单元复习05 函数的概念与性质【过习题】（考点练）-2022-2023学年高一数学单元复习（苏教版2019必修第一册）

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单元复习05 函数的概念与性质
01 函数的概念与表示
一、单选题
1．下列各组中的两个函数为相等函数的是（    ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】逐项分析定义域及对应关系即得.
【解析】A中，的定义域是，的定义域为，它们的定义域不相同，不是相等函数；
B中，的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是相等函数；
C中，与的对应关系不同，不是相等函数；
D中，与定义域与对应关系都相同，因此它们是相等函数．
故选：D.
2．函数的定义域为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据定义域的定义进行求解即可
【解析】使得函数的表达式有意义，
则且，解得
故选：D
3．已知函数，则等于（    ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【分析】令，求得，代入函数解析式，即可求解.
令，可得.
【解析】由题意，函数，令，解得，
令，可得.
故选：D.
4．函数的值域为                                             （    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题通过换元法求值域，先令，将函数转化成二次函数进行求解.
【解析】函数的定义域是，令，则， ，所以，
因为，所以，所以原函数的值域为．
故选：D.
5．设已知函数如下表所示：

1
2
3
4
5



5
4
3
2
1

5
4
3
2
1

4
3
2
1
5

则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】代入，根据表格，依次验证即可
【解析】由题意，当时，，不满足；
当时，，满足；
当时，，满足；
当时，，满足；
当时，，不满足；
故不等式的解集为
故选：C
6．已知函数在区间上的值域为，对任意实数都有，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据关于对称，讨论与的关系，结合其区间单调性及对应值域求的范围.
【解析】由题设，，易知：关于对称，又恒成立，
当时，，则，可得；
当时，，则，可得；
当，即时，，则，即，可得；
当，即时，，则，即，可得；
综上，.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质，讨论其对称轴与给定区间的位置关系，结合对应值域及求参数范围.

二、多选题
7．下列说法正确的是（    ）
A．若的定义域为，则的定义域为
B．函数的值域为
C．函数的值域为
D．函数在上的值域为
【答案】AC
【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用配方法，结合二次函数的性质判断D.
【解析】对于A，因为的定义域为，所以，
解得，即的定义域为，故A正确；
对于B，，
所以，即函数的值域为，故B不正确；
对于C，令，则，，
所以，，
所以当时，该函数取得最大值，最大值为，
所以函数的值域为，故C正确；
对于D，，其图象的对称轴为直线，且，，
所以函数在上的值域为，故D不正确．
故选：AC．
8．若函数的定义域为，值域为，则函数的图象不可能是（    ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根据题意和函数的概念，逐项判定，即可求解.
【解析】由题意，函数的定义域为，值域为，
对于A中，函数的定义域为，不符合题意；
对于B中，函数的定义域为，值域为，符合题意；
对于C中，根据函数的概念，一对一对应和多多对一对应是函数，而C项中出现一对多对应，所以不是函数，不符合题意；
对于D中，函数的定义域为，但值域为，不符合题意.
故选：ACD.
9．已知函数的图象由如图所示的两条线段组成，则

A．
B．
C．，
D．，不等式的解集为
【答案】AC
【解析】由，可判断A；由，可判断B；由图可得时，；时，，可判断C；由，结合图象可判断D.
【解析】A. 因为，，所以，正确；
B. ，，所以，错误；
C. 由图得，当时，设解析式为，图象经过，所以，解得，所以；
时，设解析式为，图象经过，所以，解得，所以解析式为；即，，正确；
D. 由C得 ，，如图：

所以不存在大于零的，使得不等式的解集为，故D错误.
故选：AC.
【点睛】本题考查数形结合法求函数的解析式、求函数值、求参数，关键是由图象判断出函数的类型并求出解析式，本题考查分析问题、解决问题能力，运算求解能力.
10．若函数的定义域为，值域为，则实数m的值可能为（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】ABC
【分析】画出函数的图象，结合值域可得实数的取值范围，从而可得正确的选项.
【解析】函数的图象如图所示：

