单元复习03 圆锥曲线与方程【过习题】（考点练）-2022-2023学年高二数学单元复习（苏教版2019选择性必修第一册）

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单元复习03 圆锥曲线
01 椭圆
一、单选题
1．“方程表示椭圆”的一个充分条件是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由方程表示椭圆则可得到或，再由充分条件的定义即可选出答案.
【解析】若方程表示椭圆，
则解得或．
对比选项，A符合题意.
故选：A．
2．已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则（    ）
A．有最大值，为16 B．有最小值，为16
C．有最大值，为4 D．有最小值，为4
【答案】A
【分析】依据椭圆定义，再利用均值定理即可求得有最大值，为16．
【解析】由题意知，，则．
由基本不等式，知，
（当且仅当时等号成立），所以有最大值，为16．
故选：A．
3．已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先设，，再利用焦点三角形是直角三角形，列式求，即可求得的值.
【解析】设，，因为，，，所以，，所以，所以，所以．因为，所以．所以椭圆的方程是．
故选：C
4．已知是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若，且，则E的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据椭圆定义得到，由得到，由勾股定理得到，两式结合求出，结合得到，求出离心率.
【解析】由题意得：，则，
由椭圆定义可知：，
所以，即，
所以，
又，所以，即
故E的离心率为.
故选：C.
5．已知椭圆（），椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆C上的任意一点，且满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，则，由，得，根据表示椭圆上的点到原点的距离的平方，可得选项
【解析】解：由已知得，，设，
则，，
因为，所以，即，即，
因为点P是椭圆上的任意一点，所以表示椭圆上的点到原点的距离的平方，
因为，所以，所以，即，
所以，
故选：B．
6．椭圆（）的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆C的离心率的取值范围为，则线段AB的长度的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题可求得，，即可得出，再根据离心率范围即可求出
【解析】解：设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得，

，
又
,
，，
，，则，
即线段的长度的取值范围是，
故选：C

二、多选题
7．已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可以为（    ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】由题意得到，再根据,求出，分焦点在x轴和y轴上写出标准方程即可
【解析】解：因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以，解得，
又，
所以当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为；
当椭圆的焦㤐在y轴上时，椭圆的标准方程为，
故选：BD
8．已知椭圆的左、右焦点分别为是圆上且不在x轴上的一点，且的面积为．设C的离心率为e，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】由题意画出图形，由椭圆定义及三角形两边之和大于第三边判断A；设出的参数坐标，利用向量数量积运算判断B；求出三角形的面积范围，结合已知列式求得椭圆离心率的范围判断C；由数量积及三角形面积公式求得判断D．
【解析】如图，

连接，，设交椭圆于，则，
，故A正确；
设，，，
，，
，故B错误；
设，则，
又的面积为，，即，
，又，，故C正确；
由，，
两式作商可得：，故D正确．
故选：ACD

三、填空题
9．若椭圆上点P到右焦点的距离为4，则点P的横坐标为______．
【答案】
【分析】由椭圆方程求得右焦点坐标，设，由椭圆方程和距离列方程组求解．
【解析】由已知，，右焦点为，
设，，
则，消去得，
，，（舍去），
所以点横坐标为．
故答案为：．
10．在椭圆C中，F为一个焦点，A，B为两个顶点．若，，写出一个满足条件的的值为_______．
【答案】5（或4，或6答案不唯一）
【分析】由题意可知A，B两点不可能同时是短轴上的两个顶点，然后根据椭圆的性质分情况求解即可.
【解析】由题意，，A，B两点不可能同时是短轴上的两个顶点，
当F，A，B三点均在长轴上时，则，
解得，所以．
当为长轴的一个端点，为短轴的一个端点时，
由，，得，则，
当为短轴的一个端点，为长轴的一个端点时，
由，，得，则
故答案为：5（或4，或6答案不唯一）
11．已知点P是椭圆上的一点，，是椭圆的两个焦点，则当为钝角时，点P的横坐标可以为______．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】设，由可求得的范围，在其中任取一数即可．
【解析】设，由题意可知，
即．
因为点P在椭圆上，所以，
所以，
解得，可以取1（只要在内即可）．
故答案为：1（答案不唯一）．
12．已知椭圆（）的左，右焦点分别为，，若椭圆C上的动点P到焦点的最大距离为3，最小距离为1，则椭圆C的离心率为_______.
【答案】##0.5
【分析】由最大距离和最小距离解出，再求离心率即可.
【解析】由题意知，解得，则椭圆C的离心率为.
故答案为：.

