周长为2a+2c，代入数值即得结果.
【详解】根据椭圆定义可得△F1PF2的周长为为2a+2c，
所以△F1PF2的周长为PF1+PF2+F1F2=2a+2c=43+8
故答案为: 43+8
6．直线l：2x-y+5=0与圆C：x2+y-52=18交于A，B两点，则AB=______.
【答案】62
【分析】由已知得出圆心、半径.又可得圆心到直线l的距离d=0，即直线l过圆心，即可得出弦长AB.
【详解】由已知可得，圆心C0,5，半径r=18=32.
圆心C0,5到直线l的距离d=2×0-5+522+-12=0，
所以直线l过圆心，
所以AB=2r=62.
故答案为：62.
7．一个半径为1的球置于水平地面上，受到与水平地面夹角为60°的太阳光线照射，球在地面的影子边沿是一个椭圆，则椭圆的焦距等于______.
【答案】233##233
【分析】如图，根据题意可得椭圆的短半轴长b是圆的半径R，椭圆长轴长2a是DE，求出a，进而可求出焦距.
【详解】如图：在照射过程中，椭圆的短半轴长b是圆的半径R，
故b=1，椭圆长轴长2a是DE，
过D向AE作垂线，垂足为C，则CD=AB=2R=2，
∴2a=DE=CDsin60°=232=433，所以a=233，
故焦距2c=2a2-b2=233.
故答案为：233.

8．已知点P是曲线1-x2-y=0上的动点，则点P到直线3x-4y-10=0距离的取值范围是______．
【答案】75,3
【分析】作出曲线的图像，数形结合判断并计算点P到直线的最大距离和最小距离.
【详解】1-x2-y=0即x2+y2=1y≥0，
所以曲线1-x2-y=0是圆心为(0,0)半径为1是圆的上半部分，
如图，点P是曲线1-x2-y=0上的动点，

则点P到直线3x-4y-10=0距离的最大值为原点到直线距离加上圆的半径，即1032+42+1=3，
点P为1,0时到直线3x-4y-10=0的距离最小，最小值为|3-10|32+42=75．
则点P到直线3x-4y-10=0距离的取值范围是75,3．
故答案为：75,3
9．圆x2+y2=4上的点到直线4x-3y+25=0的距离的最小值是__．
【答案】3
【分析】由圆心到直线的距离减去半径求解即可.
【详解】圆x2+y2=4的圆心坐标为(0,0)，半径为2，
圆心到直线4x-3y+25=0的距离d=|25|42+32=5>2，
所以圆x2+y2=4上的点到直线4x-3y+25=0的距离的最小值是5-2=3．
故答案为：3
10．一动圆与圆x2+y2+4x=0外切，同时与圆x2+y2-4x-60=0内切，则动圆圆心的轨迹方程为______．
【答案】x225+y221=1
【分析】根据两圆位置关系得动圆圆心到两已知圆心距离和为定值，再根据椭圆的定义即得.
【详解】圆x2+y2+4x=0，即x+22+y2=4，圆心为A(-2,0)，r1=2，
圆x2+y2-4x-60=0，即x-22+y2=64，圆心为B(2,0)，r2=8，
设动圆的圆心为P，半径为r，
由题意得|PA|=r+2，|PB|=8-r，
则PA+PB=10>AB=4，
所以动圆的圆心为P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆，
可设方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，则2a=10，c=2，
所以a=5，b2=21，
所以动圆圆心的轨迹方程为x225+y221=1.
故答案为：x225+y221=1.
11．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC，|AB|=|AC|，点B(-1,1)，点C(3,5)，过其“欧拉线”上一点P作圆O:x2+y2=4的两条切线，切点分别为M、N，则|MN|的最小值为______.
【答案】22
【分析】根据欧拉线的性质，结合直线斜率公式、锐角三角函数的定义、圆的切线性质进行求解即可.
【详解】因为|AB|=|AC|，所以BC边上的垂线，中线，中垂线为一条，
设BC中点为D，则AD即为“欧拉线”.
由B(-1,1)，点C(3,5)，得D(1,3)，kBC=5-13-(-1)=1，所以kAD=-1，
AD:y-3=-1×(x-1)，化简得y=-x+4.
OP⊥MN，设O到MN距离为d，即|OH|=d.
设∠POM=θ，则在△OMP中，cosθ=r|OP|，在△OHM中cosθ=|OH||OM|=dr，
所以r|OP|=dr，得d=r2|OP|=4|OP|，当OP⊥AD时，|OP|最小.
O(0,0)，|OP|最小值为|4|1+1=22，所以d最大值为2.
|MN|=2r2-d2，当d最大时|MN|最小，所以|MN|最小值为24-2=22.
故答案为：22

