中考数学二轮函数试题《直角坐标系下通过几何图形列函数式问题》

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直角坐标下通过几何图形列函数式问题
【知识纵横】
以平面直角坐标系为背景，通过几何图形运动变化中两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何图形的性质，体现了数形结合的思想方法。但在坐标系中，每一个坐标由一对的序实数对应，实数的正负之分，而线段长度值均为正的，注意这一点，就可类似于讲座一的方法解决。所列函数式有：反比例函数、一次函数、二次函数。
【典型例题】
【例1】（浙江温州）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（0，）（＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P´（点P´不在y轴上），连接PP´，P´A，P´C．设点P的横坐标为．
（1）当=3时，
①求直线AB的解析式；
②若点P′的坐标是（﹣1，），求的值；
（2）若点P在第一象限，记直线AB与P´C的交点为D．当P´D：DC=1：3时，求的值；
（3）是否同时存在，，使△P´CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的，的值；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）①利用待定系数法考虑。②把（﹣1，）代入函数解析式即可。（2）证明△PP′D∽△ACD，根据相似三角形的对应边的比成比例求解。（3）分P在第一，二，三象限，三种情况进行讨论。




【例2】（浙江舟山、嘉兴）已知直线（＜0）分别交轴、轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为秒．
（1）当时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度
同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．
① 直接写出＝1秒时C、Q两点的坐标；
② 若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求的值．
（2）当时，设以C为顶点的抛物线与直线AB的另一交点为D
（如图2），
① 求CD的长；
② 设△COD的OC边上的高为，当为何值时，的值最大？







【思路点拨】（1）②分两种情形讨论。（2）①过点D作DE⊥CP于点E，证明△DEC∽△AOB。
②先求得三角形COD的面积为定值，又由Rt△PCO∽Rt△OAB，在比例线段中求出t值为多少时，h最大。









【例3】（江苏常州、镇江）在平面直角坐标系XOY中，直线过点且与轴平行，直线过点且与轴平行，直线与直线相交于点P。点E为直线上一点，反比例函数（＞0）的图像过点E与直线相交于点F。
⑴若点E与点P重合，求的值；
⑵连接OE、OF、EF。若＞2，且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍，求E点的坐标；
⑶是否存在点E及轴上的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由。
【思路点拨】（2）先利用相似三角形对应边的比，用K表示相关各点的坐标并表示相关线段的长，再利用相似三角形OEF 面积是PEF面积2倍的关系求出K。（3）先由全等得到相似三角形，利用相似三角形对应边的比，用K表示相关各点的坐标并表示相关线段的长，再利用勾股定理求出K。点P、E、F三点位置分K＜2和K＞2两种情况讨论。
















【例4】（浙江义乌）已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x=4. 设顶点为点P，与轴的另一交点为点B.
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图1，在直线 =2上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN∥轴，交PB于点N. 将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN. 在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒. 求S关于t的函数关系式.
【思路点拨】（1）利用对称轴公式，A、C两点坐标，列方程组求、、的值即可。
（2）由（1）可求直线PB解析式为，可知PB∥OD，利用BD=PO，列方程求解，注意排除平行四边形的情形。（3）分0＜t≤2，2＜t＜4两种情形讨论。















【学力训练】
1、（浙江湖州）如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在、轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0，m)是线段OC上一个动点(点C除外)，直线PM交AB的延长线于点D．
(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示)；
(2)当△ADP是等腰三角形时，求m的值；
(3)设过点P、M、B的抛物线与轴的正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H(如图)
2)．当点P从原点O向点C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路径长(不写解答过程)．

















2、（广西北海）如图，抛物线：与轴交于点A(－2，0)和B(4，0)、与轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)T是抛物线对称轴上的一点，且△ACT是以AC为底的等腰三角形，求点T的坐标；
(3)点M、Q分别从点A、B以每秒1个单位长度的速度沿轴同时出发相向而行．当点M到原点时，点Q立刻掉头并以每秒个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动．过点M的直线l⊥轴，交AC或BC于点P．求点M的运动时间t(秒)与△APQ的面积S的函数关系式，并求出S的最大值．


















3、（江苏盐城）如图，已知一次函数与正比例函数的图象交于点A，且与
轴交于点B.
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥轴于点C，过点B作直线l∥轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由。


