中考数学二轮复习函数试题压轴题《探究操作性问题》

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全国各地中考试题压轴题精选讲座八探究、操作性问题 【知识纵横】     探索研究是通过对题意的理解，解题过程由简单到难，在承上启下的作用下，引导学生思考新的问题，大胆进行分析、推理和归纳，即从特殊到一般去探究，以特殊去探求一般从而获得结论，有时还要用已学的知识加以论证探求所得结论。操作性问题是让学生按题目要求进行操作，考察学生的动手能力、想象能力和概括能力。【典型例题】【例1】（江苏南京）问题情境:已知矩形的面积为（为常数，＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？数学模型:设该矩形的长为，周长为，则与的函数关系式为．探索研究:⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象性质．①                               填写下表，画出函数的图象：x……1234……y……       ……②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；③在求二次函数的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数(x＞0)的最小值．解决问题:⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．【思路点拨】⑴将值代入函类数关系式求出值, 描点作图即可， 然后分析函数图像。⑵仿⑴对③进行配方成二次函数的顶点式，即可解决。【例2】（湖南岳阳）九 （1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践﹣﹣应用﹣﹣探究的过程：（1）实践：他们对一条公路上横截面为拋物线的单向双车道的隧道（如图①）进行测量，测得一隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图②所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式．（2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？（3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述拋物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：I．如图③，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在拋物线上，顶点A、B落在轴 上．设矩形ABCD的周长为，求的最大值．II•如图④，过原点作一条=的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P 为直线0M上一动点，过P点作轴的垂线交抛物线于点Q．问在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）利用顶点式求解。（2）可得当=2时，正好是两辆汽车的宽度。（3）I．首先表示出矩形周长，再利用二次函数最值公式求出。II．利用等腰直角三角形的性质，以及P在=的图象上，即可得出P点的坐标。     【例3】（湖南株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：（1）若测得OA=OB=（如图1），求的值；（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点旋转到如图2所示位置时，过B作轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点的横坐标；（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．   【思路点拨】（2）过点A作AE⊥轴于点E，证△AEO∽△OFB，得出AE=2OE，可得方程点A的横坐标。（3）设A（，）（），B（，）（），可证△AEO∽△OFB，再根据相似三角形的性质可知交点A、B的连线段总经过一个固定的点（0，－2）。                   【学力训练】1、（福建漳州）如图1，抛物线y＝mx2－11mx＋24m (m＜0) 与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且∠BAC＝90°．（1）填空：OB＝_   ▲   ，OC＝_   ▲   ；（2）连接OA，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；（3）如图2，设垂直于x轴的直线l：x＝n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l 沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．                   2、（江苏扬州）在△ABC中，∠BAC＝900，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N．动点P从点B出发沿射线BA以每秒厘米的速度运动．同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ⊥MP，设运动时间为秒（）．（1）△PBM与△QNM相似吗？以图１为例说明理由；（2）若∠ABC＝600，AB＝4厘米．①求动点Q的运动速度；②设△APQ的面积为S（平方厘米），求S与的函数关系式；（3）探求三者之间的数量关系，以图１为例说明理由．                  3、（湖南永州）探究问题：⑴方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD，BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，∴∠ABG+∠ABF=90°＋90°=180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵∠EAF=45°  ∴∠2＋∠3=∠BAD－∠EAF=90°－45°=45°．∵∠1=∠2，   ∴∠1＋∠3=45°．即∠GAF=∠_________．