12．已知圆C：x-22+y2=1.
(1)判断直线y=x与圆的位置关系并说明理由；
(2)过点3,2向圆作切线，求切线的方程.
【答案】(1)相离
(2)x=3和3x-4y-1=0
【分析】（1）根据圆心到直线的距离即可判断直线y=x与圆的位置关系.
（2）分别讨论切线的斜率存在和不存在的情况，根据圆心到切线的距离等于半径求解即可.
【详解】（1）圆C：x-22+y2=1，圆心C2,0，半径r=1，
圆心C2,0到直线y=x的距离d=22=2>1，
所以直线与圆的位置关系为相离.
（2）当切线的斜率不存在时，设切线为x=3，
则圆心C2,0到直线x=3的距离d=2-3=1=r，符合条件.
当切线的斜率存在时，设切线为：y-2=kx-3，即kx-y+2-3k=0，
圆心C2,0到直线kx-y+2-3k=0的距离d=2k+2-3kk2+1=1，
解得k=34，即切线为：3x-4y-1=0.
综上切线为：x=3和3x-4y-1=0
13．已知圆C:x2+y2+mx-2y-2=0(m∈R)，其圆心在直线x+y=0上．
(1)求m的值；
(2)若过点(1,4)的直线l与C相切，求l的方程．
【答案】(1)m=2；
(2)x=1或5x-12y+43=0.
【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心，代入直线方程即可求解；
（2）对直线的斜率是否存在讨论.若存在，设直线l的方程为：y-4=kx-1，利用圆心到直线的距离即可求解.
【详解】（1）圆C的标准方程为：x+m22+(y-1)2=3+m24，
所以，圆心为-m2,1.
由圆心在直线x+y=0上，得m=2.
所以，圆C的方程为：(x+1)2+(y-1)2=4.
（2）当直线l的斜率不存在时，即l方程为x=1，此时直线与圆相切；
当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为：y-4=kx-1，
即kx-y-k+4=0，
由于直线l和圆C相切，得-k-1-k+4k2+1=2k-3k2+1=2，
解得：k=512，代入整理可得5x-12y+43=0.
所以，直线方程为：x=1或5x-12y+43=0.
14．已知点A4,0到等轴双曲线x2-y2=a2a>0上的点的最短距离为5，求此双曲线的标准方程．
【答案】x23-y23=1或x221+85-y221+85=1.
【分析】设点利用两点间距离公式，结合配方法进行求解即可.
【详解】设P(x0,y0)是等轴双曲线x2-y2=a2a>0上的点，即x02-y02=a2，
PA=(x0-4)2+y02=(x0-4)2+x02-a2=2(x0-2)2+8-a2，
当02，所以解得a=4+5，此时双曲线的标准方程为：x221+85-y221+85=1，
综上所述：双曲线的标准方程为x23-y23=1或x221+85-y221+85=1.
15．设t为实数，若关于x,y的方程x23-t+y2t-1=1表示的是曲线C，求满足下列条件的t的取值范围．
(1)曲线C是椭圆；
(2)曲线C是焦点在y轴上的双曲线．
【答案】(1)(1,2)∪(2,3)
(2)(3,+∞)

【分析】由椭圆及双曲线的定义列不等式求解即可
【详解】（1）由题意知3-t>0t-1>03-t≠t-1，解得t∈(1,2)∪(2,3)
（2）由题意知y2t-1-x2t-3=1，则t-3>0t-1>0，解得t∈(3,+∞)


16．已知抛物线C:y2=2px(p>0)，位于第一象限的A、B两点在抛物线C上，焦点为F，FA=5,BF=7,AB=4，则直线AB的倾斜角等于___________．
【答案】π3##60°
【分析】设A、B在准线上的射影分别为M、N，过A作AH⊥BN于H，在Rt△ABH中结合抛物线定义，即可求得∠ABH，即可得倾斜角.
【详解】如图，设A、B在准线上的射影分别为M、N，

