单元复习03 第三章 圆锥曲线的方程【过习题】-2022-2023学年高二数学单元复习（人教A版2019选择性必修第一册）

《第三章  圆锥曲线的方程》单元复习题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．（2022·云南·罗平县第一中学高二期末）已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为2，则（       ）

A．1

B．2

C．4

D．6

【答案】C

【分析】根据抛物线的标准方程，得到准线方程与焦点坐标，根据抛物线的定义，可列方程，得到答案.

【详解】由，可得其焦点，准线方程为，

因为点到该抛物线焦点的距离为2，所以点到抛物线准线的距离为，

则，解得，

故选：C.

2．（2022·福建·厦门海沧实验中学高二阶段练习）已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先设，，再利用焦点三角形是直角三角形，列式求，即可求得的值.

【详解】设，，因为，，，所以，，所以，所以，所以．因为，所以．所以椭圆的方程是．

故选：C

3．（2022·全国·高二课时练习）若方程表示双曲线，则实数m满足（       ）

A．m≠1且m≠－3 B．m＞1

C．或 D．－3＜m＜1

【答案】C

【分析】方程表示双曲线等价于，即可列出不等式，即可解出答案.

【详解】因为方程表示双曲线，而恒成立，

所以，解得或，

故选：C．

4．（2022·全国·高二课时练习）已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则的内切圆的半径（       ）

A．1 B． C． D．2

【答案】C

【分析】根据椭圆方程求出、、的值，即可得到、、的值，从而求出的面积，再利用等面积法求出内切圆的半径.

【详解】解：椭圆中，，，则，、∴，，

∴．∵，，∴，

∵，∴，

解得．

故选：C．

5．（2022·湖北·鄂州市教学研究室高二期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线C有一个交点P，设的面积为S，若，则双曲线C的离心率为（       ）

A．2 B． C． D．2

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用直角三角形勾股定理及面积公式列式，再结合双曲线定义即可计算作答.

【详解】依题意，，令，，则有，

由得：，即有，

而，所以.

故选：C

6．（2022·全国·高二课时练习）已知，，，以为一个焦点作过，的椭圆，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据椭圆定义得到，转化为，得到故的轨迹是以，为焦点的双曲线的下支，进而求出轨迹方程.

【详解】由题意得，，，

因为，都在椭圆上，所以，

所以，

故的轨迹是以，为焦点的双曲线的下支，又因为，，

即，，所以，

因此的轨迹方程是．

故选：A．

7．（2022·全国·高二课时练习）人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．如图，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的大小为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设，则，勾股定理求m，应用和角余弦公式求的大小.

【详解】由得：，，．

设，则．

所以，解得（舍去），

所以，，

，

所以．

故选：D．

8．（2022·全国·高二课时练习）椭圆（）的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆C的离心率的取值范围为，则线段AB的长度的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题可求得，，即可得出，再根据离心率范围即可求出

【详解】解：设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得，

，

又

,

，，

，，则，

即线段的长度的取值范围是，

故选：C

二、多选题

9．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆与双曲线，下列关于两曲线的说法正确的是（       ）

A．的长轴长与的实轴长相等 B．的短轴长与的虚轴长相等

C．焦距相等 D．离心率不相等

【答案】CD

【分析】利用椭圆、双曲线的几何性质逐项判断可得出合适的选项.

【详解】由题意可知，椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，

离心率为，

当时，，，

双曲线的焦点在轴上，其实轴长为，虚轴长为，

焦距为，离心率为.

故的长轴长与的实轴长不相等，的短轴长与的虚轴长不相等，

与的焦距相等，离心率不相等．

故选：CD．

10．（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知曲线，则（       ）

A．当时，则的焦点是，

B．当时，则的渐近线方程为

C．当表示双曲线时，则的取值范围为

D．存在，使表示圆

【答案】ABD

【分析】通过的值或取值范围，判断曲线的形状，转化求解即可.

【详解】对于A，当时，曲线，则的焦点是，，所以A正确；

对于B，当时，曲线，则的渐近线方程为，所以B正确；

对于C，当表示双曲线时，，解得：或，所以C不正确；

对于D，当，即时，曲线表示圆，所以D正确.

故选：ABD.

11．（2022·全国·高二课时练习）已知直线：过抛物线：（）的焦点，且与抛物线交于A，两点，过A，两点分别作抛物线准线的垂线，垂线分别为，，则下列说法错误的是（       ）

A．抛物线的方程为 B．线段的长度为

C． D．线段的中点到轴的距离为

【答案】BD

【分析】求出抛物线的焦点坐标，可得，即可判断A;联立方程求出A,B坐标，可得，判断B；确定M,N坐标，可计算，判断C;求出线段的中点坐标，即可判断D.