又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌_______．∴_________=EF，故DE＋BF=EF． ⑵方法迁移：如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．⑶问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足∠EAF=∠DAB,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．   探究操作性问题【典型例题】  【例1】（江苏南京） 解：⑴①x……1234……y……2 ……          函数的图象如图：        ②本题答案不唯一，下列解法供参考．          当时，随增大而减小；          当时，随增大而增大；          当时，函数的最小值为2。      ③∵===∴当=0，即时，函数的最小值为2。   ∵===，∴  当=0，即时，函数的最小值为。⑵当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值为。    可得P1R1:P2R2＝Q2R2：Q1R1＝1：2，且P1R1∥P2R2，Q2R2∥Q1R1。     ∴∠P1R1A＝∠P2R2A，∠Q1R1A＝∠Q2R2A。∴∠P1R1Q1＝∠P2R2 Q2。      由结论（2），可知【例2】（湖南岳阳）解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为（5，6.25），   ∴设抛物线的解析式为。∵图象过（10，0）点，∴，解得。∴抛物线的解析式为。（2）当最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶时，=2把=2代入解析式得：=﹣0.25（2﹣5）2+6.25，=4。∵4﹣3.5=0.5，∴隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶。（3）I．假设AO=，可得AB=10﹣2，∴AD=﹣0.25（﹣5）2+6.25。∴矩形ABCD的周长为为：=2[﹣0.25（﹣5）2+6.25]+2（10﹣2）=﹣0.52++20=﹣0.5（－1）2+20.5。∴l的最大值为20.5。II•当以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，∵P在=的图象上，设P（，）。过P点作轴的垂线交抛物线于点Q．∴∠POA=∠OPA=45°，N点的坐标为（5，5）∴Q点的坐标为（，5）。把Q点的坐标代入，得，解得。∴使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，P点的坐标为：（，）或（，）。【例3】（湖南株洲）解：（1）设线段AB与轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点， OA=OB=，∠AOB=900，AC=OC=BC=2。B(2，－2)。  将B(2，－2)代入抛物线得，。（2）过点A作轴于点E，点B的横坐标为，B (1，)。BF=。又∠AOB=900，易知∠AOE=∠OBF。又，∠AEO=∠OFB=900，△AEO∽△OFB，。 AE=2OE。设点A（，）（），则，，。，即点A的横坐标为－4。 （3）设A（，）（），B（，）（），设直线AB的解析式为：，    则 ，得，，。又易知△AEO∽△OFB，，，。。由此可知不论为何值，线段AB恒过点（，－2）。【学力训练】1、（福建漳州）解：（1）OB＝3，OC＝8。        （2）连接AD，交OC于点E，∵四边形OACD是菱形，∴AD⊥OC，OE＝EC＝ ×8＝4。∴BE＝4－3＝1。又∵∠BAC＝90°，∴△ACE∽△BAE。∴＝。∴AE2＝BE·CE＝1×4＝4。∴AE＝2。∴点A的坐标为 (4，2)  。把点A的坐标 (4，2)代入抛物线y＝mx2－11mx＋24m，得m＝－。∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x－12。                  （3）∵直线x＝n与抛物线交于点M，∴点M的坐标为 (n，－n2＋n－12) 。由（2）知，点D的坐标为（4，－2），则由C、D两点的坐标求直线CD的解析式为y＝x－4。∴点N的坐标为 (n，n－4)。∴MN＝（－n2＋n－12）－（n－4）＝－n2＋5n－8。∴S四边形AMCN＝S△AMN＋S△CMN＝MN·CE＝（－n2＋5n－8）×4＝－(n－5)2＋9 。  ∴当n＝5时，S四边形AMCN＝9。2、（江苏扬州）解：（1）△PBM∽△QNM 。理由如下： 如图1，∵MQ⊥MP，MN⊥BC ，∴。∴。∵，∴。∴△PBM∽△QNM（2）∵，∴cm。又∵MN垂直平分BC，∴cm。∵，∴＝4 cm。①设Q点的运动速度为cm/s．当时，如图１，由（1）知△PBM∽△QNM，∴，即。∴当时，如图2，同样可证△PBM∽△QNM ，得到。综上所述，Q点运动速度为1 cm/s．②∵AB＝4 cm，cm，∴由勾股定理可得，AC＝12 cm。∴AN＝AC－NC＝12－8＝4 cm ∴当时，如图1，AP＝，AQ＝。∴。当时，如图2，AP＝, AQ＝,∴。综上所述，。          （3）。理由如下：如图3，延长QM至D，使MD＝MQ，连结BD、PD。∵MQ⊥MP，MD＝MQ，∴PQ＝PD。又∵MD＝MQ，∠BMD＝∠CMQ，BM＝CM，∴△BDM≌△CQM（SAS）。∴BD＝CQ，∠MBD＝∠C。∴BD∥AC。又∵，∴。∴在中，，即。3、（湖南永州）解：（1）EAF、△EAF、GF。（2）DE＋BF=EF。证明如下：假设∠BAD的度数为，将△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD，BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,∴∠ABG+∠ABF=90°＋90°=180°，∴点G，B，F在同一条直线上。∵∠EAF=，  ∴∠2+∠3=∠BAD－∠EAF，即。∵∠1=∠2， ∴∠1＋∠3=，即∠GAF=∠EAF。又∵AG=AE，AF=AF，∴△GAF≌△EAF（SAS）。∴GF=EF。又∵GF=BG＋BF=DE+BF， ∴DE＋BF=EF。（3）当∠B与∠D互补时，可使得DE＋BF=EF。