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    统考版高中数学(文)复习2-8函数与方程学案

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    统考版高中数学(文)复习2-8函数与方程学案

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    这是一份统考版高中数学(文)复习2-8函数与方程学案,共17页。学案主要包含了必记2个知识点,必明3个常用结论,必练4类基础题等内容,欢迎下载使用。


    结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
    考向预测
    考情分析:本节的常考点有判断函数零点所在区间、确定函数零点个数及利用函数零点解决一些参数问题,其中利用零点解决一些参数问题仍是高考考查的热点,题型多以选择题为主,属中档题.
    学科素养:通过函数零点的判断与求解考查直观想象、逻辑推理的核心素养.
    必备知识——基础落实 赢得良好开端
    一、必记2个知识点
    1.函数的零点
    (1)概念:对于一般函数y=f(x),我们把使________的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
    (2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系:
    2.函数零点存在定理
    (1)条件:①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线;②________<0.
    (2)结论:函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得________,这个c也就是方程f(x)=0的解.
    二、必明3个常用结论
    1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”,而是方程f(x)=0的实根.
    2.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.
    3.周期函数如果有零点,则必有无穷多个零点.
    三、必练4类基础题
    (一)判断正误
    1.判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
    (1)函数f(x)=x2-1的零点是(-1,0)和(1,0).( )
    (2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则一定有f(a)·f(b)<0.( )
    (3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.( )
    (4)若连续不断的函数f(x)在(a,b)上单调且f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.( )
    (二)教材改编
    2.[必修1·P92习题A组T5改编]函数f(x)=ln x-2x的零点所在的大致区间是( )
    A.(1,2) B.(2,3)
    C.1e,1和(3,4) D.(4,+∞)
    3.[必修1·P88例1改编]函数f(x)=x12-(12)x的零点个数为________.
    (三)易错易混
    4.(忽视二次项系数为0的情况)若函数f(x)=2ax2-x-1在(0,1)内恰有一个零点,则实数a的取值范围是( )
    A.(-1,1) B.[1,+∞)
    C.(1,+∞) D.(2,+∞)
    5.(不会用数形结合讨论二次方程根的分布)若二次函数f(x)=x2-2x+m在区间(0,4)上存在零点,则实数m的取值范围是________.
    (四)走进高考
    6.[2019·全国Ⅲ卷]函数f(x)=2sin x-sin 2x在[0,2π]的零点个数为( )
    A.2 B.3 C.4 D.5
    关键能力——考点突破 掌握类题通法
    考点一 函数零点所在区间的判定
    1.函数f(x)=2x-1+ln 1x的零点所在的大致区间是( )
    A.(0,1) B.(1,2)
    C.(2,3) D.(0,1),(2,3)
    2.若aA.(a,b)和(b,c)内
    B.(-∞,a)和(a,b)内
    C.(b,c)和(c,+∞)内
    D.(-∞,a)和(c,+∞)内
    3.已知函数f(x)=lgax+x-b(a>0且a≠1).当2反思感悟 确定函数零点(或方程的根)所在区间的3种方法
    (1)利用函数零点的存在性定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
    (2)图象法:把方程转化为两个函数,看它的交点所在区间.
    (3)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
    考点二 确定函数零点的个数 [基础性、综合性]
    [例1] (1)函数f(x)=x2+x-2,x≤0,-1+lnx,x>0的零点个数为( )
    A.3 B.2
    C.1 D.0
    (2)[2023·河南郑州质检]已知函数f(x)=(12)x-cs x,则f(x)在[0,2π]上的零点个数为( )
    A.1 B.2
    C.3 D.4
    听课笔记:
    反思感悟 函数零点个数的判断方法
    (1)直接求零点:令f(x)=0,有几个解就有几个零点;
    (2)零点存在性定理:要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,再结合函数的图象与性质确定函数零点个数;
    (3)利用图象交点个数,作出两函数图象,观察其交点个数即得零点个数.
    【对点训练】
    1.[2023·重庆调研]设函数f(x)=2|x|+x2-3,则函数y=f(x)的零点个数是( )
    A.4 B.3
    C.2 D.1
    2.函数f(x)=2sin x sin x+π2-x2的零点个数为________.
