数学必修 第二册1.3 向量的数乘优秀作业ppt课件

1.3　向量的数乘

必备知识基础练

1.在△ABC中,D是线段BC的中点,且=4,则(　　)

A.=2 B.=4

C.=2 D.=4

答案A

解析由已知得=2,

所以=2.

2.如图,在矩形ABCD中,E为CD的中点,那么向量等于(　　)

A. B. C. D.

答案A

解析∵E为CD的中点,∴,

则.

3.已知向量=a+2b,=5a+3b,=-3a+b,则(　　)

A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线

C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线

答案A

解析∵向量=2a+4b,=a+2b,

∴=2,即A,B,D三点共线.

4.若=5e,=-7e,且||=||,则四边形ABCD的形状是　　　　　. 

答案等腰梯形

解析由已知得=-,

因此,且||≠||,所以四边形ABCD是梯形.

又因为||=||,

所以四边形ABCD是等腰梯形.

5.已知a与b是两个不共线的向量,且向量(a+λb)与(b-3a)共线,则λ的值为　　　　　. 

答案-

解析由向量共线可得a+λb=k(b-3a),

即a+λb=kb-3ka,∴(1+3k)a=(k-λ)b.

∵a,b不共线,∴解得λ=-.

6.如图,已知D,E分别为△ABC的边AB,AC的中点,延长CD到M使DM=CD,延长BE至N使BE=EN,求证:M,A,N三点共线.

证明∵D为MC的中点,且D为AB的中点,

∴.∴.

同理可证明.

∴=-.

∴共线,又有公共点A.

∴M,A,N三点共线.

7.(1)已知a=3i+2j,b=2i-j,求-a-b+(2b-a);

(2)已知向量a,b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y.

解(1)原式=a-b-a+b+2b-a=a+b=-a+b.

∵a=3i+2j,b=2i-j,∴原式=-(3i+2j)+(2i-j)=i+j=-i-5j.

(2)将3x-y=b两边同乘2,得6x-2y=2b.

与5x+2y=a相加,得11x=a+2b,

∴x=a+b.

∴y=3x-b=3-b=a-b.

关键能力提升练

8.在△ABC中,O为其内部一点,且满足+3=0,则△AOB和△AOC的面积比是(　　)

A.3∶4 B.3∶2 C.1∶1 D.1∶3

答案D

解析取AC的中点M(图略),

则由+3=0,得2=-3,所以2|OM|=3|OB|,点O在线段BM上.

因此S△AOB∶S△AOC=S△AOB∶2S△AOM=|OB|∶2|OM|=1∶3.

9.(2021福建福州期中)如图,在直角梯形ABCD中,已知AB∥CD,∠BAD=90°,AD=AB=2,CD=1,动点P在线段BC上运动(包含点C,不包含点B),且=m+n(m,n∈R),则的最小值是(　　)

A.3 B.3+2

C.4 D.4+2

答案C

解析因为点P在线段BC上运动(包含点C,不包含点B),则=λ(0<λ≤1),

则+λ+λ()=+λ-=1-λ+λ,

所以m=1-λ,n=λ,

则=[(2-λ)+λ]=2+≥2+2=4,

当且仅当,即λ=1时等号成立.

故的最小值为4.故选C.

10.在平行四边形ABCD中,,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ=　　　　　. 

答案

解析由平面向量的加法运算,有.

因为=λ+μ=λ()+μ()=λ+μ

=.

所以,

即1--μ=λ+-1.

∵不共线,

∴解得故λ+μ=.

11.在△ABC中,P是AB上一点,且,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,且=t,求t的值.

解∵,

∴3=2,

即2-2.

∴2,即P为AB的一个三等分点(靠近点A),如图所示.

∵A,M,Q三点共线,

∴设=x+(1-x)+(x-1),

又,

∴.

又,且=t,

∴=t.

∴解得t=.

12.已知在△OBC中,A是线段BC的中点,D是线段OB的一个三等分点(靠近点B),设=a,=b.

(1)用向量a与b表示向量;

(2)若,判断C,D,E是否共线,并说明理由.

解(1)∵=a,=b,A是BC的中点,

∴=-a.

∴=-a-b.

(2)C,D,E不共线.理由如下,假设存在实数λ,使=λ.

∵=a+b+(-b)=a+b,

)=2a+(-a+b)=a+b,

∴a+b=λ,

∴此方程组无解,

∴不存在实数λ,满足=λ.

∴C,D,E三点不共线.

学科素养创新练

13.如图,F为线段BC的中点,CE=2EF,DF=AF,设=a,=b,试用a,b表示.

解因为=b-a,(b-a),所以a+b.因为(a+b),所以(a+b),所以(a+b)-b=a-b.