【详解】由题意不妨设点A在点上方，直线：与x轴交点，

又经过的焦点，故，可得，

即抛物线方程为：，A正确．

由，可得，解得或，

可得，，所以，B错误．

由以上分析可知，，，，

可得，

则，即，C正确．

因为，，故线段的中点为，

则线段的中点到轴的距离为，D错误，

故选：BD．

12．（2022·江苏·高二专题练习）椭圆的左、右焦点分别是，离心率为e，点A、B、P在椭圆E上，且满足(其中O为坐标原点)，则下列说法正确的是(       )

A．若是等腰直角三角形，则

B．的取值范围是

C．直线过定点(定点坐标与a，b有关)

D．为定值(定值与a，b有关)

【答案】BD

【分析】A：分为斜边和直角边时计算椭圆离心率即可判断；B：根据即可判断；C：当直线AB为x=-t或x=t时显然满足，由此即可判断；D：，设，，根据A、B在椭圆上满足椭圆方程可得和，由此可求为定值．

【详解】对于A，若是等腰直角三角形，则当为斜边时，离心率；

当为直角边时，，离心率，故错误；

对于B，

，

，，

，故B正确；

对于C，易知存在两条平行直线：和使得，故直线不经过定点，故C错误；

∵，故，

则，

∵，不妨设，

则，，

则，

因为A在椭圆上，则，则，

同理可得：，

则为定值，则也为定值，故D正确．

故选：BD．

三、填空题

13．（2022·全国·高二单元测试）写出一个焦点在x轴上，且离心率为的椭圆的标准方程：___________.

【答案】（答案不唯一）

【分析】由离心率及a、b、c之间的关系，给a取一个值求出b即可.

【详解】解析设椭圆的标准方程为，则，

所以，令，则，

所以满足题意的一个椭圆的标准方程为

故答案为：

14．（2022·全国·高二课时练习）如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈、极简和雕塑般的气质．若将该建筑外形弧线的一段按照一定的比例压缩后可近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为______．

【答案】

【分析】由上焦点到渐近线的距离利用点到直线的距离公式可得，再由离心率为2，可求出，从而可求出，进而可求得双曲线方程.

【详解】因为，

所以下焦点的坐标为，渐近线方程为，即，

则下焦点到的距离为．

，解得，则，

所以该双曲线的方程为．

故答案为：

15．（2022·福建·福州三中高二期末）已知抛物线的焦点F，过F分别作直线与C交于A，B两点，作直线与C交于D，E两点，若直线与的斜率的平方和为1，则的最小值为_________

【答案】24

【分析】根据给定条件，将直线、的方程，与抛物线方程联立求出、，再借助均值不等式求解作答.

【详解】抛物线的焦点，准线，设直线与的斜率分别为，，有，

直线：，由消去y并整理得：，

设，则，

，直线：，同理，

于是得，

当且仅当时取“=”，所以的最小值为24.

故答案为：24

16．（2022·全国·高二课时练习）如图，椭圆的中心在坐标原点，，，，分别为椭圆的左、右、下、上顶点，为其右焦点，直线与交于点P，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围为______．

【答案】

【分析】根据为钝角转化为，从而得到关于，的不等式，即可求解.

【详解】设椭圆的标准方程为，．

由题意，得，，，

则，．

因为为向量与的夹角，且为钝角，

所以，所以．

又，所以，

即，解得或，

因为，所以，

故答案为：．

四、解答题

17．（2022·全国·高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程：

(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点；

(2)离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26．

【答案】(1)；

(2)或

【分析】（1）通过焦距可得到，继而得到焦点坐标，通过椭圆的定义可算出，再结合算出，即可得到答案；

（2）通过定义算出，结合离心率算出再通过算出，然后分焦点在轴或在轴的情况得到椭圆的方程

（1）

由焦距是4可得，又焦点在y轴上，所以焦点坐标为，，

由椭圆的定义可知，

所以，所以，所以椭圆的标准方程为；

（2）

由题意知，即，又，所以，

所以，

当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的方程为；

当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的方程为，

所以椭圆的方程为或

18．（2021·全国·高二单元测试）双曲线C的离心率为，且与椭圆有公共焦点．

（1）求双曲线C的方程．

（2）双曲线C上是否存在两点A，B关于点（4，1）对称？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）存在，直线的方程为.

【分析】（1）结合双曲线的离心率和椭圆的焦点，求得双曲线对应的，由此求得双曲线方程.

（2）利用点差法求得直线的方程.

【详解】（1）椭圆：，

所以双曲线.

