第3章 空间向量及其应用【过习题】- 2022-2023学年高二数学单元复习（沪教版2020选择性必修第一册）

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单元复习 第3章 空间向量及其应用1．已知向量，，是空间不共面的三个向量，则下列可以表示空间任何向量的一组向量是（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】对于A，由，则是共面向量，即其不可以作为空间向量一个基底，故A错误；对于B，显然不是共面向量，即其可以作为空间向量一个基底，故B正确；对于C，由，则是共面向量，即其不可以作为空间向量一个基底，故C错误；对于D，由，则是共面向量，即其不可以作为空间向量一个基底，故D错误．即A，C，D选项都是共面向量，因此不能作为空间向量一个基底．故选：B．2．在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）．A． B．C． D．【答案】A【详解】因为在平行六面体中，，所以.故选：A.3．（2021秋·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）已知向量，且与互相垂直，则的值是__．【答案】##【详解】因为与互相垂直，所以，解得．故答案为：4．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则的值为______【答案】6【详解】因为平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，又因为，所以，可得，即得.故答案为：6.5．（2023春·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知不共面，，，，若，则______．【答案】【详解】由题意，向量不共面，，，，则因为，则，解得，所以.故答案为：.6．（2022秋·上海虹口·高二华东师范大学第一附属中学校考期末）在空间直角坐标系中，点关于yOz平面的对称点的坐标是______.【答案】【详解】关于yOz平面的对称点横坐标变为相反数，纵坐标和竖坐标保持不变，所以点关于yOz平面的对称点的坐标是，故答案为: .7．（2023秋·上海浦东新·高二校考期末）若，，则__________【答案】【详解】由，，则，故答案为：.8．（2023秋·上海浦东新·高二校考期末）已知点是点关于坐标平面yoz内的对称点，则__________【答案】3【详解】因为点是点关于坐标平面yoz内的对称点，所以点坐标为,所以，所以.故答案为：39．（2022春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是__．【答案】【详解】由题意可得：，所以向量在向量上的投影向量为．故答案为：.10．（2023秋·上海浦东新·高二校考期末）已知空间向量，则两向量的夹角是___________.【答案】【详解】则两向量的夹角是故答案为：11．（2022秋·上海静安·高二校考期末）设直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系为______.【答案】直线在平面内或平行于平面【详解】依题意，，则，所以直线与平面的位置关系是直线在平面内或平行于平面.故答案为：直线在平面内或平行于平面12．（2023秋·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期末）如图，在长方体中，设，，，则______．【答案】【详解】由故答案为：13．（2022秋·上海浦东新·高二校考期末）空间两点和间的距离为__．【答案】【详解】故答案为：.14．（2023秋·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期末）已知，，则___________.【答案】24【详解】因为，，所以.所以.故答案为：2415．（2022秋·上海虹口·高二华东师范大学第一附属中学校考阶段练习）已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为_________．【答案】##【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，可得，因为，则，所以，因为平面，平面，平面，平面，所以 平面， 平面，又，平面，所以平面 平面，所以平面与平面的距离等于点到平面的距离，设平面的法向量为，则，令，可得，所以，又因为，所以．所以平面与平面的距离为．故答案为：．16．（2023秋·上海青浦·高二上海市青浦高级中学校考期末）已知四面体的各棱长均为1，D是棱OA的中点，E是棱AB的中点，设，. (1)用向量、、表示、；(2)判断与是否垂直；(3)求异面直线BD与CE所成的角.【答案】(1)，(2)与不垂直(3) 【详解】（1）由题知， ，.（2）由（1）和题设知，，且两两的夹角为 ，所以，与不垂直.（3）设异面直线BD与CE所成的角为，则,又四面体的各棱长均为1，D是棱OA的中点，E是棱AB的中点，所以，,所以，因此，异面直线BD与CE所成的角为：.17．（2021秋·上海浦东新·高二上海师大附中校考期末）（1）已知O是平面ABC外一点，求证：P在平面ABC上的充要条件是“存在实数x，y，z，使，且”；（2）如图所示，在平行六面体中，，，，，与平面交于点K．设，，．①用，，表示；②求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）．【答案】（1） 证明见解析；（2）① ；② ．