第4章 数列【过习题】- 2022-2023学年高二数学单元复习（沪教版2020选择性必修第一册）

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单元复习 第4章 数列

1．（2022秋·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考期末）已知数列{an}的通项公式为an=logkn，则“a2>a1”是“数列{an}为严格增数列”的（     ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】C
【详解】当a2>a1时，则logk2>logk1=0，所以k>1，
所以能推出数列{an}为严格增数列；
当数列{an}为严格增数列时，则能推出a2>a1，
故“a2>a1”是“数列{an}为严格增数列”的充要条件
故选：C.
2．（2023秋·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）设等差数列an的前n项和为Sn，若a1+a9>0,a2+a90且S10>0 B．S90
C．S9>0且S101为奇数时，an=1an-1∈0,1，
因为ak=3019>1，所以，k为偶数，
由ak=3019往回推可得3019→1119→1911→811→118→38→83→53→23→32→12→2→1，
即a1=1⇒a2=2⇒a3=12⇒a6=32⇒a7=23⇒a14=53⇒a28=83⇒a29=38
⇒a58=118⇒a59=811⇒a118=1911⇒a119=1119⇒a238=3019.
因此，k=238.
故答案为：238.
22．（2021秋·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）数列an的前n项和为Sn，已知a1=2,3Sn=an+1-2n+2+2n∈N*.
(1)n∈N*时，写出an+1与an之间的递推关系；
(2)求an的通项公式.
【答案】(1)an+1=4an+2n+1
(2)an=4n-2n
【详解】（1）因为3Sn=an+1-2n+2+2①，
所以当n≥2时，3Sn-1=an-2n+1+2②，
①-②得：3an=an+1-an-2n+1n≥2，即an+1=4an+2n+1(n≥2)，
在①中：令n=1得a2=3a1+23-2=12=4a1+22，也符合上式，
所以an+1=4an+2n+1.
（2）因为an+1=4an+2n+1，则an+1+2n+1=4an+2n，且a1+2=4≠0
所以数列an+2n是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以an+2n=4n，故an=4n-2n.
23．（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）记Sn为公比不为1的等比数列an的前n项和，a5-a4=-8a2+8a1，S6=21．
(1)求an的通项公式；
(2)设bn=log2an2，若由an与bn的公共项从小到大组成数列cn，求数列cn的前n项和Tn．
【答案】(1)an=-1n×2n-1
(2)Tn=24n-13
【详解】（1）解：设等比数列的公比为q q≠1，
因为a5-a4=-8a2+8a1，即a2q3-a1q3=-8a2-a1，即q3=-8，所以q=-2，
又S6=a11-q61-q=21，即a11--261--2=21，解得a1=-1，
所以an=-1×-2n-1=-1n×2n-1.
（2）解：由（1）可得bn=log2an2=log2-1n×2n-12=log222n-1=2n-1，
则数列bn为0、2、4、6、⋯⋯，偶数组成的数列，
又an=-1n×2n-1，令an>0，则n为正偶数，
所以c1=2，c2=23，c3=25，⋯⋯，cn=22n-1，
所以cn为以2为首项，4为公比的等比数列，
所以Tn=21-4n1-4=24n-13.
24．（2023春·上海·高二校联考阶段练习）已知an是等差数列，a1=3，a4=12，数列bn满足b1=4，b4=20，且bn-an是等比数列．
(1)求数列an和bn的通项公式；
(2)设cn=bn·cosnπ，求数列cn的前n项和Sn，并判断是否存在正整数m，使得Sm=2023？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)an=3n，bn=2n-1+3n,n∈N*
(2)Sn=-13(22k-1+1)-3k,n=2k-113(22k-1)+3k,n=2k，k∈N*，不存在正整数m，使得Sm=2023.
【详解】（1）设an的公差为d，bn的公比为q，
则由题意可得，a4=a1+3d，即12=3+3d，
解得d=3，所以an=3+(n-1)×3=3n
根据已知又有：b1-a1=1，b4-a4=8，则8=1⋅q3，得q=2
所以bn-an=1⋅2n-1，进而bn=2n-1+3n.
故数列an和bn的通项公式分别为：an=3n，bn=2n-1+3n,n∈N*.
（2）根据上问可知，cn=bn⋅cosnπ=-22k-2+6k-3,n=2k-122k-1+6k,n=2k，k∈N*
∴c2k-1+c2k=22k-2+3，k∈N*，
故S2k=1×1-22k1-22+3k=13(22k-1)+3k，k∈N*
∴Sn=-13(22k-1+1)-3k,n=2k-113(22k-1)+3k,n=2k，k∈N*
因为S2k-10，数列S2k是递增数列，且S12=1383，S14=5482
所以不存在正整数m，使得Sm=2023.
故：Sn=-13(22k-1+1)-3k,n=2k-113(22k-1)+3k,n=2k，k∈N*，不存在正整数m，使得Sm=2023.
25．（2022春·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中）如图，P1x1,y1,P2x2,y2,⋯,Pnxn,yn00，所以Anan-1+2λ,0，
所以3λ2=3(an-1+λ)an=an-1+2λ，整理得(an-an-1)2=2(an-1+an).
（2）根据a1=1×2, a2=2×3, a3=3×4,猜想an=n(n+1).
下面用数学归纳法证明an=n(n+1)：
①当n=1时，猜想显然成立．
②假设当n=k(k∈N*)时，猜想成立，即ak=k(k+1)，
则当n=k+1时，因为(ak+1-ak)2=2(ak+ak+1)，
所以[ak+1-k(k+1)]2=2[k(k+1)+ak+1]，
即ak+12-2(k2+k+1)ak+1+k(k+1)⋅[(k-1)(k+2)=0，
解得ak+1=(k+1)(k+2)(ak+1=k(k-1)0，
∴当n∈N*时，5n+1>5n+1，
∴ log55n