2024河南中考数学全国真题分类卷 第十讲 二次函数的实际应用(含答案)

这是一份2024河南中考数学全国真题分类卷 第十讲 二次函数的实际应用(含答案)，共16页。

(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？
2. (2023贺州)2023年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．
(1)设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；
(2)求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？
3. (2023荆州)某企业投入60万元(只计入第一年成本)生产某种产品，按网上订单生产并销售(生产量等于销售量).经测算，该产品网上每年的销售量y(万件)与售价x(元/件)之间满足函数关系式y＝24－x，第一年除60万元外其他成本为8元/件．
(1)求该产品第一年的利润w(万元)与售价x之间的函数关系式；
(2)该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入(只计入第二年成本)后，其他成本下降2元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？
4. (2023黄冈)为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360 m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y(元/m2)与种植面积x(m2)之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2.
(1)当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)当甲种花卉种植面积不少于30 m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．
①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w(元)最少？最少是多少元？
②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积x的取值范围．
第4题图
5. (2023金华)“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：
①统计售价与需求量的数据，通过描点(图①)，发现该蔬菜需求量y需求(吨)关于售价x(元/千克)的函数图象可以看成抛物线，其表达式为y需求＝ax2＋c，部分对应值如下表：
②该蔬菜供给量y供给(吨)关于售价x(元/千克)的函数表达式为y供给＝x－1，函数图象见图①.
③1～7月份该蔬菜售价x售价(元/千克)、成本x成本(元/千克)关于月份t的函数表达式分别为x售价＝ eq \f(1,2) t＋2，x成本＝ eq \f(1,4) t2－ eq \f(3,2) t＋3，函数图象见图②.
第5题图
请解答下列问题：
(1)求a，c的值；
(2)根据图②，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由；
(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．
类型二 抛物线型问题
6. (2023甘肃省卷)如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系：h＝－5t2＋20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝________s.
第6题图
7. (2023连云港)如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝－0.2x2＋x＋2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05 m，则他距篮筐中心的水平距离OH是________m.
第7题图
8. (新趋势)·真实问题情境 (2023南充)如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5 m时，水柱落点距O点2.5 m；喷头高4 m时，水柱落点距O点3 m．那么喷头高________m时，水柱落点距O点4 m.
第8题图
9. (2023陕西)现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE＝10 m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9 m.
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
第9题图
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6 m，求点A、B的坐标．
源自北师九下P61第21题
10. (2023河南)小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7 m，水柱在距喷水头P水平距离5 m处达到最高，最高点距地面3.2 m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a(x－h)2＋k，其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离，y(m)是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式；
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3 m．身高1.6 m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
第10题图
11. (新趋势)·真实问题情境 (2023北京)单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝a(x－h)2＋k(a<0).
第11题图
某运动员进行了两次训练．
(1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a(x－h)2＋k(a<0)；
(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝－0.04(x－9)2＋23.24.记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1________d2(填”>”“＝”或“<”).
12. (新趋势)·真实问题情境 (2023江西)跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分(如图中实线部分所示)，落地点在着陆坡(如图中虚线部分所示)上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高.2023年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66 m，基准点K到起跳台的水平距离为75 m，高度为h m(h为定值).设运动员从起跳点A起跳后的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0).
(1)c的值为________；
(2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝－ eq \f(1,50) ，b＝ eq \f(9,10) ，求基准点K的高度h；
②若a＝－ eq \f(1,50) 时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为________；
(3)若运动员飞行的水平距离为25 m时，恰好达到最大高度76 m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
第12题图
类型三 几何图形(面积)问题
13. (2023课标样题改编) (2023自贡)九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案，最佳方案是( )
A. 方案1 B. 方案2
C. 方案3 D. 方案1或方案2
14. (2023无锡)某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10 m)，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1∶2的矩形，已知栅栏的总长度为24 m，设较小矩形的宽为x m(如图).
