单元复习04 指数与对数【过习题】（分级培优练）- 2022-2023学年高一数学单元复习（苏教版2019必修第一册）

单元复习04 指数与对数

一、单选题

1．若，则（    ）

A．81 B． C． D．3

【答案】D

【分析】将对数式转化为指数式即可求解.

【解析】解：因为，所以，即，

所以，

故选：D.

2．下列运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据对数的运算性质逐一计算各选项即可得出答案.

【解析】解：对于A，，故A错误；

对于B，，故B错误；

对于C，，故C错误；

对于D，，故D正确.

故选：D.

3．化简的结果为（     ）

A．－ B．－

C．－ D．－6ab

【答案】C

【分析】根据指数幂的运算可得结果.

【解析】原式＝.

故选：C.

4．若代数式有意义，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由有意义求出的取值范围，然后根据根式的运算性质化简计算即可得答案

【解析】由有意义，得解得．

所以

所以．

故选：B．

5．下列指数式与对数式的互化中不正确的是（    ）

A．e0=1与ln 1=0 B．log39=2与=3

C．=与log8=- D．log77=1与71=7

【答案】B

【分析】利用指对互化公式进行互化，得出结果.

【解析】对于A，e0=1可化为0=loge1=ln 1，所以A中互化正确；

对于B，log39=2可化为32=9，所以B中互化不正确；

对于C，=可化为log8=-，所以C中互化正确；

对于D，log77=1可化为71=7，所以D中互化正确.

故选：B.

6．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（    ）（）

A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6

【答案】C

【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.

【解析】由，当时，，

则.

故选：C.

7．方程的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】通过对数运算性质转化为一元二次方程即可求解.

【解析】，

∴．

设，则，解之得：．

∴或，解之得：或．

经检验，和均符合题意，∴该方程的解集是．

故选：B

8．化简 (a>0，b>0)的结果是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接利用根式与分数指数幕的互化及其化简运算，求解即可.

【解析】

故选：B

二、多选题

9．（多选题）下列计算正确的是（    ）

A． B．

C． D．已知，则

【答案】BC

【解析】根据根式运算和指数幂的运算法则求解判断.

【解析】A. ，故错误；

B. ，故正确；

C. ，故正确；

D. 因为，所以，则，故错误；

故选：BC

10．下面给出的四个式子中（式中，，，，）中错误的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【解析】由对数的运算性质：当，，，时，成立，判断A选项正确；当，时，判断BCD选项错误.

【解析】A选项：由对数的运算性质：当，，，时，成立，故A选项正确；

B选项：当，时，，，成立，，故B选项错误；

C选项：当，时，，，成立，，故C选项错误；

D选项：当，时，，，成立，无意义，故D选项错误；

故选：BCD.

【点睛】本题考查对数的运算性质，是基础题.

三、填空题

11．计算：______．

【答案】6

【分析】利用对数的运算性质即可求解.

【解析】原式．

故答案为：6．

12．化简__________.

【答案】

【分析】根据幂的运算法则直接计算即可.

【解析】

故答案为：

四、解答题

13．计算：

(1)；

(2)．

【答案】(1)7

(2)

【分析】（1）利用对数的运算性质进行运算可得答案；

（2）利用对数的运算性质进行运算可得答案.

（1）

原式；

（2）

原式．

14．（1）若，求的值；

（2）已知，求的值．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用立方差公式将分解为，结合已知即可求得答案;

（2）将化为，化简并结合，可求得答案.

【解析】（1），

则．

（2），

且,

．

一、单选题

1．已知，若，则的值分别为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用指数式与对数式的互化，设代入式子求得的值，从而得到的关系，再利用式子求得的值.

【解析】设，则，，

所以，解得或，

因为，所以，即，

因为，所以，代入得：，

所以.

故选B.

【点睛】本题考查指数式与对数式的互化，考查转化与化归思想的应用，求解时要注意条件的运用，考查运算求解能力.

2．设，，则约等于（    ）（参考数据：）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】可采用两边同取对数的方式，结合对数运算性质求解即可

【解析】由题知，，对同取对数，得，，，即，即；

故选C

【点睛】本题考查对数的运算性质，指数与对数的互化，同取是解题关键，属于基础题

3．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为，星等为的星的亮度为.已知太阳的星等是，小熊座星的星等是，则太阳与小熊座星的亮度的比值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将题目中数据代入,计算可得.

【解析】依题意得, 太阳的星等,小熊座星的星等,

设太阳和小熊座星的亮度分别为:,

则,

所以,

所以,

所以太阳与小熊座星的亮度的比值为.