因为函数在上的值域为，结合图象可得，
故选：ABC.
11．我们知道：函数关于对称的充要条件是.某同学针对上述结论进行探究，得到一个真命题：函数关于对称的充要条件是.若函数满足，且当时，，则（    ）
A．
B．当时，
C．函数的零点为3，-1
D．的解集为
【答案】BD
【分析】由函数对称的定义可得关于对称，进而可判断选项是否正确.
【解析】，则关于对称，所以，故A不正确；
设则，，故B正确；
当时，令可得，，所以函数零点为，故C不正确；
，
当时， ，所以
当时，，函数单调递减，可得，所以或，故D正确.
故选：BD
【点睛】关键的点睛：求分段函数的解析式注意定义域，解分段函数不等式也要讨论定义域取值.本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.

三、填空题
12．已知函数满足，对任意的，，有，则___________.
【答案】##
【分析】根据题设条件可得，据此可求.
【解析】因为，
所以，
因为，
所以，从而可得，
故
，
故，故，
所以，故.
故答案为：
【点睛】思路点睛：对于抽象函数的函数值的计算，应该根据给出的运算律结合变换得到新的运算律，从而可求确定的函数值.
13．已知函数，，若对，，使成立，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【分析】根据,,使成立,转化为两个函数值域的包含关系,进而根据关于的不等式组,解不等式组可得答案．
【解析】记函数在上的值域为集合，函数在上的值域为集合，由题意得，，.
当时，，，满足；
当时，在上单调递增，，∵，，解得，∴；
当时，在上单调递减，，∵，∴，解得，∴.综上，实数的取值范围为.
故答案为：

四、解答题
14．求抽象函数的定义域.
(1)已知函数，求函数的定义域；
(2)已知函数的定义域为，求的定义域.
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）根据函数解析式可知，可得出函数的定义域，再根据抽象函数的定义域求法，即可求出函数的定义域；
（2）根据题意，可知，根据抽象函数的定义域求法，可求出函数的定义域，从而得出的定义域.
(1)
解：由，
得，解得：，
∴函数的定义域为，
由，得，
即函数的定义域为.
(2)
解：∵函数的定义域为，
∴，则，
即函数的定义域为，
由，得，
∴的定义域为.
15．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到横线中，并解答．已知一次函数满足，且______．
(1)求函数的解析式；
(2)若在上的最大值为2，求实数的值．
【答案】(1)
(2)-2

【分析】（1）选择方案，设一次函数解析式，代入函数解方程组得答案.
（2）计算，考虑和两种情况，计算最值得到答案.
（1）
方案一：选条件①．
设，则，即，
所以，，所以，由，得，
所以．
方案二：选条件②．
设，则，即，
所以，，所以．
，得，所以．
方案三：选条件③．
设，则，即，
所以，，所以．
由，得，所以．
（2）
，
所以的图象为开口向上的抛物线，且对称轴为直线．
当，即时，，
令，解得；
当，即时，，令，解得（舍去）．
综上，．
16．已知的数，（其中）.
(1)设关于x的函数的最小值为m，当时，在如图所示的坐标系中画出函数的图象，并直接写出m的值；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)图象答案见解析，
(2)答案见解析

【分析】（1）作出分段函数图象即可求解.
（2）由题意可得，从而可得，再由一元二次不等式的解法即可求解.
(1)
（1）时，的图象如图所示.
，则.

(2)
.