由抛物线定义得AM=5，BN=7，过A作AH⊥BN于H，
在Rt△ABH中，AB=4，BH=BN-AM=2，所以cos∠ABH=BHAH=12，∠ABH=π3.
则直线AB的倾斜角为π3．
故答案为：π3.
17．已知抛物线C:y2=2px过点A(1,1).直线MN与拋物线C交于M,N两个不同点(均与点A不重合)，设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2且k1+k2=3，则直线MN过定点________（请写出定点的坐标）.
【答案】(13,-23)
【分析】代入点A(1,1)可求得抛物线的方程为y2=x，设直线MN的方程为x=ty+m与y2=x联立消x，用韦达定理表示出k1+k2=3，可求出m,t的关系式，再化为点斜式方程即可得出定点.
【详解】依题意，
抛物线C:y2=2px，过点A(1,1)，得1=2p，即p=12，
得抛物线的方程为y2=x，设M(y12,y1)，N(y22,y2)，
直线MN的方程为x=ty+m，联立抛物线方程y2=x，
得y2-ty-m=0，Δ =t2+4m>0，y1+y2=t，y1y2=-m，
又A(1,1)，k1=y1-1y12-1=11+y1，k2=11+y2，
k1+k2=11+y1+11+y2=y1+y2+21+y1+y2+y1y2=t+21-m+t=3，得m=1+2t3，
则MN的方程为x=ty+1+2t3，即x=t(y+23)+13，
令y=-23，则x=13，得直线MN恒过定点(13,-23)．
故答案为：(13,-23).
18．动点P在曲线y=2x2+3上移动，则点P和定点A0,-1连线的中点的轨迹方程是__________.
【答案】y=4x2+1
【分析】设P(x1,y1)，点P和定点A0,-1连线的中点坐标为(x,y)，求出坐标之间的关系，结合y=2x2+3，即可求得答案.
【详解】设P(x1,y1)，点P和定点A0,-1连线的中点坐标为(x,y)，
则y1=2x12+3,又x=x12y=y1-12，∴x1=2xy1=2y+1，
代入y1=2x12+3得，2y+1=8x2+3，
∴y=4x2+1，即点P和定点A0,-1连线的中点的轨迹方程是y=4x2+1，
故答案为∶y=4x2+1．
19．已知F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，A为双曲线C上一点，直线AF⊥x轴，与双曲线C的一条渐近线交于B，若AB=AF，则C的离心率e=___________．
【答案】233##233
【分析】将x=c分别代入双曲线方程和渐近线方程求得AF，BF，由题意|BF|=2|AF|，由此求得c=2b，a=3b，从而得离心率.
【详解】由题意得F(c,0)，双曲线的渐近线方程为y=±bax，
由双曲线的对称性，不妨设A，B均为第一象限点，
将x=c代入双曲线方程x2a2-y2b2=1，得c2a2-y2b2=1，得y=±b2a，所以AF=b2a，
将x=c代入渐近线方程y=bax，得y=bca，所以BF=bca，
因为AB=AF，所以|BF|=2|AF|，
所以bca=2b2a，得c=2b，所以a=c2-b2=3b，
所以双曲线的离心率为e=ca=2b3b=233．
故答案为：233．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知圆A:(x-3)2+(y-33)2=9和圆O:x2+y2=r2(r>0)，且圆A和圆O相交于P,Q两点，若在直线PQ上存在一点R，使得RO⋅RA≤0，则r的取值范围是__．
【答案】(3,35]
【分析】求出两圆的圆心、半径.根据已知，可得O,A在直线PQ两侧或A在直线PQ上，进而即可得出r的取值范围.
【详解】由已知可得，圆A:(x-3)2+(y-33)2=9的圆心A3,33，半径r1=3；
圆O:x2+y2=r2(r>0)的圆心为O0,0，半径r2=r.
所以，OA=32+(33)2=6.
因为两圆相交，所以|r-3|b>0),a2-b2=c2，
双曲线方程为x2m2-y2n2=1(m,n>0),m2+n2=c2，
如下图，连接AF2、F2B，所以AF1BF2为平行四边形，
由∠AF1B=2π3得∠F1AF2=π3，设F1A=s,AF2=t，
在椭圆中，由定义可知：s+t=2a，
由余弦定理可知：
4c2=s2+t2-2stcosπ3⇒4c2=s2+t2-st=s+t2-3st⇒st=43b2，
S△F1AF2=12⋅st⋅32=33b2，
在双曲线中，由定义可知中：：t-s=2m，
由余弦定理可知：
4c2=s2+t2-2stcosπ3⇒4c2=s2+t2-st=t-s2+st⇒st=4n2，
S△F1AF2=12⋅st⋅32=3n2，
所以S△F1AF2=33b2=3n2⇒b2=3n2，
a2-c2=3c2-m2⇒3m2c2+a2c2=4≥23mac2，当且仅当a=3m时取等号，
所以c2ma≥32，
所以C1与C2的离心率之积的最小值为32．
故答案为：32