四、解答题
13．已知椭圆的左，右焦点分别为且经过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点，求面积的最大值（O为坐标原点）
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据椭圆的定义可得，进而可求其方程，
（2）根据弦长公式和点到直线的距离可表达三角形的面积，结合不等式即可求解最大值.
（1）
由椭圆的定义，
可知
解得，又.
椭圆C的标准方程为.
（2）
设直线l的方程为，
联立椭圆方程，得，
，得
设，则，

，
点到直线的距离，

.
当且仅当，即时取等号；
面积的最大值为.
14．已知椭圆经过点，其右焦点为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若点在椭圆上，右顶点为，且满足直线与的斜率之积为.求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由题意可得，从而可求出，进而可求出离心率，
（2）设，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，再由可得或，可得直线经过定点，然后表示出面积，求其最大值即可.
（1）
依题可得，，解得，
所以椭圆的方程为.
所以离心率.
（2）
易知直线与的斜率同号，所以直线不垂直于轴，
故可设，
由可得，，
所以，
，而，即，
化简可得，
，

化简得，
所以或，
所以直线或，
因为直线不经过点，
所以直线经过定点.
设定点


，
因为，所以，
设，
所以，
当且仅当即时取等号，即面积的最大值为.
15．已知椭圆C：的右焦点为F，过点F作一条直线交C于R，S两点，线段RS长度的最小值为，C的离心率为．
(1)求C的标准方程；
(2)斜率不为0的直线l与C相交于A，B两点，，且总存在实数，使得，问：l是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．
【答案】(1)；
(2)l恒过定点.

【分析】（1）线段RS为通径时最短，再根据的关系即可求解；
（2）联立直线AB的方程与椭圆方程，利用根与系数的关系表示出，整理式子即得结果.
（1）
由线段RS长度的最小值为，得，
又，所以，解得
所以C的标准方程为．
（2）
由，
可知PF平分，∴．
设直线AB的方程为，，，
由得，
，即，
∴，，
∴，
∴，∴，
整理得，∴当时，上式恒为0，
即直线l恒过定点．
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、定点定值、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
02 双曲线

一、单选题
1．已知双曲线的一个顶点是，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的一个顶点求出双曲线方程，再根据渐近线的方程求出的值，综合选项即可得答案.
【解析】解：由题意得：
双曲线的一个顶点是，
焦点在轴上，设双曲线方程为，

渐近线方程为，
，，
该双曲线的标准方程为 ．
故选：C
2．－＝4表示的曲线方程为（    ）
A．－＝1(x≤－2) B．－＝1(x≥2)
C．－＝1(y≤－2) D．－＝1(y≥2)
【答案】C
【分析】根据两点间距离的定义及双曲线定义，可判断双曲线的长轴长与焦距，进而求得b，得双曲线方程；结合方程的意义，即可判断出y的取值范围．
【解析】根据两点间距离的定义，表示动点到与的距离之差等于4（且两个定点的距离大于4）的集合.
根据双曲线定义可知，
所以  
由焦点在y轴上，所以
，且到点 的距离比较大
所以
即曲线方程为
故选：C.
3．在中，，，点C在双曲线上，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义，结合正弦定理求解即可.
【解析】由题意知点A，B为双曲线的两焦点，所以当点C在双曲线的右支上时，有，又，所以由正弦定理得；当点C在双曲线的左支上时，有，可得．
故选：C．
4．设双曲线的左右焦点为，过的直线与双曲线右支交两点，设中点为，若，且，则该双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得 是等腰直角三角形，运用双曲线定义可得，，在 中，利用余弦定理即可解得离心率.
【解析】解：根据题意可知，过的直线斜率存在，
中点为，
又

又
在 中，由余弦定理
整理得：且 ，所以 是等腰直角三角形.
设，则，
在 中，由勾股定理得：

由双曲线定义可知：


由双曲线定义可知： 且

整理得：
在 中，，，
由余弦定理可得：
代入计算得：
离心率e＝
故选：A.
5．已知、分别为双曲线C：的左、右焦点，O为原点，双曲线上的点P满足，且，则该双曲线C的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根据正弦定理结合双曲线的定义得到，，由得到，结合余弦定理求出离心率.
【解析】因为，分别为双曲线的左右焦点，
由正弦定理得到，
又因为得，
又∵，
∴，，
在中，，，，
∴，，
在中，，
所以，
化简得.
故选：D.
6．已知分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线的右顶点.过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点在第一象限），设分别为的内心，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由内心的性质，可知M，N的横坐标都是a，得到MN⊥x轴，设直线AB的倾斜角为θ，有，将表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围.
【解析】设上的切点分别为H､I､J，
则.
由，得，
∴，即.