(1)若矩形养殖场的总面积为36 m2，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
第14题图
15. (2023湘潭)为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙(墙长12 m)和21 m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙)，请根据设计方案回答下列问题：
(1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1 m的水池，且需保证总种植面积为32 m2，试分别确定CG、DG的长；
(2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？
第15题图
参考答案与解析
1. 解：(1)设y与x之间的函数关系式是y＝kx＋b，
当x＝20时，y＝66，当x＝22时，y＝60，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(20k＋b＝66,22k＋b＝60)) ，
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－3,b＝126)) ，
∴y与x之间的函数关系式是y＝－3x＋126；
(2)设批发商日销售利润为w元，根据题意，
得w＝(x－18)(－3x＋126)
＝－3x2＋180x－2268
＝－3(x－30)2＋432，
∵a＝－3<0，
∴抛物线开口向下，
∴当x<30时，w随x的增大而增大，
∵18≤x≤28，
∴当x＝28时，w有最大值，
w最大＝－3×(28－30)2＋432＝420，
答：当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元．
2. 解：(1)根据题意得y＝200－ eq \f(x－48,2) ×4＝－2x＋296；
(2)根据题意得W＝y(x－34)＝(－2x＋296)(x－34)＝－2x2＋364x－10064＝－2(x－91)2＋6498，
∵－2＜0，对称轴为直线x＝91，
∴当x＝91时，W取得最大值，最大值为6498.
答：每套售价定为91元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是6498元．
3. 解：(1)w＝y(x－8)－60＝(24－x)(x－8)－60，
整理得w＝－x2＋32x－252；
(2)①当w＝4时，－x2＋32x－252＝4，
解得x1＝x2＝16，
∴第一年的售价为16元；
②由题意 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≤16,24－x≤13)) ，解得11≤x≤16，
w＝(x－8＋2)(24－x)－4＝－(x－15)2＋77.
∵15－11＞16－15，a＝－1＜0，
∴当x＝11时，w取最小值．
此时w＝－(11－15)2＋77＝61.
∴第二年利润最少是61万元．
4. 解：(1)当0＜x≤40时，y＝30；
当40＜x≤100时，设函数关系式为y＝kx＋b，
∵线段过点(40，30)，(100，15)，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(40k＋b＝30,100k＋b＝15)) ，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－\f(1,4),b＝40)) ，
∴y＝－ eq \f(1,4) x＋40，
即y＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(30（0＜x≤40）,－\f(1,4)x＋40（40＜x≤100）)) ；
(2)∵甲种花卉种植面积不少于30 m2，
∴x≥30，
∵乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍，
∴360－x≥3x，
∴x≤90，
即30≤x≤90；
①当30≤x≤40时，
由(1)知，y＝30，
∵乙种花卉种植费用为15元/m2.
∴w＝yx＋15(360－x)＝30x＋15(360－x)＝15x＋5400，
当x＝30时，wmin＝5850；
当40＜x≤90时，
由(1)知，y＝－ eq \f(1,4) x＋40，
∴w＝yx＋15(360－x)＝－ eq \f(1,4) (x－50)2＋6025，
∴当x＝90时，wmin＝－ eq \f(1,4) (90－50)2＋6025＝5625，
∵5850＞5625，
∴种植甲种花卉90 m2，乙种花卉270 m2时，种植的总费用最少，最少为5625元；
②30≤x≤40或60≤x≤90
【解法提示】当30≤x≤40时，由①知，w＝15x＋5400，∵种植总费用不超过6000元，∴15x＋5400≤6000，∴x≤40，即满足条件的x的取值范围为30≤x≤40；当40＜x≤90时，由①知，w＝－ eq \f(1,4) (x－50)2＋6025，∵种植总费用不超过6000元，∴－ eq \f(1,4) (x－50)2＋6025≤6000，∴x≤40(不符合题意，舍去)或x≥60，即满足条件的x的取值范围为60≤x≤90.综上所述，满足条件的x的范围为30≤x≤40或60≤x≤90.
5. 解：(1)把 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3,y＝7.2)) ， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4,y＝5.8)) ，代入y需求＝ax2＋c中，
可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(9a＋c＝7.2，①,16a＋c＝5.8，②))
②－①，得7a＝－1.4，解得a＝－ eq \f(1,5) ，
把a＝－ eq \f(1,5) 代入①，得c＝9，
∴a＝－ eq \f(1,5) ，c＝9；
(2)设这种蔬菜每千克获利w元，根据题意，
有w＝x售价－x成本＝ eq \f(1,2) t＋2－( eq \f(1,4) t2－ eq \f(3,2) t＋3)，
化简，得w＝－ eq \f(1,4) t2＋2t－1＝－ eq \f(1,4) (t－4)2＋3，
∵－ eq \f(1,4) ＜0，t＝4在1≤t≤7的范围内，
∴当t＝4时，w有最大值．
答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大；
(3)由y供给＝y需求，得x－1＝－ eq \f(1,5) x2＋9，
化简，得x2＋5x－50＝0，解得x1＝5，x2＝－10(舍去)，
∴此时售价为5元/千克．
此时，y供给＝y需求＝x－1＝4(吨)＝4000(千克)，
把x＝5代入x售价＝ eq \f(1,2) t＋2，得t＝6，
把t＝6代入w＝－ eq \f(1,4) t2＋2t－1，得w＝－ eq \f(1,4) ×36＋2×6－1＝2，
∴总利润＝w·y＝2×4000＝8000(元).