23．如图，双曲线k2x2-y2=1k>0的两条渐近线与圆x+22+y2=5在x轴的上方部分交于A，B两点.

(1)已知A，B两点的横坐标x1和x2恰为关于x的方程k2+1x2+bx+c=0的两个根，求b，c的值；
(2)如果线段AB的长为2，求k的值.
【答案】(1)b=4,c=-1；
(2)k=2.
【分析】（1）由题意可知双曲线的两条渐近线方程为y=±kx，与圆联立方程组，消去y，得到关于x的方程，再根据A，B两点的横坐标x1和x2为方程的两个根，从而可求出b,c；
（2）由题意得A(x1,-kx1),B(x2,kx2)，再根据两点间的距离公式和根与系数的关系可求出k的值.
【详解】（1）由题意可知双曲线的两条渐近线方程为y=±kx，
由y=±kxx+22+y2=5，得(x+2)2+k2x2=5，
化简得(k2+1)x2+4x-1=0，
因为A，B两点的横坐标x1和x2恰为关于x的方程k2+1x2+bx+c=0的两个根，
所以b=4,c=-1；
（2）由题意得A(x1,-kx1),B(x2,kx2)，
所以AB=(x1-x2)2+k2(x1+x2)2=2，
所以(x1-x2)2+k2(x1+x2)2=4，
所以(1+k2)x12+(2k2-2)x1x2+(1+k2)x22=4，
即(1+k2)(x12+x22)+(2k2-2)x1x2=4，
即(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=4，
由（1）可知x1+x2=-4k2+1,x1x2=-1k2+1 ，
所以(1+k2)16(k2+1)2+4×1k2+1=4，
化简得k2+1=5，解得k=2或k=-2（舍去）.
24．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，M3,0，已知平行四边形OMNP两条对角线的长度之和等于4．

(1)求动点P的轨迹方程；
(2)过M3,0作互相垂直的两条直线l1、l2，l1与动点P的轨迹交于A、B，l2与动点P的轨迹交于点C、D，AB、CD的中点分别为E、F；证明：直线EF恒过定点，并求出定点坐标；
(3)在（2）的条件下，求四边形ACBD面积的最小值．
【答案】(1)x24+y2=1(y≠0)
(2)证明见解析，定点(435,0)
(3)3225．

