统考版高中数学（文）复习2-5指数与指数函数学案

这是一份统考版高中数学（文）复习2-5指数与指数函数学案，共17页。学案主要包含了必记4个知识点，必明3个常用结论，必练4类基础题等内容，欢迎下载使用。
1．了解指数函数模型的实际背景．
2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3．理解指数函数的概念及单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象．
4．体会指数函数是一类重要的函数模型．
·考向预测·
考情分析：指数函数中比较大小、与其他知识结合考查指数型函数图象的识别与应用以及指数型函数单调性的应用仍是高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主．
学科素养：通过指数幂的化简求值，考查数学运算的核心素养，通过指数函数图象及性质的应用考查直观想象、逻辑推理的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实 赢得良好开端
一、必记4个知识点
1．根式的概念及性质
(1)概念：式子 na 叫做________，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)①________没有偶次方根．
②0的任何次方根都是0，记作n＝________．
③( na)n＝____(n∈N*，且n>1)．
④ nan＝a(n为大于1的奇数)．
⑤ nan＝|a|＝__________，a≥0，________，a0，m，n∈N*，且n>1；正数的负分数指数幂的意义是a-mn＝________(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂________．
3．指数幂的运算性质
实数指数幂的运算性质：aras＝________；(ar)s＝________；(ab)r＝________，其中a>0，b>0，r，s∈R.
4．指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
(2)指数函数的图象与性质
二、必明3个常用结论
1．画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，-1，1a.
2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与00且a≠1)是R上的增函数．( )
(4)函数y＝ax(a>0且a≠1)与x轴有且只有一个交点．( )
(5)若am>an，则m>n.( )
(6)函数y＝ax与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．( )
(二)教材改编
2．[必修1·P54练习T2改编]化简416x8y4(x0，且a≠1)的图象可能是( )
5．(忽视底数的讨论致错)若函数f(x)＝ax在[－1，1]上的最大值为2，则a＝________．
(四)走进高考
6．[2022·全国甲卷]已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则( )
A．a>0>b B．a>b>0
C．b>a>0 D．b>0>a
提 升 关键能力——考点突破 掌握类题通法
考点一 指数幂的化简与求值 [基础性]
1．[(0.06415)－2.5]23-3338－π0＝________．
2．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)＝________．
3．[2022·沧州联考](14)-12·(4ab-1)3(0.1)-1 ∙(a3∙b-3)12 (a>0，b>0)＝________．
4．已知常数a>0，函数f(x)＝2x2x+ax的图象经过点Pp，65，Qq，-15.若2p＋q＝36pq，则a＝________．



反思感悟
[注意] 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．
考点二 指数函数的图象及应用 [综合性]
[例1] (1)[2023·洛阳市高三模拟]已知f(x)＝(x－a)(x－b)(a>b)的大致图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的大致图象是( )
(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
听课笔记：
一题多变
1．(变条件)若将例1(2)中“|y|＝2x＋1”改为“y＝|2x－1|”，且与直线y＝b有两个公共点，求b的取值范围．
2．(变条件，变问题)若将例1(2)改为：函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围是什么？
3．(变条件，变问题)若将例1(2)改为：直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是什么？
反思感悟 (1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
【对点训练】
1．不论a为何值，函数y＝(a－1)2x－a2恒过定点，则这个定点的坐标是( )
A．(1，－12) B．(1，12)
C．(－1，－12) D．(－1，12)
2．定义运算a⊕b＝a，a≤b，b，a>b，则函数f(x)＝1⊕2x的图象是( )
考点三 指数函数的性质及应用 [综合性]
角度1 比较指数幂的大小
[例2] (1)[2022·唐山模拟]设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝(12)－1.5，则( )
A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3
C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2
(2)已知f(x)＝2x－2－x，a＝79-14，b＝9715，则f(a)，f(b)的大小关系是________．
听课笔记：
反思感悟 比较指数幂大小的常用方法
(1)单调性法：不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化为同底数的尽可能化为同底数的．
(2)取中间值法：不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0，1)比较大小，然后得出大小关系．
(3)图解法：根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小．
角度2 解简单的指数方程或不等式
[例3] (1)已知实数a≠1，函数f(x)＝4x，x≥0，2a-x，x