    考点三 函数零点的应用 [综合性]
    角度1 根据函数零点个数求参数
    [例2] (1)设实数a,b是关于x的方程|lg x|=c的两个不同实数根,且a(2)已知函数f(x)=2x,0≤x≤1,1x,x>1.若关于x的方程f(x)=-14x+a(a∈R)恰有两个互异的实数解,则a的取值范围为( )
    A.54,94 B.54,94
    C.54,94∪1 D.[54,94]∪{1}
    角度2 根据零点的范围求参数
    [例3] (1)[2023·武汉质检]若函数f(x)=x2-ax+1在区间12,3上有零点,则实数a的取值范围是( )
    A.(2,+∞) B.[2,+∞)
    C.2,52 D.2,103
    (2)[2023·衡水检测]已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(x-1)=f(x+1)=f(1-x),当x∈[1,2]时,f(x)=lg2x,若方程f(x)-ax=0在(0,+∞)上恰好有两个不等的实数根,则正实数a的值为( )
    A.elg2e B.1eln 2
    C.12 D.2
    角度3 求函数多个零点(方程根)的和
    [例4] [2021·广东七校联考]设函数f(x)的定义域为R,f(-x)=f(x)且f(x)=f(2-x),当x∈[0,1]时,f(x)=x3,则函数g(x)=|cs (πx)|-f(x)在区间-12,32上的所有零点的和为( )
    A.1 B.2
    C.3 D.4
    反思感悟 已知函数有零点(方程有根)求参数值(范围)的3种常用的方法
    (1)直接法
    直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.
    (2)分离参数法
    先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决.
    (3)数形结合法
    先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.
    【对点训练】
    1.[2022·武汉质量监测]已知函数f(x)=exx-a.若f(x)没有零点,则实数a的取值范围是( )
    A.[0,e) B.(0,1)
    C.(0,e) D.[0,1)
    2.若函数f(x)=(m-2)x2+mx+2m+1的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m的取值范围是________.
    微专题 eq \(○,\s\up1(11)) 解嵌套函数的零点问题
    函数的零点是高考命题的热点,主要涉及判断函数零点的个数或范围,常考查三次函数与复合函数相关零点,与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点,通常先“换元解套”,将复合函数拆解为两个相对简单的函数,借助函数的图象、性质求解.
    类型1 嵌套函数零点个数的判断
    [例1] 已知f(x)=lgx,x>0,2x,x≤0,则函数y=2fx2-3f(x)+1的零点个数是________.
    解析:由2[f(x)]2-3f(x)+1=0,得f(x)=12或f(x)=1,
    作出函数y=f(x)的图象如图所示.
    由图象知y=12与y=f(x)的图象有2个交点,y=1与y=f(x)的图象有3个交点.
    因此函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点有5个.
    答案:5
    名师点评 求解此类问题的主要步骤
    (1)换元解套,转化为t=g(x)与y=f(t)的零点.
    (2)依次解方程,令f(t)=0,求t,代入t=g(x)求出x的值或判断图象交点个数.
    类型2 求嵌套函数零点中的参数
    [例2] 函数f(x)=ln-x-1,x<-1,2x+1,x≥-1,若函数g(x)=f(f(x))-a有三个不同的零点,则实数a的取值范围是________.
    解析:设t=f(x),令f(f(x))-a=0,则a=f(t).
    在同一坐标系内作y=a,y=f(t)的图象(如图).
    当a≥-1时,y=a与y=f(t)的图象有两个交点.
    设交点的横坐标为t1,t2(不妨设t2>t1),则t1<-1,t2≥-1.
    当t1<-1时,t1=f(x)有一解;
    当t2≥-1时,t2=f(x)有两解;
    当a<-1时y=a与y=f(t)的图象只有一个交点,函数g(x)只有一个零点,不合题意,综上,当a≥-1时,函数g(x)=f(f(x))-a有三个不同的零点.
    答案:[-1,+∞)
    名师点评 (1)求解本题抓住分段函数的图象性质,由y=a与y=f(t)的图象,确定t1,t2的取值范围,进而由t=f(x)的图象确定零点的个数.
    (2)含参数的嵌套函数方程,还应注意让参数的取值“动起来”,抓临界位置,动静结合.