【分析】(1)根据几何位置关系可得PM+PM1=4，再根据椭圆定义求解；
(2)利用韦达定理表示出E,F坐标，从而表示出EF的直线方程即可求解；
(3)利用韦达定理表示出弦长AB,CD，进而可表示面积，利用二次函数的性质可求面积的最小值.
【详解】（1）
取点M1(-3,0)，则有M1O∥PN，所以四边形M1ONP是平行四边形，
所以PM1=ON，因为PM+ON=4，所以PM+PM1=4，
所以动点P的轨迹为椭圆（左右顶点除外），所以2a=4，c=3，
所以b2=a2-c2=1，所以动点P的轨迹方程为x24+y2=1(y≠0)．
（2）当l1垂直于x轴时，AB的中点E(3,0)，
直线l2为x轴，与椭圆x24+y2=1(y≠0)，无交点，不合题意，
当直线l1不垂直于x轴时，不妨设直线l1的方程为y=k(x-3)(k≠0)，
A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由y=k(x-3)x2+4y2=4，得(1+4k2)x2-83k2x+12k2-4=0，
所以△=(-83k2)2-4(4k2+1)(12k2-4)=16(1+k2)>0，
所以x1+x2=83k24k2+1，x1x2=12k2-44k2+1，
所以y1+y2=k(x1+x2)-23k=83k31+4k2-23k=-23k1+4k2，
所以E(43k24k2+1,-3k4k2+1)，
因为l1⊥l2，以-1k代替k，得F(43k2+4,3kk2+4)，
所以直线EF的斜率为kEF=3kk2+4+3k4k2+143k2+4-43k24k2+1=5k4(1-k2)(k≠±1)，
所以直线EF的方程为y+3k4k2+1=5k4(1-k2)(x-43k24k2+1)(k≠±1)，
由椭圆的对称性得，若存在这样的定点必在x轴上，
令y=0，则3k4k2+1=5k4(1-k2)(x-43k24k2+1)，
所以x=163k2+435(4k2+1)=43(4k2+1)5(1+4k2)=435，
所以直线EF恒过定点(435,0)，
当k=±1时，E(435,-35)，F(435,35)，
所以直线EF恒过定点(435,0)，
综上所述，直线EF恒过定点(435,0)．
（3）由（2）得x1+x2=83k24k2+1，x1x2=12k2-44k2+1，
所以|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2
=1+k2192k4(4k2+1)2-4⋅12k2-44k2+1=4(1+k2)4k2+1，
同理可得|CD|=4(1+k2)k2+4，
所以四边形ACBD的面积S=12|AB||CD|=8(1+k2)2(4k2+1)(k2+4)，
令t=k2+1，则t>1，
所以S=8t2(4t-3)(t+3)=8t24t2+9t-9=8-9t2+9t+4=8-(3t)2+3⋅3t+4，
因为t>1，所以00，过点M(m,0)作直线与曲线C相交于A，B两点，问是否存在实数m使∠AFB为钝角？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)y2=8x
(2)S(a)=26+4a2，值域为(26,+∞)
(3)存在，m的取值范围为(6-42,2)∪(2,6+42)
【分析】（1）由抛物线通径的长，可求p的值，得抛物线方程；
（2）用点和方向向量表示出直线，与抛物线联立方程组，由S△FAB=12|MF|⋅|y1-y2|结合韦达定理求解.
（3）设出直线方程代入抛物线方程，因为∠AFB为钝角，所以FA⋅FB0)的焦点为Fp2,0，不妨设点P1在x轴上方，
由题意可得P1p2,p,P2p2,-p，得|P1P2|=2p=8，所以抛物线C的方程为y2=8x；
（2）直线方程为y=a(x-3)，由y2=8xy=a(x-3)，得ay2-8y-24a=0a≠0，
△=64+96a2>0恒成立.
设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1+y2=8a,y1y2=-24，由（1）知，F2,0，所以MF=1，
S△FAB=12|MF|⋅|y1-y2|=12|MF|⋅y1-y22-4y1y2=24+6a2|a|=26+4a2，
所以S(a)=26+4a2.
4a2>0，S(a)=26+4a2>26，
所以S(a)的值域为(26,+∞).
（3）设所作直线的方向向量为d=(b,1)，则直线方程为by=x-m
由y2=8xby=x-m，得y2-8by-8m=0，
设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1+y2=8b，y1y2=-8m.
又F(2,0)，则FA=(x1-2,y1),FB=(x2-2,y2)，
因为∠AFB为钝角，所以FA⋅FB0)的焦点坐标为2,0，则p的值为___________.
【答案】4
【分析】利用抛物线的标准方程得到焦点坐标，从而求得p值.
【详解】因为抛物线y2=2px(p>0)，
所以抛物线的焦点坐标为p2,0，
又因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为2,0，
所以p2=2，则p=4.
故答案为：4.
28．（2022·上海宝山·统考一模）已知O为坐标原点，点A1,1在抛物线C：x2=2pyp>0上，过点B0,-1的直线交抛物线C于P、Q两点：①抛物线C的准线为y=-12；②直线AB与抛物线C相切；③OP⋅OQ>OA2；④BP⋅BQ=BA2，以上结论中正确的是（    ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】B
【分析】根据题意求出抛物线C方程，再假设出直线AB的直线方程，联立方程和利用韦达定理即可判断得出答案．
【详解】将点A1,1代入抛物线方程，可得p=12，故抛物线C的准线为y=-14，①错误；
抛物线C方程为x2=y，令fx=x2，f'1=2=kAB，抛物线在A点处切线斜率与直线AB斜率相同，因此直线AB与抛物线C相切，②正确；
由题可知OA2=2，直线PQ斜率存在，所以设直线PQ的方程为y=kx-1，交点Px1,x12，Qx2,x22，联立方程x2=yy=kx-1，整理可得：x2-kx+1=0
Δ=k2-4>0⇒k2>4，且x1+x2=k，x1x2=1
OP⋅OQ=x12+x14⋅x22+x24=x1x22+x12x24+x14x22+x1x24=x1x22+x12x22x12+x22+x1x24 =x1x22+x12x22x1+x22-2x1x2+x1x24=k2
因为k2>4，所以k2>2=OA2，③正确；
BP⋅BQ=x12+y1+12⋅x22+y2+12=1+k2x1⋅1+k2x2=1+k2x1x2=1+k2
因为k2>4，所以BP⋅BQ=1+k2>5
BA2=1-02+1+12=5，所以BP⋅BQ>BA2，④错误
故选：B．
29．（2023·上海静安·统考一模）已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为33，它的上顶点为A，左、右焦点分别为F1-c,0，F2c,0（常数c>0），直线AF1，AF2分别交椭圆Γ于点B，C．O为坐标原点．