直角坐标下通过几何图形列函数式问题的参考答案

【典型例题】
【例1】（浙江温州）
解：（1）①∵点B在直线AB上，∴设直线AB的解析式为，
把=﹣4，y=0代入得：﹣4+3=0，∴，
∴直线的解析式是：。
②由已知得点P的坐标是（1，），且点P在直线AB上，得。
（2）∵PP′∥AC，∴△PP′D∽△ACD。
∴，即，∴。
（3）分三种情况讨论：
①当点P在第一象限时，
1）若∠AP′C=90°，P′A=P′C（如图1），过点P′作P′H⊥轴于点H。
∴PP′=CH=AH=P′H=AC，即。∴。
∵P′H=PC=AC，△ACP∽△AOB。
∴，即。∴。
2）若∠P′AC=90°（如图2），P′A=CA，则PP′=AC，即。∴。
∵P′A=PC=AC，△ACP∽△AOB∴，即。∴。
3）若∠P′CA=90°，则点P′，P都在第一象限内，这与条件矛盾。
∴△P′CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形。
②当点P在第二象限时，∠P′CA为钝角（如图3），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形。
③当P在第三象限时，∠P′CA为钝角（如图4），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形。
综上所述，所有满足条件的，的值为和。


【例2】（浙江舟山、嘉兴）
解：（1）①C(1 , 2)、Q(2 , 0)。
②由题意得：P（t, 0),C(t, - t +3),Q(3-t , 0)。
分两种情形讨论：
情形一：当△AQC∽△AOB时，∠AQC=∠AOB=90°，∴CQ⊥OA。
∵CP⊥OA，∴点P与点Q重合，OQ=OP，即。
情形二：当△ACQ∽△AOB时，∠ACQ=∠AOB=90°，
∵OA=OB=3，∴△AOB是等腰直角三角形。 ∴△ACQ也是等腰直角三角形。
∵CP⊥OA，∴AQ=2CP，即。
∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒。
（2）①由题意得：，
∴以C为顶点的抛物线解析式是。
由，解得。
过点D作DE⊥CP于点E，则∠DEC=∠AOB=90°，DE∥OA，∴∠EDC=∠OAB。
∴△DEC∽△AOB。∴。
∵AO=4，AB=5，DE=。
② ∵，CD边上的高=。
∴为定值。
要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短。
∵当OC⊥AB时OC最短，此时OC的长为，∠BCO=90°，
又∵∠AOB=90°，∴∠COP=90°-∠BOC=∠OBA。
又∵CP⊥OA，∴Rt△PCO∽Rt△OAB。
∴，即。
∴当t为秒时，h的值最大。

【例3】（江苏常州、镇江）
解：（1）∵直线过点A（1，0）且与轴平行，直线过点B（0。2）且与轴平行，直线与直线相交于点P，∴点P（1，2）。
若点E与点P重合，则k＝1×2＝2。
（2）当k＞2时，如图1，点E、F分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，则四边形OCGD为矩形
∵PE⊥PF，
∴
∴S△PEF＝
∴四边形PFGE是矩形， ∴S△PEF＝S△GFE，
∴S△OEF＝S矩形OCGD－S△DOF－S△GFE－S△OCE
＝

∵S△OEF＝2S△PEF， ∴，
解得k＝6或k＝2，
∵k＝2时，E、F重合，舍去。 ∴k＝6，
∴E点坐标为：（3，2）。
（3）存在点E及y轴上的点M，使得△MEF≌△PEF
①当k＜2时，如图2，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H
∵△FHM∽△MBE， ∴
∵FH＝1，EM＝PE＝1－ ，FM＝PF＝2－k，
∴。
在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2＝EB2＋MB2，
∴（1－ ）2＝（ ）2＋（）2
解得k＝ ，此时E点坐标为（ ，2）。
②当k＞2时，如图3，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q，△FQM∽△MBE得， 。
∵FQ＝1，EM＝PF＝k－2，FM＝PE＝ －1，
∴ ＝ ，BM＝2
在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2＝EB2＋MB2
∴（k－2）2＝（）2＋22，解得k＝ 或0，但k＝0不符合题意， ∴k＝ ．
此时E点坐标为（ ，2）
∴符合条件的E点坐标为（ ，2）（ ，2）．