①当时，；
②当时，；
③当时，.
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
17．已知函数.
(1)当，且时，求的值；
(2)若存在正实数a､b（）使得函数的定义域为时，值域为（），求m的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据函数的单调性可知，可等价于，即可解得的值；
（2）根据函数在上的单调性，按照，且，以及分类，即可确定在上的值域，从而建立方程组，根据方程根与系数的关系即可解出m的取值范围．
(1)
∵，∴在上为减函数，在上为增函数，由且，可得且，故.
(2)
若存在正实数a､b（），使得函数的定义域为时，值域为，.
①当a，时，由于在上是减函数，故.
此时得，得与条件矛盾，所以a､b不存在
②当，时，易知0在值域内，值域不可能是，
所以a､b不存在.
③故只有a，.
∵在上是增函数，∴，即，所以
a､b是方程的两个根，即关于x的方程有两个大于1的不等实根.设这两个根为､，则，.∴，1-4m>0，
∴，即，解得.
故m的取值范围是.
18．（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
（3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（4）已知，求函数的解析式；
（5）已知是上的函数，，并且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.
【分析】（1）直接代入计算即可；
（2）设，则，代入原式即可；
（3）设，代入条件列方程求解；
（4）令，和原式联立解方程求出即可.
（5）令，代入计算即可得出函数的解析式．
【解析】（1）∵，
∴．
（2）设，则，，即，
∴，
∴．
（3）∵是二次函数，∴设．
由，得．
由，得，
整理得，
∴，∴，
∴．
（4）∵，①
∴，②
②①，得，
∴．
（5）令，则，
∴．
02 函数的单调性与奇偶性

一、单选题
1．函数 的单调递减区间为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先考虑函数的定义域，再根据复合函数的单调性的判断方法可求函数的单调减区间.
【解析】错解：
令，是有，
而在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
根据复合函数同增异减的原则可知：在上单调递减，
即其减区间为.
故选：A.
错因：
没有考虑函数的定义域.
正解：　
由可得或，故函数的定义域为.
令，是有，
而在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
根据复合函数同增异减的原则可知：在上单调递减，
即其减区间为.
故选：D
2．若函数为奇函数，且在上单调递增，则下列函数在上一定单调递增的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题可得函数在上单调递增，然后根据函数的对称性及图象变化规律逐项分析即得.
【解析】因为函数为奇函数，且在上单调递增，
所以在上单调递增，
将的图象向右平移2个单位可得函数的图象，
故函数在上单调递增，函数在上单调性不确定，故A错误；
因为函数的图象与函数的图象关于轴对称，
所以函数在上单调递减，故B错误；
将的图象上的点的横坐标变为原来的，纵坐标不变可得到函数的图象，
所以在上单调递增，故C正确；
因为函数的图象与函数的图象关于轴对称，
所以函数在上单调递减，故D错误.
故选：C.
3．已知 对于任意都有，且在区间上是单调递增的，则的大小关系是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知条件可以得出的周期，结合单调性化简，得出大小关系．
【解析】对于任意都有，周期为，
偶函数在区间上是单调递增，，，，即
故选：D
4．已知函数，则不等式的解集是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先判断函数的奇偶性，再得到时的单调性，利用偶函数比大小的处理方式，转化为，即可求解.
【解析】因为，所以是偶函数，
当时，是增函数．
又因为，所以可化为，
可得到，解得．
故选：A.
5．设奇函数在上是增函数，．若函数对所有的都成立，则当时，t的取值范围是（    ）
A． B．
C．，或，或 D．，或，或
【答案】C
【分析】求出函数在上的最大值，再根据给定条件建立不等关系，借助一次型函数求解作答.
【解析】因奇函数在上是增函数，，则，
依题意，，恒成立，
则有，解得或或，
所以t的取值范围是或或.
故选：C
6．已知函数的定义域为R，且函数的图象关于点对称，对于任意的，总有成立，当时，，函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数的取值集合为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题干条件，可得为奇函数，且周期为4，根据时的解析式，可求得在上的值域，结合函数的性质，可得在R上的值域为，分析可得只需在上有解即可，根据的解析式，分析计算，即可得答案.
【解析】因为函数的图象关于点对称，
所以图象关于点（0,0）对称，即为定义在R上的奇函数，，
因为，
所以，即的周期为4，
又当时，，
所以，即，
因为时，，
所以当时，，
因为为奇函数，
所以当时，
所以对于任意的，，
因为对任意，存在，使得成立，
所以只需在上有解即可，即在上有解，
整理得在上有解即可，
当t=2时，可得
所以，所以满足条件的实数的取值集合为.
故选：B
【点睛】解题的关键是需熟练掌握函数的周期性、奇偶性等性质，并灵活应用，难点在于需求出的值域，进而分析可得只需在上有解即可，根据存在性问题解题方法，即可得答案，