故选B

【点睛】本题考查了对数式化指数式,属于基础题.

4．已知,现有下面四个命题:

P1:若,则；:若,则；

P3:若,则；:若,则.

其中的真命题是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据实数指数幂的运算，可得为真命题，根据对数的运算性质，可得命题是正确的，即可求解.

【解析】由题意,当，由，可得，则，此时，所以是真命题；

当时，由，可得，则，

所以是真命题.

故选B

【点睛】本题考查指数幂与对数的运算的应用，其中解答中熟记实数指数幂的运算性质，以及对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算求解能力，属于基础题

5．已知、是方程的两个实根，则

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用根与系数的关系得到，，并得出，由此可求出的值.

【解析】由已知，得，即，又，

所以.

故选B.

【点睛】本题考查对数的运算，同时也考查了一元二次方程根与系数的关系，解题时要熟悉代数式之间的关系，考查计算能力，属于中等题.

6．设，则

A．0<P<1 B．1<P<2

C．2<P<3 D．3<P<4

【答案】B

【分析】根据对数性质化简为同底数的对数的和，再根据对数运算性质化简求结果,最后确定取值范围.

【解析】=log112+log113+log114+log115=log11（2×3×4×5）=log11120．

∴log1111=1<log11120<log11121=2．故选B．

【点睛】本题考查对数性质及其运算，考查基本求解能力.

二、多选题

7．已知x>0，y>0，z>0，若，则（    ）

A．z<y<x B．x<z<y C．3x<5y<7z D．5y<3x<7z

【答案】AC

【分析】设，则，再利用在上的单调性比较；由，利用在上的单调性比较.

【解析】设，

所以，

因为，

所以，

所以在上是减函数，

所以 z<y<x，

而，

在上是增函数，

所以3x<5y<7z

故选：AC

【点睛】本题主要考查对数转化为指数，幂函数的单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

8．若，且，则下列等式中不正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】AB

【分析】根据对数的运算法则成立的条件，即可逐项判断出真假．

【解析】对于A，时， ，但是无意义，该等式不正确；

对于B，时， ，但是无意义，该等式不正确；

对于C，，按照对数的运算法则，该等式正确；

对于D，由换底公式得，，该等式正确．

故选AB．

【点睛】本题主要考查对数的运算法则成立的条件判断以及换底公式的应用．

三、填空题

9．若,求_________

【答案】

【分析】把指数式转化为对数式，再利用对数的运算法则即可得出．

【解析】解：，，

，，

则．

故答案为：．

【点睛】熟练掌握指数式与对数式互相转化及对数的运算法则是解题的关键．

10．已知，，，则的值为__________.

【答案】##

【分析】由题意，设，从而表示出，可得，化简计算得，从而得，化简，代入计算即可.

【解析】由题意，设，则，所以，得，即，解得或（舍），因为，所以.

故答案为：

【点睛】解答本题的关键在于先利用整体代入法得，化简以后得关于的一元二次方程，求解出，即求解出，从而整体代入所求式子.

11．记，那么______.

【答案】1.

【分析】根据对数运算法则，化简原式，求值.

【解析】

.

故答案为：1

【点睛】本题考查对数运算法则，意在考查基本公式，属于基础题型.

12．已知实数满足，则代数式的值为____.

【答案】

【分析】根据对数的真数大于0以及偶次根式的被开方非负,可得,进一步得,代入所求式子中化简可得答案..

【解析】由 以及有意义,得且,

又 以及,所以且,所以,

所以可化为,

所以,

所以.

故答案为:.

【点睛】本题考查了对数的真数大于0,考查了偶次根式的被开方非负,考查了对数的运算性质,解题关键是根据对数的真数大于0以及偶次根式的被开方非负得出,属于基础题.

四、解答题

13．计算：（1）已知，试用表示；

（2）.

【答案】（1） ；（2）3

【分析】（1）由题设可得，，由换底公式及对数的性质可得，从而可用表示.

（2）利用对数的运算性质及对数的性质可将原式化为，利用可得所求的值.

【解析】（1）由，得

由得，

.

（2）原式

.

【点睛】对数的性质、运算规则可分成三大类：

①；

；

②；

③．

解题中注意根据题设中对数的形式选择合适的计算方法.

14．计算下列各式：

(1).

(2).

(3)已知，求的值.

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】(1)利用实数指数幂的运算法则直接计算作答.

(2)利用实数指数幂的运算法则结合单项式的除法法则直接计算作答.