【例4】（浙江义乌）
解：（1）设二次函数的解析式为，
由题意得 ， 解得。
∴二次函数的解析式为。点P的坐标为（4，－4）。
（2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形. 理由如下：
当=0时，， ∴1=2 ， 2=6。
∴点B的坐标为（6，0）。
设直线BP的解析式为，
则 ， 解得。
∴直线BP的解析式为。
∴直线OD∥BP 。
∵顶点坐标P（4， －4），∴ OP=4。
设D(，2) 则BD2=（2）2+(6－)2
当BD=OP时，（2）2+(6－)2=（4）2
解得：1=， 2=2
当2=2时，OD=BP=，四边形OPBD为平行四边形，舍去
∴当=时，四边形OPBD为等腰梯形 。
∴当D(，)时，四边形OPBD为等腰梯形。
（3）① 当0＜t≤2时，
∵运动速度为每秒个单位长度，运动时间为t秒，
则MP=t ， ∴PH=t，MH=t，HN=t 。 ∴MN=t。
∴S=t·t·=t2
② 当2＜t＜4时，P1G=2t－4，P1H=t
∵MN∥OB， ∴△P1EF∽△P1MN 。
∴ ，∴ 。
∴ =3t2－12t+12
∴S=t2－(3t2－12t+12)= －t2+12t－12
∴S= 。


【学力训练】
1、（浙江湖州）
解：（1）由题意得CM＝BM，
∵∠PMC＝∠DMB，∴Rt△PMC≌Rt△DMB（ASA）。∴DB＝PC。
∴DB＝2－m，AD＝4－m。∴点D的坐标为(2，4－m)。
（2）分三种情况：
①若AP＝AD，则4＋m2＝(4－m)2，解得。
②若PD＝PA
过P作PF⊥AB于点F(如图)，
则AF＝FD＝AD＝ (4－m)，
又OP＝AF，∴即。
③若PD＝DA，∵△PMC≌△DMB，∴PM＝PD＝AD＝ (4－m)。
∵PC2＋CM2＝PM2，∴，解得(舍去)。
综上所述，当△APD是等腰三角形时，m的值为或或。
（3）点H所经过的路径长为。
2、（广西北海）
解：（1）把A（－2，0）、B(4，0)代入，得
，解得。
∴抛物线的解析式为：。
（2）由，得抛物线的对称轴为直线，
直线交轴于点D，设直线上一点T(1，)，
作CE⊥直线，垂足为E，
由C(0，4)得点E(1，4)，
在Rt△ADT和Rt△TEC中，
由TA＝TC得，
解得，∴点T的坐标为(1，1).
（3）解：（Ⅰ）当时，△AMP∽△AOC ，
∴，。
∴
∵当时，S随的增加而增加，
∴当时，S的最大值为8。
（Ⅱ）当时，作PF⊥y轴于F，
有△COB∽△CFP，
又CO＝OB，
∴FP＝FC＝，

∴
∴当时，S的最大值为。
综上所述，S的最大值为。
3、（江苏盐城）
解：（1）根据题意，得，解得，∴点A的坐标为(3，4) 。
令，得。∴点B的坐标为（7，0）。
（2）①当P在OC上运动时，0≤t＜4。
由S△APR＝S梯形COBA－S△ACP－S△POR－S△ARB＝8，得
(3＋7)×4－×3×(4－t)－ t(7－t)－ t×4＝8
整理，得t2－8t＋12＝0, 解之得t1＝2，t2＝6（舍去）。
当P在CA上运动时，4≤t＜7。
由S△APR＝ ×(7－t) ×4＝8，得t＝3（舍去）。
∴当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8。
②当P在OC上运动时，0≤t＜4.，此时直线l交AB于Q。
∴AP＝，AQ＝t，PQ＝7－t。
当AP ＝AQ时，（4－t）2＋32＝2(4－t)2，整理得，t2－8t＋7＝0，解之得t＝1，t＝7(舍去) 。
当AP＝PQ时，（4－t）2＋32＝(7－t)2，整理得，6t=24.，∴t＝4(舍去) 。
当AQ＝PQ时，2（4－t）2＝(7－t)2，整理得，t2－2t－17＝0 解之得t=1±3 (舍去)。
当P在CA上运动时，4≤t＜7，此时直线l交AO于Q。
过A作AD⊥OB于D，则AD＝BD＝4。
设直线l交AC于E，则QE⊥AC，AE＝RD＝t－4，AP＝7－t.。
由cos∠OAC＝ ＝ ，得AQ ＝ (t－4)。
当AP＝AQ时，7－t ＝ (t－4)，解得t ＝ 。
当AQ＝PQ时，AE＝PE，即AE＝ AP，
得t－4＝ (7－t)，解得t ＝5。
当AP＝PQ时，过P作PF⊥AQ于F
AF＝ AQ ＝ ×(t－4)。
在Rt△APF中，由cos∠PAF＝ ＝ ，得AF＝ AP，
即 ×(t－4) ＝ ×(7－t)，解得t＝ 。
∴综上所述，t＝1或 或5或 秒时，△APQ是等腰三角形。