【详解】（1）若且，则，由空间向量基本定理，得，，三个向量共面，说明点在平面内．反之，如果点在平面内，则存在，使得，，即；令，则且.所以P在平面ABC上的充要条件是“存在实数x，y，z，使，且”.（2）①，因为与平面交于点K，设，由（1）得，所以，所以；②，，因为，，，，所以，同理所以，，，设异面直线与所成角的大小为，则，所以异面直线与所成角的大小为．18．（2022秋·上海宝山·高二上海市行知中学校考期末）如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为，设为侧棱的中点.(1)求正四棱锥的体积；(2)求直线与平面所成角的大小.【答案】(1)；(2)【详解】（1）设，则是的中点，连接，由于是的中点，所以，，由于平面，所以平面，所以.（2）依题意可知两两相互垂直，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，，，设平面的法向量为，则，故可设，设直线与平面所成角为，则，由于，所以.  19．（2023春·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考开学考试）设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，，，点M为BC的中点，则是（    ）A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定【答案】C【详解】由，，可知.又平面，平面，，则平面.因，平面，则平面.故，即是直角三角形.故选：C20．（2022秋·上海徐汇·高二位育中学校考期末）在平行六面体中，，，，则___________.【答案】【详解】设,，，则，，又因为，所以，则.故答案为：.21．（2023春·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习）如图，棱长为1的正方体上有两个动点分别从顶点A、C同时出发并做匀速直线运动，最后同时到达顶点B、D，则在运动的过程中，两个动点间的最小距离为_____________【答案】【详解】如图，建立空间直角坐标系，根据题意可得：两动点间距离最小值坐标分别为，，，由空间两点间距离公式可得，因为，所以当时，取最小值，故答案为：.22．（2023秋·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）如图，正方体的棱长为2，分别是的中点，请运用空间向量方法（建系如图）.求解下列问题:(1)求异面直线与所成角的大小;(2)求到平面的距离.【答案】(1)；(2)【详解】（1）根据题意，得，，，，，，，，.则，，设异面直线与所成的角为，则，所以，则，所以异面直线与所成的角为.（2）由（1）得，，，设是平面的一个法向量，则，即，取，则，故，所以点E到平面的距离为.23．已知正三棱柱的所有棱长为，是中点，求：(1)直线与所成角的大小；(2)直线与平面所成角的大小；(3)二面角的大小；(4)点到平面的距离．【答案】(1)(2)(3)(4)【详解】（1）如图，过点作，因为三棱柱为正三棱柱，所以两两互相垂直，建立如图空间直角坐标系，则，所以，，设直线与所成角的大小，，直线与所成角大小为.（2）设平面的法向量为，则，，即，取，得，直线的一个方向向量，设与也即与平面所成角为，所以，则．（3）平面的一个法向量，设夹角为，则，由图可知所求是锐二面角，所以二面角大小为．（4）平面的法向量，，则．24．（2023春·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）如图，为圆O的直径，点在圆O上，，矩形所在平面和圆O所在的平面互相垂直，已知．(1)求证：平面平面；(2)当的长为何值时，二面角的大小为？【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：∵平面平面，，平面平面，∴平面．∵平面，∴，又为圆O的直径，∴，而，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面．（2）设中点为G，以O为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设，则，，，，∴，，设平面的法向量为，则，即，令，可得取平面的一个法向量为，，即，解得，则当的长为时，二面角的大小为．25．（2022秋·上海徐汇·高二上海市南洋模范中学校考期末）《瀑布》（图1）是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲.此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2）埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形，的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为，将极点，分别与正方形的顶点连线，取其中点记为，，，如（图3）.埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图4我们构造了其中两个四棱锥与(1)求异面直线与成角余弦值；(2)求平面与平面的夹角正弦值；(3)求埃舍尔体的表面积与体积（直接写出答案）.【答案】(1)；(2)；(3)表面积为，体积为.【详解】（1）解：由题意可知，两两垂直，且.以点为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，如图5，建立空间直角坐标系.则由题意可得，，，，，，，.又分别是的中点，所以，.