二、多选题
7．已知函数在区间上单调递增，则，的取值可以是（    ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】AC
【分析】分离常数得，若在单调递增，则满足，检验选项即可求解.
【解析】在上单调递增,则满足:,即,故，满足，，满足，
故选:AC
8．已知函数，，则下列结论错误的是（    ）
A． B．
C．在上单调递增 D．的值域为
【答案】ABC
【分析】根据分段函数及函数的解析式可判断AB，再由特殊值可判断C，根据分段函数的解析式求出的值域可判断D.
【解析】，故A错误；
，故B错误；
，在上不单调递增，故C错误；
，时，，当时，由周期性可知，综上知的值域为，故D正确.
故选：ABC
9．下列说法不正确的是（    ）
A．函数在定义域内是减函数
B．若是奇函数，则一定有
C．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是
D．若的定义域为，则的定义域为
【答案】ABC
【分析】A选项，单调区间不能用号连接，即在定义域不是单调递减函数，A错误；
B选项，可举出反例；
C选项，分段函数单调递增，则在每段上函数均单调递增，且在端点处，左边函数值小于等于右边函数的值；
D选项，利用抽象函数求定义域的方法进行求解.
【解析】函数在和上都是减函数，但在定义域上不是减函数，故A不正确；
当是奇函数时，可能无意义，比如，故B不正确；
因为是增函数，所以，解得，故C不正确；
因为的定义域为，所以，
解得，即的定义域为，故D正确.
故选：ABC.
10．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③．则下列选项成立的是（    ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．，，使得
【答案】BCD
【分析】根据函数的单调性和奇偶性依次判断选项即可.
【解析】对选项A，由条件①得是偶函数，由条件②得在上单调递增，
所以，故A错误；
对选项B，若，则，得，故B正确；
对选项C，若，则或，
因为，所以或，故C正确；
对选项D，因为定义在上的偶函数的图象是连续不断的，
且在上单调递增，
所以，所以只需即可，故D正确．
故选：BCD．

三、填空题
11．已知函数y＝ax2－2x＋3在[2，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是________．
【答案】(－∞，0]
【分析】根据实数a是否为零，结合一次函数、二次函数的单调性分类讨论进行求解即可.
【解析】当a＝0时，y＝－2x＋3满足题意；
当a≠0时，则，综上得a≤0．
故答案为：(－∞，0]
12．函数在上是增函数，则a的取值范围为________．
【答案】
【分析】根据分段函数单调性，列出各段为减函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解.
【解析】解：因为函数在上是增函数，
所以当时，为增函数，则，解得，
当时，为增函数，则，且，解得，
综上，a的取值范围为.
故答案为：.
13．已知函数，，实数，满足，则的最大值为______.
【答案】94##214##2.25
【分析】依题意可得，再根据函数的定义域求出，的取值范围，则，，根据二次函数的性质计算可得.
【解析】解：∵函数，，实数，满足，
∴，可得，，，又，
∴，则，，
所以当时，，即，时，取得最大值.
故答案为：
14．关于函数的性质，有如下说法：
①若函数的定义域为，则一定是偶函数；
②已知是定义域内的增函数，且，则是减函数；
③若是定义域为的奇函数，则函数的图像关于点对称；
④已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是.
其中正确说法的序号有___________.
【答案】①③④
【分析】对于①，根据奇偶性的定义，可得答案；
对于②，根据单调性的定义，可得答案；
对于③，根据奇偶性的性质和图象变换，可得答案；
对于④，根据奇偶性的定义和单调性的性质，化简不等式，可得答案.
【解析】对于①，由题意，的定义域为，，所以为偶函数，故①正确；
对于②，由题意，，，则，
即，由于与零的大小无法确定，故错误；
对于③，由题意，函数的图象关于原点对称，而的图象是由函数的图象向右平移个单位得到的，由原点向右平移个单位得到，故正确；
对于④，为偶函数，，则，即，由在上单调递增，则，
，解得，故正确；
故答案为：①③④.
15．设函数的定义域为R，则下列命题：
①若是偶函数，则的图像关于轴对称；
②若是偶函数，则的图像关于直线对称；
③若，则函数的图像关于直线对称；
④与的图像关于直线对称．
其中正确命题的序号为________．
【答案】②④
【分析】利用函数的奇偶性、对称性和平移变换分析各命题即可.
【解析】若是偶函数，则，
所以的图象关于对称，①错误，②正确；
，令即，所以是偶函数，
图象关于轴对称，③错误；
是将的图象向右平移2个单位而得，
是将的图象沿轴对称后再向右平移2个单位而得，
因此与的图象关于对称，④正确.
故答案为：②④
16．若函数是奇函数，则实数a的值为___________.
【答案】1
【分析】利用奇函数的性质进行求解.
【解析】若是奇函数，则有.
当时，，则，
又当时，，所以，
由，得，解得a=1.
故答案为：1.