    [变式训练] 已知函数f(x)=2x+22,x≤1,|lg2(x-1)|,x>1,则函数F(x)=f(f(x))-2f(x)-32的零点个数是( )
    A.4 B.5
    C.6 D.7
    第八节 函数与方程
    积累必备知识
    一、
    1.(1)f(x)=0 (2)x轴 f(x)=0
    2.(1)f(a)·f(b) (2)f(c)=0
    三、
    1.答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
    2.解析:因为f(2)=ln 2-1<0,
    f(3)=ln 3-23>0,
    且函数f(x)的图象连续不断,f(x)为增函数,
    所以f(x)的零点在区间(2,3)内.
    答案:B
    3.解析:作函数y1=x12和y2=(12)x的图象如图所示,
    结合函数的单调性及图象知函数f(x)有1个零点.
    答案:1
    4.解析:若函数f(x)=2ax2-x-1在区间(0,1)内恰有一个零点,则方程2ax2-x-1=0在区间(0,1)内恰有一个根,若a=0,则方程2ax2-x-1=0可化为:-x-1=0方程的解为-1,不成立;若a<0,则方程2ax2-x-1=0不可能有正根,故不成立;若a>0,则Δ=1+8a>0,且c=-1<0;
    故方程有一正一负两个根,
    故方程2ax2-x-1=0在区间(0,1)内恰有一个解可化为
    (2a·02-0-1)(2a·12-1-1)<0;
    解得,a>1;
    故实数a的取值范围是(1,+∞).
    答案:C
    5.解析:由题意m=-x2+2x在(0,4)上有解,又-x2+2x=-(x-1)2+1,
    ∴y=-x2+2x在(0,4)上的值域为(-8,1],∴-8答案:(-8,1]
    6.解析:方法一 函数f(x)=2sin x-sin 2x在[0,2π]的零点个数,
    即2sin x-sin 2x=0在区间[0,2π]的根个数,
    即2sin x=sin 2x,令h(x)=2sin x和g(x)=sin 2x,
    作出两函数在区间[0,2π]的图象如图所示,由图可知,
    h(x)=2sin x和g(x)=sin 2x在区间[0,2π]的图象的交点个数为3个.故选B.
    方法二 因为f(x)=2sin x-sin 2x=2sin x(1-cs x),x∈[0,2π],令f(x)=0,得2sin x(1-cs x)=0,即sin x=0或1-cs x=0,解得x=0,π,2π.
    所以f(x)=2sin x-sin 2x在[0,2π]的零点个数为3个.
    提升关键能力
    考点一
    1.解析:求函数f(x)=2x-1+ln 1x的零点所在的大致区间,等价于求2x-1+ln 1x=0的解所在的大致区间,等价于求2x-1=-ln 1x的解所在的大致区间,等价于求2x-1=ln x的解所在的大致区间,等价于求y=2x-1与y=ln x的图象在(0,+∞)上的交点的横坐标所在的大致区间(如图所示),由图可得,选D.
    答案:D
    2.解析:∵a∴f(a)=(a-b)(a-c)>0,
    f(b)=(b-c)(b-a)<0,
    f(c)=(c-a)(c-b)>0,
    由函数零点存在性定理可知,在区间(a,b),(b,c)内分别存在零点,又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点,因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内.
    答案:A
    3.解析:对于函数y=lgax,当x=2时,可得y<1,当x=3时,可得y>1,在同一坐标系中画出函数y=lgax,y=-x+b的图象,判断两个函数图象的交点的横坐标在(2,3)内,∴函数f(x)的零点x0∈(n,n+1)时,n=2.
    答案:2
    考点二
    例1 解析:(1)方法一 由f(x)=0得x≤0,x2+x-2=0或x>0,-1+lnx=0,解得x=-2或x=e.
    因此函数f(x)共有2个零点.
    方法二 函数f(x)的图象如图所示,由图象知函数f(x)共有2个零点.
    (2) 如图,作出g(x)=(12)x与h(x)=cs x的图象,可知其在[0,2π]上的交点个数为3,所以函数f(x)在[0,2π]上的零点个数为3,故选C.
    答案:(1)B (2) C
    对点训练
    1.解析:易知f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)=2x+x2-3,所以x≥0时,f(x)在[0,+∞)上是增函数,且f(1)=0,所以x=1是函数y=f(x)在[0,+∞)上的唯一零点.
    根据奇偶性,知x=-1是y=f(x)在(-∞,0)内的零点,因此y=f(x)有两个零点.