设内心M的横坐标为，由轴得点J的横坐标也为，则，
得，则E为直线与x轴的交点，即J与E重合.
同理可得的内心在直线上，
设直线的领斜角为，则，

，
当时，；
当时，由题知，，
因为A，B两点在双曲线的右支上，
∴，且，所以或，
∴且，
∴，
综上所述，.
故选：B.

二、多选题
7．对任意的，方程所表示的曲线可能为（    ）
A．双曲线 B．抛物线 C．椭圆 D．圆
【答案】ACD
【分析】分情况讨论不同取值时所表示的曲线.
【解析】因为，
所以当时，方程可化为，表示两条直线；
当时，方程化为，表示焦点在轴上的椭圆；
当时，方程化为，表示圆；
当时，方程化为，表示焦点在轴上的椭圆；
当时，方程化为，表示焦点在轴上的双曲线；
故选：ACD.
8．已知椭圆与双曲线，下列关于两曲线的说法正确的是（    ）
A．的长轴长与的实轴长相等 B．的短轴长与的虚轴长相等
C．焦距相等 D．离心率不相等
【答案】CD
【分析】利用椭圆、双曲线的几何性质逐项判断可得出合适的选项.
【解析】由题意可知，椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，
离心率为，
当时，，，
双曲线的焦点在轴上，其实轴长为，虚轴长为，
焦距为，离心率为.
故的长轴长与的实轴长不相等，的短轴长与的虚轴长不相等，
与的焦距相等，离心率不相等．
故选：CD．

三、填空题
9．设双曲线的两个焦点分别为、，P为双曲线上一点，若，则______．
【答案】0
【分析】先由双曲线的定义结合已知求得，进而可求出.
【解析】由题意得，，联立
，
因此，则．
故答案为：0.
10．已知双曲线：的右焦点为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点.若，则的面积为________.
【答案】##.
【分析】由已知条件求出右焦点的坐标，再由，可得点的横坐标为，再渐近线方程可求出点的纵坐标，从而可求出的面积.
【解析】因为双曲线，可知右焦点为，
又，
所以点在线段的中垂线上，所以点的横坐标为，
又双曲线的渐近线方程为，
所以点的纵坐标为，即的高为，
所以的面积为.
故答案为：
11．已知双曲线C：的离心率为3，焦点分别为，，点A在双曲线C上．若的周长为14a，则的面积是________.
【答案】
【分析】由双曲线定义及的周长得到，，又，
利用余弦定理得到，进而得到，利用三角形面积公式求解出答案.
【解析】不妨令在双曲线右支，依题意可得，，，
解得，，又，
由余弦定理
即，解得，
所以，
所以的面积．
故答案为：
12．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的第一象限的交点，且，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】设，则由椭圆和双曲线的定义结合余弦定理可得，设，则可得，然后根据正弦函数的性质可得其范围
【解析】解：设，
由椭圆的定义得①，
由双曲线的定义得②，
①②得，，
①②得，，
由余弦定理可得，
所以③，
设，则，解得
所以，
当时，最大值为时，的值为2，
所以的取值范围是.
故答案为：

四、解答题
13．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，，的最小值，，且满足．
(1)求双曲线的离心率；
(2)若，过点的直线交双曲线于，两点，线段的垂直平分线交轴于点（异于坐标原点），求的最小值．
【答案】(1)2
(2)．

【分析】（1）由双曲线的性质知，，利用化简可得双曲线的离心率；
（2）当时，双曲线的方程为，设出直线的方程，与双曲线方程联立，消去并写出韦达定理，表示出弦长，并由线段的垂直平分线的方程得出点的坐标，进而把表示成关于的式子，利用基本不等式求出最小值．
（1）
由题意知，．由双曲线的性质知，，∴，∴，故双曲线的离心率．
（2）
当时，，．∴双曲线的方程为，．
由题知直线的斜率存在，设为，则，直线的方程为．
联立消去并整理，得．
设，，则，，
∴．
又∵，线段的中点的坐标为，
∴线段的垂直平分线的方程为．令，得，
∴点的坐标为，∴，∴，
当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为．
14．已知双曲线的离心率为，且点在上.
(1)求双曲线的方程：
(2)试问：在双曲线的右支上是否存在一点，使得过点作圆的两条切线，切点分别为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，且？若存在，求出点；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，或