四、解答题
17．已知函数．
(1)求证：在上是增函数；
(2)当时，求不等式的解集．
【答案】(1)证明见解析；
(2)

【分析】（1）利用函数单调性的定义与作差法即可证明；
（2）将代入，然后求解不等式即可
（1）
任取，且，则，
所以，
所以，所以在区间上单调递增；
（2）
当时，，
由可得，解得，
故不等式的解集为
18．已知函数.
(1)求函数的解析式；
(2)设，若存在使成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)

【分析】（1）由配凑法得，再结合，即可求出的解析式；
（2）先求出，将题设转化为在上有解，换元后利用二次函数的性质求出最小值即可求解.
（1）
，则，又，则；
（2）
，又存在使成立，即在上有解，
令，设，易得在单减，则，
即，故实数的取值范围为.
19．已知函数.
(1)若，判断的奇偶性并加以证明.
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)为奇函数，证明过程见解析；
(2)

【分析】（1）分与两种情况，先求定义域，再利用函数奇偶性的定义判断；
（2）参变分离，整理为恒成立问题，求出的最大值，从而求出实数的取值范围.
（1）
，
当时，，定义域为R，此时，
所以为奇函数，
当时，定义域为，且，
所以为奇函数，
综上：为奇函数.
（2）
,
即，在上恒成立，
整理为在上恒成立，
令，
当时，，
所以，
故实数的取值范围为.
20．二次函数满足，且
(1)求的解析式;
(2)求在上的最值;
(3)若函数为偶函数，求的值;
(4)求在上的最小值.
【答案】(1)
(2)在上的最小值为，最大值为
(3)
(4)时，；时，；时，

【分析】（1）待定系数法求解解析式；
（2）配方后得到函数单调性，进而求出最值；
（3）根据函数奇偶性求出，从而求出的值；
（4）结合对称轴，对分类讨论，求出不同情况下函数的最小值.
（1）
设，
则，

又因为，
所以，
解得：，
又
所以的解析式为.
（2）
，
所以当时，单调递减，在上单调递增，
又，，，
因为
故在上的最小值为，最大值为.
（3）
因为，
所以，
因为为偶函数，
所以，
即，解得：，
.
（4）
，
当，即时，在上单调递减，
所以；
当且,即时，
在上单调递减，在上单调递增，
所以；
当时，在上单调递增，
所以；
综上：时，；
时，；
时，.
21．已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求a，b的值；
(2)判断函数的单调性并用定义加以证明；
(3)求使成立的实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)在，上是增函数；证明见解析
(3)