所以，，则，所以异面直线与成角余弦值为.（2）解：由（1）可得，，，，.设是平面的一个法向量，则，即，令，可得是平面的一个法向量.设是平面的一个法向量，因为则，即，取，可得是平面的一个法向量.则，所以平面与平面的夹角正弦值为.（3）解：由（1）（2）可得，，，，，，.所以，所以∥且，所以四边形为平行四边形.又，所以，即，所以四边形为菱形.又，，所以.设是平面的一个法向量，则，即，取，则是平面的一个法向量.又，所以点到平面的距离.所以四棱锥的体积，四棱锥的体积因为，，.所以在方向上的投影为，所以点到直线的距离.同理可得点到直线的距离.所以四棱锥的侧面积.所以埃舍尔体的表面积为，体积为.       26．（2023·上海黄浦·统考一模）已知向量，，若，则mn的值为______.【答案】-2【详解】∵，∴，解得：，，∴.故答案为：.27．（2022·上海长宁·统考一模）若，则三棱锥O—ABC的体积为___________.【答案】【详解】根据已知可得：，即，又，故△的面积；不妨取平面的一个法向量，则点到平面的距离，故三棱锥O—ABC的体积.故答案为：.28．（2022·上海青浦·统考一模）已知空间三点，，，则以、为一组邻边的平行四边形的面积大小为______．【答案】【详解】依题意，，，，而，则，所以以、为一组邻边的平行四边形的面积.故答案为：29．（2023·上海静安·统考一模）在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点在第_______卦限；若点的坐标为，则向量与向量夹角的余弦值是____________．【答案】     五     【详解】点关于坐标平面的对称点为，根据卦限在空间中的位置，所以点在第五卦限.由已知可得，，所以故答案为：五；30．（2023·上海·统考模拟预测）正方体的边长为1，点分别为边的中点，是侧面上动点，若直线与面的交点位于内（包括边界），则所有满足要求的点构成的图形面积为__________.【答案】##【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，设，可得，设平面的法向量为，则有，令，则，即，设直线与面的交点为，则，∵点在直线上，可设，则，即，故，则，又∵点在面上，则，解得，故，则，设，则，解得，若点位于内（包括边界），则，整理得，如图，在面中，即，作出相应的区域，可得，故点构成的图形面积为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：（1）根据三点共线：若在直线上，可设，用表示点的坐标；（2）根据共面向量：点位于内（包括边界），则.31．（2023·上海·统考模拟预测）如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点. (1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：取中点，连接，因为正三棱柱，所以，且，因为为线段的中点，所以且.所以且，因为为中点，所以.所以且.所以四边形是平行四边形.所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）解：分别取中点，连接，因为是正三棱柱，所以，平面，.所以平面.所以，.以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.则.所以.设平面的法向量为，所以，即，令，解得，所以.设直线与平面所成角为，，则，所以.即直线与平面所成角为.32．（2023·上海·统考模拟预测）已知三棱锥中，平面，，M为中点，过点M分别作平行于平面的直线交于点E，F．(1)求直线与平面所成角的大小；(2)证明：平面，并求直线到平面的距离．【答案】(1)；(2)2【详解】（1）因为平面，，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以，设平面，设直线与平面所成角为，则.直线与平面所成角的大小为（2）因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理，M为中点，所以分别为的中点，因为，平面，平面，所以平面，因为平面，平面，所以，，平面，所以平面，又因为平面，直线到平面的距离为.33．（2022·上海虹口·统考一模）如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为AC的中点，且．(1)求证：；(2)求点到侧面的距离；(3)在线段上是否存在点，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在满足条件的点，1 【分析】（1）由已知条件可证平面，即可得到；（2）以点为坐标原点，直线，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用点到平面的距离公式即可求解；（3）假设存在满足条件的点E，并，利用向量的加减运算，求出，利用线面夹角公式得出，求得，即可求出的长.【详解】（1）证明：由点在底面ABC上的投影为AC的中点，知平面ABC，又平面ABC，故，因是以AC为斜边的等腰直角三角形，故，而，平面，，故平面，由平面，得．（2）由点，为AC的中点，侧面为菱形，知，由是以AC为斜边的等腰直角三角形，，可得，，由（1）知直线，，两两垂直，故以点为坐标原点，直线，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，取，得，又，故点到平面的距离为：（3）假设存在满足条件的点E，并，则，于是，由直线DE与侧面所成角的正弦值为，可得，即，解得．又，故．因此存在满足条件的点，且．