【分析】（1）根据题意即可列出关于方程组，即可解出答案；
（2）根据题意设，即可求出直线的方程，则可求出点的坐标，即可表示出，再由点到直线的距离，则可表示出，即可求出点的坐标.
（1）
因为，所以，即，
又点在双曲线的图像上，
所以，即，解得，
所以双曲线；
（2）
设，
由已知点在以为直径的圆上，
又点在上，则有方程组
解得直线的方程为，
设直线与渐近线的交点分别为，
由解得，
由解得，
所以，
又点到直线的距离为，
则三角形的面积，
又因为，所以，
由已知，解得，即，
因为点在双曲线右支上，解得，
即点或.
15．已知点A、F分别为双曲线C：的左顶点和右焦点，且点A、F到直线的距离相等．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)设M为双曲线C上的点，且点M到双曲线C的两条渐近线的距离乘积为．
①求双曲线C的方程；
②设过点F且与坐标轴不垂直的直线l与双曲线C相交于点P、Q，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点B，求值．
【答案】(1)2
(2)①；②1

【分析】（1）根据已知条件列出等式，化简可以得到双曲线C的离心率；
（2）①由（1）可得，设，代入双曲线方程，由根据点M到双曲线C的两条渐近线的距离乘积为列出等式，结合可求出a的值，从而求得双曲线C的方程；
②由①得，设直线l的方程为，，，与双曲线方程联立，利用韦达定理，表示PQ中点坐标，得到线段PQ的垂直平分线的方程，用m表示与，从而得到的值．
（1）
点A、F到直线的距离相等，得，即，
所以c＝2a，所以，即双曲线C的离心率为2．
（2）
①由（1）c＝2a，所以，
所以双曲线C：，渐近线方程为．
设，则，即．
因为点M到双曲线C的两条渐近线的距离乘积为，
所以，即，所以，解得a＝1．
所以双曲线C的方程为．
②由①得F（2，0），设直线l的方程为x＝my＋2，，，，
则由得．所以．
设线段PQ中点E为，则，，
所以线段PQ的垂直平分线的方程为．
令y＝0，则，即．所以．
由，得，
所以，
所以，即的值为1．
03 抛物线

一、单选题
1．抛物线的准线方程是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将抛物线方程化成标准式，即可解出．
【解析】可化为，所以抛物线的准线方程为．
故选：B．
2．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设出点的坐标，根据条件列出方程组即可求解
【解析】抛物线的顶点为，焦点为，
设符合题意，则有
，
即，解得，
所以符合条件的点为，
故选：D
3．已知实数x，y满足，其中常数，则动点的轨迹是（    ）
A．射线 B．直线 C．抛物线 D．椭圆
【答案】C
【分析】利用两点的距离公式、绝对值的几何意义以及抛物线的定义进行判断.
【解析】因为表示动点到定点的距离与到定直线l：的距离相等，且点F不在直线l上，所以由抛物线的定义知动点的轨迹为抛物线．故A，B，D错误.
故选：C.
4．已知的三个顶点都在抛物线上，为抛物线的焦点，若，则（    ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【分析】设，，的横坐标分别是，，，由，得三点纵坐标之和，再结合抛物线的定义即可求出的值．
【解析】解：由抛物线的方程，得，焦点坐标为，
设，，的横坐标分别是，，，
由，所以，即，
因为为抛物线的焦点，
由抛物线的定义可得，，，，
即，
故选：B．
5．设抛物线的焦点为， 若与抛物线有四个不同的交点， 记轴同侧的两个交点为， 则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】联立抛物线与圆的方程，消元后得到关于的一元二次方程，由于有四个交点，结合韦达定理得的取值范围，再根据抛物线定义得关于的关系式，即可得取值范围.
【解析】解：由题可得，如图：不妨设在轴右侧