【分析】（1）根据条件可得，即可得到的值，再根据即可求得的值.
（2）根据定义法证明函数的单调性即可.
（3）结合（1）（2）的结论，根据函数的单调性与奇偶性即可解得不等式.
（1）
因为函数是定义在上的奇函数，所以，即；
又，即，解得；
经检验，时，是定义在上的奇函数．
（2）
设，，且，
则；
因为，所以，
所以，所以，所以在上是增函数；
（3）
由（1）知，在上是增函数，又因为是定义在上的奇函数，
由，得，
所以，即，解得．
所以实数的取值范围是.
22．函数，
(1)若在上是奇函数，求的值；
(2)当时，求在区间上的最大值和最小值；
(3)设，当时，函数既有最大值又有最小值，求的取值范围（用表示）
【答案】(1)0
(2)最大值8，最小值0
(3)

【分析】(1)根据奇函数的性质求的值；
(2)化简函数解析式，结合二次函数性质求其最值；
(3)化简函数解析式，结合函数图象确定的取值范围.
（1）
因为在上是奇函数，
所以恒成立，即恒成立.
所以恒成立，
所以.
（2）
当时，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的值得范围为，其中时，，
函数在上单调递增，
所以函数在上的值域为，其中当时，；
所以当时，，当时，.
（3）

因为，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在上单调递增，

当时，
当时，令，可得
因为当，时，函数既有最大值又有最小值，
所以.

03 函数的其他性质

一、单选题
1．定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数都有，且，，则的值为（    ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】由题可得函数的周期为3，结合条件可得一个周期内的函数值，进而利用分组求和即得.
【解析】，，
则，
所以是周期为的周期函数，
则，，
函数的图象关于点成中心对称，
，
，
，由，
则.
故选：B.
2．定义在上的函数满足，且当时，.若对，都有，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据已知，利用分段函数的解析式，结合图像进行求解.
【解析】因为当时，，所以，
又因为函数满足，所以函数的部分图像如下，

由图可知，若对，都有，则.故A，C，D错误.
故选：B.

二、多选题
3．已知函数为上的奇函数，为偶函数，下列说法正确的有（    ）
A．图象关于直线对称 B．
C．的最小正周期为4 D．对任意都有
【答案】ABD
【分析】由奇偶性知的对称中心为、对称轴为，进而推得，即可判断各选项的正误.
【解析】由的对称中心为，对称轴为，
则也关于直线对称且，A、D正确，
由A分析知：，故，
所以，
所以的周期为4，则，B正确；
但不能说明最小正周期为4，C错误；
故选：ABD
4．已知函数， 满足，又的图像关于点对称，且，则（    ）
A． B．
C．关于点对称 D．关于点对称
【答案】ABD
【分析】先分析函数 的对称性和周期性，再逐项分析即可求解.
【解析】令 ，由 得： ，
，即 的一条对称轴是 ，
又 关于 对称，令 ，即 ，
， 是奇函数； ，
的周期为8；
对于A：正确；
对于B：
，正确；
对于D：令 ，将 代入得 ，即要证明 关于 对称，
显然由 ，故 关于 对称，即 关于 对称，正确；
对于C：同上，将 代入得 ，即 显然不是 的对称点，错误；
故选：ABD.

三、填空题
5．已知函数满足对，有，，当时，，若，则________
【答案】##
【分析】依题意可得，即函数的周期是，再由，从而得到，再代入函数解析式得到方程，解得即可.
【解析】解：因为，
所以，所以函数的周期是．
又，
所以，
因为时，，所以，
即，解得
故答案为：．
6．已知函数的图象关于直线对称，且对都有，当时，.则___________.
【答案】
【分析】根据给定条件，推理论证出函数的周期，再利用周期性计算作答.
【解析】因函数的图象关于直线对称，而函数的图象右移1个单位得的图象，
则函数的图象关于直线对称，即，而对都有，
则，即，，有，
因此函数是周期函数，周期为8，又当时，，
所以.
故答案为：