    答案:C
    2.解析:f(x)=2sin x cs x-x2=sin 2x-x2,函数f(x)的零点个数可转化为函数y1=sin 2x与y2=x2图象的交点个数,在同一坐标系中画出y1=sin 2x与y2=x2的图象如图所示:
    由图可知两函数图象有2个交点,则f(x)的零点个数为2.
    答案:2
    考点三
    例2 解析:(1)由题意知,如图,在(0,10)上,函数y=|lg x|的图象和直线y=c有两个不同交点,所以ab=1,0(2)画出函数y=f(x)的图象,如图.
    方程f(x)=-14x+a的解的个数,即为函数y=f(x)的图象与直线l:y=-14x+a的公共点的个数.
    当直线l经过点A时,有2=-14×1+a,a=94;
    当直线l经过点B时,有1=-14×1+a,a=54;
    由图可知,a∈54,94时,函数y=f(x)的图象与l恰有两个交点.
    另外,当直线l与曲线y=1x,x>1相切时,恰有两个公共点,此时a>0.
    联立y=1x,y=-14x+a,得1x=-14x+a,
    即14x2-ax+1=0,
    由Δ=a2-4×14×1=0,得a=1(舍去负根).
    综上,a∈54,94∪1.
    答案:(1)(0,1) (2)D
    例3 解析:(1)由题意知方程ax=x2+1在12,3上有实数解,
    即a=x+1x在12,3上有解,设t=x+1x,x∈12,3,
    则t的取值范围是2,103.
    所以实数a的取值范围是2,103.
    (2)由f(x-1)=f(x+1)=f(1-x),可知f(x)为偶函数,且一条对称轴为直线x=1;
    再由f(x+1)=f(x-1),可得f(2+x)=f(x),求得周期为2.
    根据x∈[1,2]时,f(x)=lg2x,作出函数f(x)的草图,如图所示:
    ∵方程f(x)-ax=0在(0,+∞)上恰好有两个不等的实数根,
    ∴函数y=ax与y=f(x)的图象在y轴右侧有两个交点.
    设y=ax与y=lg2x的图象相切时,切点坐标为(x0,lg2x0),
    由y′=1xln2,得1x0ln2=lg2x0x0,解得x0=e>2.
    ∴由图象可知,当直线y=ax过点(2,1)时,方程f(x)-ax=0在(0,+∞)上恰好有两个不等的实数根,∴a=12.
    答案:(1)D (2)C
    例4 解析:由f(-x)=f(x),知函数f(x)是偶函数,由f(x)=f(2-x),可知函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1.由于函数f(x)与函数y=|cs (πx)|均为偶函数,所以在-12,12上g(x)的零点之和为0,只需求在12,32上的零点和.在同一个直角坐标系中画出函数y=|cs (πx)|,y=f(x)在12,32上的图象如图,
    在12,32上,(1,1)为两函数图象的交点,另外两个交点关于x=1对称,所以在12,32上,g(x)的零点和为3,故所有零点的和为3.
    答案:C
    对点训练
    1.解析:由f(x)=exx-a=0,得ex=ax.若a<0时,显然y=ex与y=ax有零点,
    因此若f(x)无零点,必然有a≥0.
    当y=ax与y=ex相切时,设切点P(x0,ex0),
    则a=ex0且ex0=ax0,
    ∴a=ax0,∴x0=1,则切线斜率k=ex0|x0=1=e.
    因此,要使曲线y=ex与y=ax不相交,则0≤a答案:A
    2.解析:依题意,结合函数f(x)的图象分析可知,m需满足m≠2,f-1·f0<0,f1·f2<0,
    即m≠2,m-2-m+2m+12m+1<0,m-2+m+2m+14m-2+@ 2m+2m+1<0,
    解得14答案:14,12
    微专题 eq \(○,\s\up1(11)) 解嵌套函数的零点问题
    变式训练
    解析:令f(x)=t,则函数F(x)可化为y=f(t)-2t-32,则函数F(x)的零点问题可转化为方程f(t)-2t-32=0的根的问题.
    令y=f(t)-2t-32=0,则f(t)=2t+32,
    分别作出y=f(t)和y=2t+32的图象,如图1,由图象可得有两个交点,横坐标设为t1,t2(不妨设t1由图2,结合图象,当f(x)=0时,有一解,即x=2;
    当f(x)=t2时,结合图象,有3个解.
    所以y=f(f(x))-2f(x)-32共有4个零点.
    答案:A

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