将方程与抛物线方程联立：
，得，
设，在轴同侧，不妨设
则由与抛物线有四个不同的交点可得有两个不等的正根，得：
，即，
由抛物线定义可得，
故选：B．
6．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先利用两点间距离表示，再结合基本不等式求最值，并且求得点的坐标，根据双曲线上的点和焦点坐标，即可求得双曲线的离心率.
【解析】设，，，则
，当且仅当时取等号，此时, ，
所以.
故选：C
7．抛物线C：的焦点为F，准线l交x轴于点，过焦点的直线m与抛物线C交于A，B两点，则（    ）
A．
B．
C．直线AQ与BQ的斜率之和为0
D．准线l上存在点M，若为等边三角形，可得直线AB的斜率为
【答案】C
【分析】根据抛物线的性质，以及直线和抛物线的位置关系，结合韦达定理，利用斜率关系以及弦长和距离公式，逐项分析判断即可得解.
【解析】对于A，由，可得，故A选项不正确；
对于B，设A，B两点的坐标分别为，，
根据题意得，焦点，则设直线AB的方程为，
联立方程，消去x后整理为，则，，
，，
，故B选项不正确；
对于C，，
故C选项正确；
对于D，如图，设AB的中点为N，连MN，过N作NH⊥直线l，H为垂足，
根据B项可得N点坐标为，
则，
由为等边三角形可得，
则，
则，
由对称性及MN⊥AB可知直线AB的斜率为，
故D选项不正确．
故选：C.

8．已知抛物线）的焦点为F，过F且倾斜角为的直线l与抛物线相交于A，B两点，，过A，B两点分别作抛物线的切线，交于点Q.则下列四个命题中正确的个数是（    ）个.
①；
②若M（1，1），P是抛物线上一动点，则的最小值为；
③（O为坐标原点）的面积为.；
④，则.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用求得，然后结合导数、抛物线的定义、三角形的面积、两角差的正切公式对命题进行分析，从而确定正确答案.
【解析】抛物线的焦点为，
直线的方程为，设，
由消去并化简得，.
，
由得，
所以抛物线方程，，
不妨设在第一象限，在第二象限，则，
，设，
，设，
所以，所以，①正确.
到抛物线准线的距离为，结合抛物线的定义可知，的最小值是，②正确.
到直线的距离为，所以，③错误.
，






，④正确.
所以正确的有个.
故选：C
【点睛】求解直线和抛物线相交所得交点有关的问题，关键是联立直线的方程和抛物线的方程，写出根与系数关系，结合根与系数关系，设而不求来对问题进行求解.

二、多选题
9．已知直线：过抛物线：（）的焦点，且与抛物线交于A，两点，过A，两点分别作抛物线准线的垂线，垂线分别为，，则下列说法错误的是（    ）
A．抛物线的方程为 B．线段的长度为
C． D．线段的中点到轴的距离为
【答案】BD
【分析】求出抛物线的焦点坐标，可得，即可判断A;联立方程求出A,B坐标，可得，判断B；确定M,N坐标，可计算，判断C;求出线段的中点坐标，即可判断D.
【解析】由题意不妨设点A在点上方，直线：与x轴交点，
又经过的焦点，故，可得，
即抛物线方程为：，A正确．
由，可得，解得或，
可得，，所以，B错误．
由以上分析可知，，，，

可得，
则，即，C正确．
因为，，故线段的中点为，
则线段的中点到轴的距离为，D错误，
故选：BD．
10．已知直线，点，圆心为的动圆经过点，且与直线相切，则 （    ）
A．点的轨迹为抛物线
B．圆面积最小值为
C．当圆被轴截得的弦长为时，圆的半径为
D．存在点，使得，其中为坐标原点
【答案】ACD
【分析】由抛物线定义可知A正确；由抛物线性质可知当为坐标原点时，圆面积最小，可知B错误；设，利用垂径定理可构造方程求得，由此可得圆的半径，知C正确；设存在点，由可求得点坐标，知D正确.
【解析】对于A，由题意知：点到点与到定直线的距离相等，且点不在直线上，符合抛物线定义，点的轨迹为抛物线，A正确；
对于B，由A知，点的轨迹为抛物线，则当为坐标原点时，点到直线距离最小，即此时圆的半径最小，即，圆面积的最小值为，B错误；
对于C，由A得：点的轨迹方程为，设，则圆的半径，点到轴的距离，，解得：，
圆的半径，C正确；
对于D，假设存在点，使得，
设，则，整理可得：，
解得：，，或，D正确.
故选：ACD.

三、填空题
11．是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________．
【答案】##
【分析】求出圆心坐标和抛物线的焦点坐标，把的最小值转化为减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离即可得答案.
【解析】圆的圆心为，半径，
抛物线的焦点，
因为是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，
所以要使最小，即到抛物线的焦点与到圆的圆心的距离最小，
连接，则的最小值为减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离，
即，
所以的最小值为，
故答案为：

12．如图，已知抛物线：的焦点为，过且斜率为1的直线交于，两点，线段的中点为，其垂直平分线交轴于点，轴于点．若四边形的面积等于7，则的方程为________.

