中考数学二轮函数试题《抛物线与几何问题》

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抛物线与几何问题
【知识纵横】
抛物线的解析式有下列三种形式：1、一般式：(a≠0)；2、顶点式：y =a(x—h) 2＋k；3、交点式：y=a(x—x 1)(x—x 2 ) ，这里x 1、x 2 是方程ax 2 +bx+c=0的两个实根。
解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。
【典型例题】
【例1】（浙江宁波）如图，平面直角坐标系中，点A的坐标为（－2，2）,点B的坐标为（6，6），抛物线经过A、O、B三点，连结OA、OB、AB，线段AB交轴于点E．
（1） 求点E的坐标；
（2） 求抛物线的函数解析式；
（3） 点F为线段OB上的一个动
点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在轴右侧），连结ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求△BON 面积的最大值，并求出此时点N的坐标；
（4） 连结AN，当△BON面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相似（点
B、O、P分别与点O、A、N对应）的点P的坐标．
【思路点拨】（1）根据A、B两点坐标求直线AB的解析式，令=0，即可求E点坐标。（2）列方程组求、的值。（3）依题意，设N，求出△BON面积关于的函数表达式，用二次函数的最值原理，可求N点的坐标。（4）根据三角形相似的性质得到BO：OA=OP：AN=BP：ON，然后根据勾股定理即可求出点P的坐标。

【例2】（天津）已知抛物线：．点F(1，1)．
(Ⅰ) 求抛物线的顶点坐标；
(Ⅱ) ①若抛物线与轴的交点为A．连接AF，并延长交抛物线于点B，求证：
②抛物线上任意一点P（）)（）．连接PF．并延长交抛物线于点Q（），试判断是否成立？请说明理由；
(Ⅲ) 将抛物线作适当的平移．得抛物线：，若时．恒成立，求m的最大值．
【思路点拨】(I) 只要把二次函数变形为的形式即可。 (II) ①求出AF和BF即可证明。②应用勾股定理和相似三角形的判定和性质求出PF和QF即可。(Ⅲ) 应用图象平移和抛物线的性质来证明。















【例3】（浙江省）如图，在直角坐标系中，抛物线与轴交与点A（－1,0）、B（3,0）两点，抛物线交轴于点C（0,3），点D为抛物线的顶点．直线交抛物线于点M、N两点，过线段MN上一点P作轴的平行线交抛物线于点Q．
(1)求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)问点P在何处时，线段PQ最长，最长为多少？
(3)设E为线段OC上的三等分点，连接EP，EQ，若EP=EQ，求点P的坐标．
【思路点拨】（1）由待定系数法可求抛物线的解析式，化为顶点式可求顶点坐标。（2）把线段PQ用含P(, －1) ，Q (, )来表示，用二次函数的最值原理可求。













【例4】（四川成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在轴上，顶点C在轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S△ABC=15，抛物线）经过A、B、C三点．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）设E是轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于轴于点G，再过点E作EH垂直于轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；
（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1） 由已知设，根据题意求的值。（2）设E点坐标为，抛物线对称轴为=2，根据，列方程求解。（3）利用直线解析式与抛物线解析式联立，求M点的坐标。





















【学力训练】
1、（浙江绍兴）抛物线与轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与轴交于点C．
（1）如图1．求点A的坐标及线段OC的长；
（2）点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ．
①若含45°角的直角三角板如图2所示放置．其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一 个顶点E在PQ上．求直线BQ的函数解析式；
②若含30．角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．





















2、（浙江衢州）已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（﹣3，0），并且当两直线同时相交于正半轴的点C时，恰好有l1⊥l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l2交于点K，如图所示．
（1）求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；
（2）抛物线的对称轴被直线l1，抛物线，直线l2和轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由；
（3）当直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标．
















3、（广西桂林）已知二次函数的图象如图．
（1）求它的对称轴与轴交点D的坐标；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与轴，轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；
（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．





















4、（山东日照）如图，抛物线与双曲线相交于点A，B．已知点B的坐标为（－2，－2），点A在第一象限内，且tan∠AOX＝4．过点A作直线AC∥轴，交抛物线于另一点C．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积．若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由．

























5、（湖北黄冈）如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线y=x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＞0）．
（1）求b的值．
（2）求x1•x2的值．
（3）分别过M，N作直线l：y=﹣1的垂线，垂足分别是 M1和N1．判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．
（4）对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线 m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．






















抛物线与几何问题的参考答案
【典型例题】
【例1】（浙江宁波）
解：（1）设，将点A（－2，2）,点B 6，6）代入得
得。 ∴。
当时，。 ∴点E的坐标（0，3）。
（2）设抛物线的函数解析式为，
将A（－2，2）,点B 6，6）代入得
解得。∴抛物线的解析式为。
（3）过点N作轴的垂线NG，垂足为G，交OB于点Q，过B作BH⊥轴于H，
设N，则Q（，）

。
∴当时，△BON 面积最大，最大值为。 此时点N的坐标为（3，）。
（4）过点A作AS⊥GQ于S
∵A（－2，2）, B（6，6）， N（3，），
∴∠AOE=∠OAS=∠BOH= 45°, OG=3，NG=，NS=，AS=5。
∴在Rt△SAN和Rt△NOG中，tan∠SAN=tan∠NOG=。∴∠SAN=∠ NOG。
∴∠OAS －∠SAN=∠BOG －∠NOG。∴∠OAN=∠BON 。
∴ON的延长线上存在一点P，使△BOP∽△OAN。
∵A（－2，2）, N（3，），
∴在Rt△ASN中， AN=。
当△BOP∽△OAN时，，即，得OP=。
过点P作PT⊥x轴于点T，
∴△OPT∽△ONG 。∴。
设P（），∴，解得， （舍）。
∴点P的坐标为将△OPT沿直线OB翻折，可得出另一个满足条件的点P′ 。
∴由以上推理可知，当点P的坐标为或时，△BOP与△OAN相似。
【例2】（天津）
解： (I)∵，∴抛物线的顶点坐标为()．
(II)①根据题意，可得点A(0，1)，
∵F(1，1)．∴AB∥轴．得
AF=BF=1，
②成立．理由如下：
如图，过点P（）作PM⊥AB于点M，则
FM=，PM=（）。
∴Rt△PMF中，有勾股定理，得
又点P（）在抛物线上，得，
即
∴，即。
过点Q（）作QN⊥AB，与AB的延长线交于点N，
同理可得∵∠PMF=∠QNF=90°，∠MFP=∠NFQ，
∴△PMF∽△QNF。
∴，这里，。
∴，即。
(Ⅲ) 令，设其图象与抛物线交点的横坐标为，，且