(1)求证：直线BO平分线段AC；
(2)如图，设椭圆Γ外一点P在直线BO上，点P的横坐标为常数m（m>a），过P的动直线l与椭圆Γ交于两个不同点M、N，在线段MN上取点Q，满足MPPN=MQQN，试证明点Q在直线2mx+2my-6c2=0上．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由离心率e=ca=33，将a，b均用c表示，求出直线AF1的方程，与椭圆方程联立求得点B坐标，即可得到直线BO的方程，根据椭圆的对称性，求出点C的坐标，再证出AC中点在直线BO上即可；
（2）设Mx1,y1，Nx2,y2和MPPN=MQQN=λ，用线段定比分点坐标公式将P，Q坐标表示出来，并代入 2mx+2my-6c2=0，结合P的横坐标为m和M，N在椭圆上，进行运算证明即可.
【详解】（1）由题意，e=ca=33，则a=3c，b=a2-c2=3c2-c2=2c，∴A0,2c，
∴椭圆Γ方程为x23c2+y22c2=1，即2x2+3y2=6c2，
∴直线AF1的斜率kAF1=2c-00--c=2，直线AF1的方程为y=2x+c，
联立2x2+3y2=6c2,y=2x+c,消去y，化简得2x2+3cx=0，解得xA=0，xB=-32c，
即点B的横坐标为xB=-32c，代入直线AF1的方程，得B-32c,-22c，
∴直线BO的斜率kOB=-22c-0-32c-0=23，直线BO的方程为y=23x，
∵B-32c,-22c，∴由椭圆的对称性知C32c,-22c，
又∵A0,2c，∴线段AC的中点坐标为34c,24c，
∵23×34c=24c，∴线段AC的中点34c,24c在直线BO：y=23x上，
即直线BO平分线段AC.
（2）设过点P的直线l与椭圆Γ交于两个不同点的坐标为Mx1,y1，Nx2,y2，
∵M，N在椭圆Γ上，∴2x12+3y12=6c2，2x22+3y22=6c2
∵MPPN=MQQN，∴设MPPN=MQQN=λ，易知λ>0，且λ≠1，
则由已知，有MP=-λPN，MQ=λQN，
∴由线段定比分点坐标公式，有Px1-λx21-λ,y1-λy21-λ，Qx1+λx21+λ,y1+λy21+λ，
∵点P的横坐标为常数m（m>a），
∴x1-λx21-λ=m，
又∵点P在直线BO：y=23x上，∴y1-λy21-λ=23m，∴2m=3y1-λy21-λ，
将Qx1+λx21+λ,y1+λy21+λ代入2mx+2my，得
2mx+2my=2⋅x1-λx21-λ⋅x1+λx21+λ+3y1-λy21-λ⋅y1+λy21+λ
=2x12-λ2x221-λ2+3y12-λ2y221-λ2
=2x12+3y12-λ22x22+3y221-λ2
=6c2-6c2λ21-λ2
=6c21-λ21-λ2
=6c2，
即点Qx1+λx21+λ,y1+λy21+λ在直线2mx+2my-6c2=0上.