【答案】
【分析】作出辅助线，根据直线的斜率表达出梯形的上底和下底以及高，列出方程，求出，得到抛物线方程.
【解析】易知，直线的方程为，四边形为梯形，且．
设，，，则，
所以，所以．
作轴于点，则．
因为直线的斜率为1，所以为等腰直角三角形，故，所以，，
所以四边形的面积为，
解得，
故抛物线的方程为.

故答案为：

四、解答题
13．已知抛物线上的点到其焦点F的距离为.
(1)求抛物线C的方程；
(2)点在抛物线C上，过点的直线l与抛物线C交于，两点，点H与点A关于x轴对称，直线AH分别与直线OE，OB交于点M，N(O为坐标原点)，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）根据点在抛物线上和抛物线的定义列方程求解即可；
（2）将证明转化成证明，联立方程，利用韦达定理即可证明.
（1）
由点在抛物线上可得，，解得.
由抛物线的定义可得，整理得，解得或(舍去).
故抛物线C的方程为.
（2）
由在抛物线C上可得，解得，所以，
直线OE的方程为，
因为点和点关于轴对称，所以，均不为0.
由题意知直线l的斜率存在且大于0，
设直线l的方程为，
联立消去y，得.
则，得，所以，.
由直线OE的方程为，得.
易知直线OB的方程为，故.
要证，即证，
即证，即证，
即证，则，此等式显然成立，
所以.
14．已知抛物线C：的焦点为F，过点P(0，2)的动直线l与抛物线相交于A，B两点．当l经过点F时，点A恰好为线段PF中点．
(1)求p的值；
(2)是否存在定点T， 使得为常数？ 若存在，求出点T的坐标及该常数； 若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；，

【分析】（1）结合中点坐标公式表示出点A的坐标带入抛物线的方程即可求出结果；
（2）设出直线的方程与抛物线联立，进而结合根与系数的关系得到的表达式，从而可得，因此解方程组即可求出结果.
（1）
因为，且点A恰好为线段PF中点，所以，又因为A在抛物线上，所以，即，解得
（2）
设，可知直线l斜率存在；设l：，
联立方程得：，所以，
所以，
又：



，
令，解之得：，即，此时
【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
15．如图，椭圆：的离心率是，短轴长为，椭圆的左、右顶点分别为、，过椭圆与抛物线的公共焦点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，点为的中点．

(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)记的面积为，的面积为，若，求直线在轴上截距的范围．
【答案】(1)椭圆，拋物线
(2)

【分析】（1）由题知，进而解方程即可求得答案；
（2）设，进而分别与椭圆和抛物线联立计算弦长，，进而计算面积，，再结合已知求得，再求直线在轴上截距的范围即可.
（1）
解：根据题意得：，解得，，，
所以，抛物线焦点，
所以，椭圆，拋物线
（2）
解：设，
联立与椭圆，
整理得：，  
判别式：
弦长公式：
点到直线的距离为
所以
联立与抛物线，整理得：，判别式：
弦长公式：，
点到直线的距离为
所以，
因为，即，解得： .
所以，直线在轴上截距或，
所以，直线在轴上截距取值范
【点睛】.
16．如图，已知点为抛物线的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点A在第一象限，点C在抛物线上，使得的重心G在x轴上，直线交x轴于点Q，且Q在点F的右侧，记，的面积分别为，．

(1)求p的值及抛物线的准线方程；
(2)设A点纵坐标为，求关于t的函数关系式；
(3)求的最小值及此时点G的坐标．
【答案】(1)，准线方程
(2)
(3)的最小值为，点G的坐标为

【分析】（1）由焦点坐标确定p的值和准线方程即可；
（2）设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，再用代换并化简即可；
（3）根据已求的函数关系式，结合基本不等式即可求得的最小值和点G的坐标.
（1）
因为点为抛物线的焦点，
所以，即，准线方程.
（2）
设，
设直线AB的方程为，与抛物线方程联立可得：
，故：，
，
设点C的坐标为，由重心坐标公式可得：
，，
令可得：，则.即，
由斜率公式可得：，
直线AC的方程为：，
令可得：，
故，
且，
由于，代入上式可得：，
由可得，则，
则，
令 ，得.
即关于t的函数关系式为.
（3）
设，则，
当且仅当，即，，时等号成立，
即的最小值为，
此时，，则点G的坐标为.
【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系，本题主要考查了抛物线准线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，三角形重心公式的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.