高中数学2.3 简单的三角恒等变换获奖作业ppt课件

2.3　简单的三角恒等变换

必备知识基础练

1.已知α为第一象限角,且tan α=,则sin 的值为(　　)

A. B.- C.± D.

答案C

解析因为α为第一象限角,且tan α=,所以cos α=,而是第一或第三象限角.当是第一象限角时,sin ;当是第三象限角时,sin =-=-,故sin =±.

2.在△ABC中,若cos A=,则sin2+cos 2A=(　　)

A.- B. C.- D.

答案A

解析sin2+cos 2A=+2cos2A-1=+2cos2A-1=-.

3.已知f(x)=sin x+cos x,且锐角θ满足f(θ)=2,则θ=　　　　　. 

答案

解析因为f(x)=sin x+cos x=2=2sin,

又因为锐角θ满足f(θ)=2,

所以2sin=2,解得θ=.

4.设α是第二象限角,tan α=-,且sin<cos,则cos=　　　　. 

答案-

解析因为α是第二象限角,所以可能是第一或第三象限角.又sin<cos,所以为第三象限角,所以cos<0.

因为tan α=-,

所以cos α=-,

所以cos=-=-.

关键能力提升练

5.若函数f(x)=(1+tan x)cos x,则f= (　　)

A. B.- C.1 D.

答案D

解析∵f(x)=cos x

=cos x+sin x=2sin,

∴f=2sin=2sin.

6.若3π<x<4π,则= (　　)

A.cos B.-cos

C.sin D.-sin

答案C

解析因为3π<x<4π,

所以<2π,sin<0,cos>0.于是=cos+sin=cos-sincossin=sin.

7.(多选题)若θ∈,sin 2θ=,则(　　)

A.cos 2θ= B.cos 2θ=-

C.tan θ=-3 D.sin θ=

答案BD

解析由于θ∈,则2θ∈,π,

所以cos 2θ<0,sin θ>0.因为sin 2θ=,所以cos 2θ=-=-=-,所以tan 2θ==-3,所以sin θ=.

8.已知等腰三角形的顶角的余弦值等于,则它的底角的余弦值为(　　)

A. B. C. D.

答案B

解析设等腰三角形的顶角为α,底角为β,

则cos α=.又β=,即cos β=cos=sin.

9.(多选题)有以下四个关于三角函数的命题,其中正确的是(　　)

A.∃x∈R,sin2+cos2

B.∃x,y∈R,sin(x-y)=sin x-sin y

C.∀x∈[0,π],=sin x

D.若sin x=cos y,则x+y=

答案BC

解析因为sin2+cos2=1≠,所以A为假命题;当x=y=0时,sin(x-y)=sin x-sin y,所以B为真命题;因为=|sin x|=sin x,x∈[0,π],所以C为真命题;当x=,y=2π时,sin x=cos y,但x+y≠,所以D为假命题.

10.(多选题)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则这些函数为“互为生成函数”.下列函数中,与f(x)=sin x+cos x构成“互为生成函数”的有(　　)

A.f1(x)=sin x+

B.f2(x)=(sin x+cos x)

C.f3(x)=sin x

D.f4(x)=2cossin+cos

答案AD

解析f(x)=sin x+cos x=sinx+,

∵f1(x)=sin x+,∴将f1(x)图象向下平移个单位长度,再向左平移个单位长度即可与f(x)图象重合;f2(x)=(sin x+cos x)=sinx+=2sinx+,f2(x)图象无法经过平移与f(x)图象重合;C.f3(x)=sin x,f3(x)图象无法经过平移与f(x)图象重合;f4(x)=2cossin+cos=2cossin+2cos2=sin x+cos x+1=sinx++1,将f4(x)图象向下平移1个单位长度,与f(x)图象重合.故A,D中的函数与f(x)“互为生成函数”.

11.已知sinx+=-,则cos x+cosx-=　　　　. 

答案-1

解析因为sinx+=-,所以cos x+cosx-=cos x+cos x+sin x

=cos x+sin x=cos x+sin x

=sinx+=-1.

12.已知cos=m,则cos x+cosx-=　　　. 

答案m

解析因为cos x+cos=cos x+cos xcos +sin xsin cos x+sin x=cos,所以cos x+cosm.

13.已知sin α=,sin(α+β)=,α,β均为锐角,求cos 的值.

解∵0<α<,∴cos α=,

∵0<α<,0<β<,∴0<α+β<π,

若0<α+β<,∵sin(α+β)<sin α,

∴α+β<α,∴β<0,与已知矛盾,∴<α+β<π,∴cos(α+β)=-,

∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-.

∵0<β<,∴0<,

∴cos .

学科素养创新练

14.已知sin A+sin B+sin C=0,cos A+cos B+cos C=0,求证:cos2A+cos2B+cos2C=.

证明由已知,得sin A+sin B=-sin C, ①

cos A+cos B=-cos C. ②

和差化积,得2sincos=-sin C.③

2coscos=-cos C. ④

∵当cos=0时,sin C=cos C=0,不满足题意,∴cos≠0.易知cos,cos C均不为0.

③÷④,得tan=tan C.∴cos(A+B)==cos 2C.

①2+②2,得2+2cos(A-B)=1,

即cos(A-B)=-,∴cos2A+cos2B+cos2C=(1+cos 2A+1+cos 2B+1+cos 2C)

=[2cos(A+B)cos(A-B)+cos 2C]

=.