(3)将给定等式两边平方直接计算即可作答.

(1)

原式.

(2)

原式.

(3)

因，两边平方得，

所以.

15．化简或计算下列各式：

(1)；

(2).

(3).

【答案】(1)-45

(2)a2

(3)1

【分析】（1）利用分数指数幂运算法则进行运算；（2）把根式换为分数指数幂，难点是用到了立方差公式；（3）利用对数运算法则进行计算

(1)

原式＝

(2)

原式＝

(3)

原式＝

16．求解下列问题：

(1)证明：．

(2)已知，且．

求证：．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）结合换底公式以及对数运算证得等式成立.

（2）令，结合指数运算，通过证明等式左边右边来证得等式成立.

（1）

左边右边

（2）

令，则，，，

所以，

，

所以．

一、单选题

1．（2022·山西吕梁·三模（文））已知实数满足，则的最小值为（    ）

A．2 B．4 C． D．6

【答案】B

【分析】变形给定等式，利用基本不等式中“1”的妙用求解作答.

【解析】由得，则，当且仅当时“=”，

所以的最小值为4．

故选：B

2．（2022·天津经济技术开发区第一中学一模）已知，则的值为（    ）

A．1 B．0 C． D．2

【答案】C

【分析】利用指数与对数互化的公式表示出，再利用换底公式和对数的运算性质化简计算.

【解析】因为，所以，由换底公式和对数的运算性质可得.

故选：C

3．（2022·海南·模拟预测）设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分别求出的范围，直接比较大小即可.

【解析】，，，.

故选：D.

4．（2021·河南·罗山县教学研究室一模（文））若，则（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】C

【分析】由已知表示出，再由换底公式可求.

【解析】，，

.

故选：C.

5．（2021·宁夏·银川唐徕回民中学一模（文））已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】指数式化为对数式求，再利用换底公式及对数运算性质变形.

【解析】，

，

．

故选：B．

6．（2022·新疆喀什·一模（理））①；②；③若，则；④若，则．其中正确的是（    ）

A．①③ B．②④ C．①② D．③④

【答案】C

【分析】根据对数的运算性质计算逐一判断可得选项.

【解析】解：对于①，，故①正确；

对于②，，故②正确；

对于③，若，则，故③不正确；

对于④，若，则，故④不正确．

故选：C.

二、多选题

7．（2022·河北唐山·三模）下列命题正确的有（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．，则

【答案】BD

【分析】可通过反例排除A、C，对于B，两边取对数即可，对于D，通过对数运算得到的式子，应用基本不等式即可确定.

【解析】对于A，，故A错误；

对于B，，故B正确；

对于C，，故C错误；

对于D，，所以，故D正确.

故选：BD.

8．（2021·湖南·长郡中学二模）设a，b，c都是正数，且，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】利用与对数定义求出，，，再根据对数的运算性质可得，然后进行化简变形即可得到.

【解析】由于，，都是正数，故可设，

，，，则，，.

，，即，去分母整理得，.

故选AD.

【点睛】本题考查对数的定义及运算性质，属于基础题.

三、填空题

9．（2022·上海静安·二模）解指数方程：__________.

【答案】或

【分析】直接对方程两边取以3为底的对数，讨论和，解出方程即可.

【解析】由得，即，当即时，显然成立；

当时，，解得；故方程的解为：或.

故答案为：或.

10．（2020·贵州·贵阳一中模拟预测（理））已知，，，将a，b，c从小到大排序为___________．

【答案】

【分析】由函数是增函数，可得；根据换底公式和对数的运算性质，可得；由函数是增函数，可得，即得答案.

【解析】函数是增函数，.

.

又函数是增函数，.

综上：.

故答案为：.

【点睛】本题考查指数函数、对数函数的单调性，考查换底公式和对数的运算性质，属于基础题.

11．（2021·四川·宜宾市翠屏区天立学校模拟预测（文））计算：______．

【答案】0

【解析】结合指数幂的运算公式、对数的运算公式，对数式与指数式的恒等式直接求解即可.

【解析】原式

.

故答案为：0

【点睛】本题考查了对数的运算公式，考查了指数幂的运算公式，考查了对数式与指数式的恒等式，考查了数学运算能力.

12．（2020·上海·模拟预测）设，满足，则的最小值为__________.

【答案】

【解析】令，将用表示，转化为求关于函数的最值.

【解析】，令，

则

，

，

当且仅当时等号成立.

故答案为:.

【点睛】本题考查指对数间的关系，以及对数换底公式，注意基本不等式的应用，属于中档题.