所以双曲线的方程为.

（2）画出图象如下图所示，设，

，

两式相减并化简得，即，

所以直线的方程为.

19．（2022·全国·高二单元测试）如图，已知抛物线C：和圆：，过抛物线C上一点作两条直线与圆相切于A，B两点，分别交抛物线于E，F两点，圆心M到抛物线准线的距离为．

(1)求抛物线C的方程；

(2)当的角平分线垂直于x轴时，求直线EF的斜率．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据抛物线定义可得求出参数，即可写出抛物线方程；

（2）根据已知有H(4,2)，，设、应用斜率的两点式求，进而求直线斜率.

（1）

由题意，．

∵点M到抛物线准线的距离为，

∴，则抛物线C的方程为．

（2）

当的角平分线垂直于x轴时H(4,2)，．

设，，

∴，即，

∴，

∴．

20．（2021·全国·高二单元测试）双曲线，､为其左右焦点，是以为圆心且过原点的圆.

(1)求的轨迹方程；

(2)动点在上运动，满足，求的轨迹方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由双曲线的右焦点作为圆心，以半焦距为半径的圆，可以直接写出圆的标准方程即可.

（2）求解轨迹方程求谁设谁，设，用点M的坐标表示点P的坐标，带入方程即可得到答案.

(1)

由已知得，，故，所以､，

因为是以为圆心且过原点的圆，故圆心为，半径为4，

所以的轨迹方程为；

(2)

设动点，，

则，，

由，得，，，

即，解得，

因为点在上，所以，

代入得，

化简得.

21．（2022·全国·高二单元测试）已知抛物线E：的焦点为F，直线与E相交所得线段的长为．

(1)求E的方程；

(2)若不过点F的直线l与E相交于A，B两点，请从①AB中点的纵坐标为3，②的重心在直线上，③这三个条件中任选两个作为已知条件，求直线l的方程（若因条件选择不当而无法求出，需分析具体原因）．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)；

(2)答案见解析.

【分析】（1）利用已知可得过点，代入抛物线方程即可求出的值，进而可以求解；

（2）先分析出直线的斜率一定存在，设出直线的方程以及，两点的坐标，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理求出点，的纵坐标的和，然后分别选择①③，②③，①②，根据条件求出对应的解即可．

（1）解：因为直线与抛物线相交所得线段的长为，所以抛物线过点（由抛物线的对称性得到），则，即，所以的方程为．

（2）解：当直线l的斜率不存在时，l与E相交于A，B两点，AB中点的纵坐标为0，选①②或①③或②③均不符合题意，故直线的斜率存在．设，，，由（1）知．由，得，所以．方案一   选择条件①③．因为AB中点的纵坐标为3，所以，则，因为，所以，则，所以．综上，直线的方程为．方案二   选择条件②③．因为的重心在直线上，所以，则，即．因为，所以，则，即，所以．综上，直线的方程为．方案三   选择条件①②．因为AB中点的纵坐标为3，所以，则．因为的重心在直线上，所以，则，即．两个条件，都只能得出斜率，无法计算出b的值，因此不能得到直线的方程．

22．（2021·江苏·高二单元测试）已知直线与是分别过椭圆的左，右焦点的两条相交但不重合的动直线．与椭圆相交于点A，B，与椭圆相交于点C，D，O为坐标原点．直线的斜率分别为，且满足．

（1）若与x轴重合．．试求椭圆E的方程：

（2）在（1）的条件下，记直线．试问：是否存在定点M，N，使得为定值？若存在．求出定值和定点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）存在点，定值为．

【分析】（1）由与x轴重合可知轴，此时有先解出a，然后将代入椭圆方程可得到a,b的关系，进而解出b，得到答案；

（2）先讨论直线或的斜率不存在时求出交点P的坐标；然后考虑二者斜率都存在的情况，因为问题是“是否存在定点M，N，使得为定值？”我们可以设出P的坐标，根据求出它的轨迹方程，事先猜想应当是椭圆，而两个定点应该是对应的焦点.

【详解】（1）当与x轴重合时，，故，即轴．

故当时，

由，得．

由，得．

所以椭圆E的方程是．

（2）如图所示，焦点的坐标分别为．

当直线或的斜率不存在时，点P的坐标为或．

当直线和的斜率都存在时，设斜率分别为，点．

联立，得．

因为直线过椭圆内一点，则，，

则

．

同理可得，

因为，所以，化简得．

由题意，知，所以．

设点，则，所以，

化简得，而且当直线或的斜率不存在时，点P的坐标为或，也满足此方程．

所以点在椭圆上，根据椭圆定义可知存在点，使得为定值，定值为．