30．（2023·上海·统考模拟预测）已知椭圆Γ:x2m2+y23=1(m>0,m≠3)．
(1)若m=2，求椭圆Γ的离心率；
(2)设A1,A2为椭圆Γ的左右顶点，若椭圆Γ上一点E的纵坐标为1，且EA1⋅EA2=-2，求m的值；
(3)若P为椭圆Γ上一点，过点P作一条斜率为3的直线与双曲线y25m2-x25=1仅有一个公共点，求m的取值范围．
【答案】(1)12
(2)3
(3)3,3

【分析】（1）由椭圆的离心率定义即可得出答案；
（2）设A1-m,0,A2m,0，求出E点的坐标，表示出EA1,EA2，由数量积的定义求出EA1⋅EA2，即可求出m的值；
（3）设该直线为l:y=3x+b，直线l与双曲线y25m2-x25=1仅有一个公共点，讨论直线l与双曲线y25m2-x25=1的渐近线平行和直线l与双曲线y25m2-x25=1的渐近线不平行结合P为椭圆Γ上一点即可得出答案.
【详解】（1）当m=2时，椭圆Γ:x24+y23=1，焦点在x上，
则a2=4,b2=3,c2=a2-b2=1，则e=ca=12.
（2）因为A1,A2为椭圆Γ的左右顶点，所以A1-m,0,A2m,0，
令Γ:x2m2+y23=1中y=1，则x2m2+13=1⇒x2m2=23⇒x=±63m，
若E63m,1，EA1=-m-63m,-1,EA2=m-63m,-1，
EA1⋅EA2=-m-63mm-63m+1=-2，
解得：m=3.
若E-63m,1，EA1=-m+63m,-1,EA2=m+63m,-1，
EA1⋅EA2=-m+63mm+63m+1=-2，
解得：m=3.
（3）若P为椭圆Γ上一点，过点P作一条斜率为3的直线，
设该直线为l:y=3x+b，直线l与双曲线y25m2-x25=1仅有一个公共点，
①直线l与双曲线y25m2-x25=1的渐近线平行时，
则双曲线y25m2-x25=1的渐近线为：y=±mx，所以m=3.
因为P为椭圆Γ上一点，所以m>0,m≠3，所以不满足题意.
②直线l与双曲线y25m2-x25=1的渐近线不平行时，
y25m2-x25=1y=3x+b，则3-m2x2+23bx+b2-5m2=0，
则3-m2≠0△=23b2-43-m2b2-5m2=0，解得：b2=5m2-15≥0，
解得：m2≥3，因为m>0,m≠3，所以m>3.
又因为P为椭圆Γ上一点，所以x2m2+y23=1y=3x+b，则3+3m2x2+23bm2x+b2-3m2=0，
则△=23bm22-43+3m2b2-3m2≥0，解得：b2≤3m2+3，
所以5m2-15≤3m2+3，所以-3≤m≤3，综上所述：3b>0)的左､右焦点分别为F1､F2.
(1)以F2为圆心的圆经过椭圆的左焦点F1和上顶点B，求椭圆Γ的离心率；
(2)已知a=5,b=4，设点P是椭圆Γ上一点，且位于x轴的上方，若△PF1F2是等腰三角形，求点P的坐标；
(3)已知a=2,b=3，过点F2且倾斜角为π2的直线与椭圆Γ在x轴上方的交点记作A，若动直线l也过点F2且与椭圆Γ交于M､N两点（均不同于A），是否存在定直线l0:x=x0，使得动直线l与l0的交点C满足直线AM､AC､AN的斜率总是成等差数列？若存在，求常数x0的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)12
(2)答案见解析
(3)存在，x0=4，理由见解析