四、解答题
7．已知函数是定义在上的奇函数，且它的图象关于直线对称.
(1)求证：是周期为4的周期函数；
(2)若，求时，函数的解析式.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】(1)由函数的图象关于直线对称，可得，即，又因为是奇函数，所以，从而得，即可得周期为4；
(2)先求得时，，再结合周期为4，即求得在上的解析式.
（1）
解：证明：由函数的图象关于直线对称，
有，即有，
又函数是定义在上的奇函数，有，
故，
从而，
即是周期为的周期函数；
（2）
解：由函数是定义在上的奇函数，
有，时，，，
故时，，
时，，，
从而，时，函数的解析式为
8．设函数.
(1)若对任意实数，有成立，且当时，；
①判断函数的增减性，并证明；
②解不等式：；
(2)证明：“图象关于直线对称”的充要条件是“任意给定的，”.
【答案】(1)①函数为R上增函数，证明见解析；②
(2)证明见解析

【分析】（1）①利用赋值法和单调性的定义进行证明，②先利用赋值法得到，再利用单调性和进行变形求解；
（2）结合函数的性质，从充分性、必要性两方面进行证明.
(1)
解：①函数为R上增函数，证明如下：
由，
得，
对于，且，则，
则，
所以当时，有，
所以函数为R上增函数.
②由①得：可化为，
取，得，解得，
又因为函数为R上增函数，
所以，解得
即的解集为.
(2)
证明：因为图象关于直线对称，
所以，令，
则，，
所以，即成立；
若，令，则，
即，即成立，
即图象关于直线对称；
所以“图象关于直线对称”的充要条件
是“任意给定的，”.
9．已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是：对定义域内任意都有：.给定函数.
(1)求函数的图象的对称中心；
(2)已知函数的图象关于点对称，且当时，.若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由已知条件，解恒成立解之即可；
（2）利用函数的图象关于点对称性，可求得的值域，再把题目限制条件转化为两个函数值域之间的子集关系即可.
(1)
设函数的图象的对称中心为，则，
即，整理得恒成立，
于是，解得：，
故的对称中心为
(2)
由已知可知，的值域为值域的子集，
因为在上递增，故的值域为，
于是原问题转化为在上的值域，
当即时，在递增，注意到的图象恒过对称中心，可知在上亦单调递增，故在递增，又，，故，
∵，∴，，解得：，
当即时，在递减，在递增，
又过对称中心，故在递增，在递减，
故此时，欲使，
只需且，
解不等式得：，又，此时，
当即时，在递减，在上亦递减，
由对称性知在上递减，于是，
∵，故，解得：，
综上：实数的取值范围是.
10．设是定义在上的函数，若对任何实数以及中的任意两数、，恒有，则称为定义域上的函数．
（1）判断函数，是否为定义域上的函数，请说明理由；
（2）函数，是定义域上的函数，求实数的最小值；
（3）若是定义域为的周期函数，且最小正周期为．试判断是否可能为定义域上的函数．如果可能，请给出至少一个符合条件的函数；如果不可能，请说明理由．
【答案】（1）不是函数，理由见解析；（2）；（3）不是上的函数，理由见解析．
【分析】（1）取，，，验证，即可得出结论；
（2）设，由化简得出，可得出，可求得的取值范围，即可得出实数的最小值；
（3）假设是上的函数，若存在且、，使得，分别论证、不成立，即可得出结论.
【解析】（1）不是函数，
说明如下（举反例）：取，，，
则
，
即，所以不是函数；
（2）对任意的，由可得，
所以，，
所以，，
不妨设，可得，
，
，即，
所以，，
因为，只需，即，解得.
因此，实数的最小值为；
（3）假设是上的函数，若存在且、，使得．
（ⅰ）若，
记，，，则，且，
那么
，
这与矛盾；
（ⅱ）若，记，，，同理也可得到矛盾；
所以在上是常数函数，
又因为是周期为的函数，所以在上是常数函数，这与的最小正周期为矛盾．
所以不是上的函数．
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义问题，解决本题的关键在于充分利用题中“函数”的定义，利用作差法、不等式的基本性质来求解，在判断“函数”的定义不满足时，可充分利用特殊值、反例来进行否定.