【分析】（1）由题意知a=2c，即可知离心率；
（2）分PF1=PF2，PF1=F1F2和PF2=F1F2三种讨论即可；
（3）设直线l:y=kx-1，联立椭圆方程得到韦达定理式，计算kAM+kAN，将韦达定理式整体代入，再计算kAC，得到方程即可.
【详解】（1）由题意得c2+b2=2c即a=2c，所以离心率e=ca=12.
（2）由题意得椭圆Γ:x225+y216=1
①当PF1=PF2时，由对称性得P0,4.
②当PF1=F1F2时，PF1=F1F2=6，故PF2=2a-PF1=4，设Px,y，
由F1-3,0,F2-3,0得x+32+y2=36x-32+y2=16⇒x2+6x+y2=27x2-6x+y2=7，
两式作差得x=53，
代入椭圆方程，得y=823（负舍），故P53,823
③当PF2=F1F2时，根据椭圆对称性可知P-53,823.
（3）由题意得椭圆Γ:x24+y23=1,F1-1,0,F21,0,A1,32.
设直线l:y=kx-1，
由y=kx-1x24+y23=1得4k2+3x2-8k2x+4k2-12=0.
设Mx1,y1,Nx2,y2，则x1+x2=8k24k2+3x1x2=4k2-124k2+3，
kAM+kAN=y1-32x1-1+y2-32x2-1=kx1-1-32x1-1+kx2-1-32x2-1
=2kx1x2-2k+32x1+x2+2k+3x1x2-x1+x2+1=2k⋅4k2-124k2+3-2k+32⋅8k24k2+3+2k+34k2-124k2+3-8k24k2+3+1=2k-1，
kAC=y0-32x0-1=kx0-1-32x0-1=k-32x0-1，
由2k-1=2k-3x0-1，得x0=4.

32．（2022·上海长宁·统考一模）已知抛物线Γ:y2=4x的焦点为F，准线为l；
(1)若F为双曲线C：x2a2-2y2=1（a>0）的一个焦点，求双曲线C的离心率e；
(2)设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在Γ上，若PFPE=22，求直线EP的方程；
(3)经过点F且斜率为kk≠0的直线l'与Γ相交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA,OB分别与l相交于点M，N；试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点；若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由；
【答案】(1)2
(2)x-y+1=0
(3)以线段MN为直径的圆C过定点1,0,-3,0，理由见详解

【分析】（1）先求抛物线的焦点坐标，再根据题意求双曲线的a,c，即可得离心率；（2）根据抛物线的定义进行转化分析可得∠MEP=π4，进而可得直线EP的倾斜角与斜率，利用点斜式求直线方程；（3）设直线l'的方程及A，B两点的坐标，进而可求M，N两点的坐标，结合韦达定理求圆C的圆心及半径，根据圆C的方程分析判断定点.
【详解】（1）抛物线Γ:y2=4x的焦点为F1,0，准线为l:x=-1，
双曲线C的方程为双曲线x2a2-2y2=1，即x2a2-y212=1，则b=22,c=a2+12，
由题意可知：c=a2+12=1，则a=22，
故双曲线C的离心率e=ca=2.
（2）由（1）可知：E-1,0，
过点P作直线l的垂线，垂足为M，则PF=PM，
∵sin∠MEP=PMPE=PFPE=22，且∠MEP∈0,π2，
∴∠MEP=π4，
故直线EP的倾斜角α=π4，斜率k=tanα=1，
∴直线EP的方程为y=x+1，即x-y+1=0.

（3）以线段MN为直径的圆C过定点1,0,-3,0，理由如下：
设直线l':y=kx-1,Ax1,y1,Bx2,y2，
联立方程y=kx-1y2=4x，消去y可得：k2x2-2k2+2x+k2=0，
则可得：x1+x2=2k2+2k2,x1x2=k2k2=1，
∵直线OA:y=y1x1x，当x=-1时，y=-y1x1，
∴M-1,-y1x1，
同理可得：N-1,-y2x2，
∵-y1x1+-y2x22=-kx1-1x1+kx2-1x22=-k2x1x2-x1+x22x1x2
=-k2-2k2+2k22=2k，
MN=-y1x1--y2x2=kx1-1x1-kx2-1x2=kx1-x2x1x2=kx1x2x1+x22-4x1x22
=k2k2+2k22-4=4k2+1k，
则线段MN为直径的圆C的圆心C-1,2k，半径r=12MN=2k2+1k，
故圆C的方程为x+12+y-2k2=4k2+1k2，整理得x2+y2+2x-3-4ky=0，
令y=0，则x2+2x-3=0，解得x=1或x=-3，
故以线段MN为直径的圆C过定点1,0,-3,0.
【点睛】思路点睛：
过定点问题的两大类型及解法：
(1)动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．
(2)动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．