答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元．
6. 2 【解析】∵h＝－5t2＋20t＝－5(t2－4t)＝－5(t－2)2＋20，∴t＝2时，h最大．
【一题多解】∵小球飞行高度的最高点是抛物线的顶点处，∴t＝－ eq \f(b,2a) ＝－ eq \f(20,2×（－5）) ＝2.
7. 4 【解析】∵篮筐的中心离地面的高度为3.05 m，即y＝3.05，∴－0.2x2＋x＋2.25＝3.05，解得x1＝1，x2＝4，观察图象，篮筐在抛物线对称轴右侧，且对称轴为直线x＝－ eq \f(1,2×（－0.2）) ＝2.5，∴x取4，即OH是4 m.
8. 8 【解析】抛物线上下平移，故抛物线解析式y＝ax2＋bx＋c中a和b的值不变．设y1＝ax2＋bx＋c1，由题图可知c1＝2.5，抛物线经过点(2.5，0)得 eq \f(25,4) a＋ eq \f(5,2) b＋ eq \f(5,2) ＝0，设y2＝ax2＋bx＋c2，由题图可知c2＝4，抛物线经过点(3，0)得9a＋3b＋4＝0，解得a＝－ eq \f(2,3) ，b＝ eq \f(2,3) ，设y3＝－ eq \f(2,3) x2＋ eq \f(2,3) x＋c3，由题图可知抛物线经过点(4，0)得c3＝8.
9. 解：(1)由题意得，顶点P(5，9)，
设抛物线的函数表达式为y＝a(x－5)2＋9，
将(0，0)代入，得0＝a(0－5)2＋9，
解得a＝－ eq \f(9,25) ，
∴抛物线的函数表达式为y＝－ eq \f(9,25) (x－5)2＋9；
(2)令y＝6，得－ eq \f(9,25) (x－5)2＋9＝6，
解得x1＝5＋ eq \f(5\r(3),3) ，x2＝5－ eq \f(5\r(3),3) ，
∴A(5－ eq \f(5\r(3),3) ，6)，B(5＋ eq \f(5\r(3),3) ，6).
10. 解：(1)由题意知，点(5，3.2)是抛物线y＝a(x－h)2＋k的顶点，
∴y＝a(x－5)2＋3.2.
又∵抛物线经过点(0，0.7)，
∴0.7＝a(0－5)2＋3.2.
解得a＝－0.1.
∴抛物线的表达式为y＝－0.1(x－5)2＋3.2(或y＝－0.1x2＋x＋0.7)；
(2)当y＝1.6时，1.6＝－0.1(x－5)2＋3.2.
解得x1＝1，x2＝9.
当y＝0时，即－0.1(x－5)2＋3.2＝0，
解得x＝5＋4 eq \r(2) ，(负值已舍去)
∵9＜5＋4 eq \r(2) ，
∴3－1＝2，9－3＝6.
答：小红与爸爸的水平距离为2 m或6 m.
11. 解：(1)该运动员竖直高度的最大值为23.2 m，
由点(5，22.75)和(11，22.75)可知，该抛物线的对称轴为直线x＝ eq \f(5＋11,2) ＝8，
∴h＝8，k＝23.2，
将点(0，20)代入y＝a(x－8)2＋23.2中，
得64a＋23.2＝20，
解得a＝－0.05，
∴该函数满足的函数关系为y＝－0.05(x－8)2＋23.2；
(2)<.
【解法提示】∵抛物线y＝－0.05(x－8)2＋23.2与y＝－0.04(x－9)2＋23.24都经过(0，20)，且抛物线y＝－0.04(x－9)2＋23.24的开口比抛物线y＝－0.05(x－8)2＋23.2的开口大，抛物线y＝－0.04(x－9)2＋23.24的对称轴为直线x＝9，∴第二次着陆点的水平距离比第一次着陆点的水平距离大．
12. 解：(1)66；
【解法提示】∵OA＝66，根据题意可知点A在y轴正半轴上，∴点A的坐标为(0，66)，将点A的坐标代入y＝ax2＋bx＋c中得c＝66.
(2)①∵a＝－ eq \f(1,50) ，b＝ eq \f(9,10) ，c＝66，
∴y＝－ eq \f(1,50) x2＋ eq \f(9,10) x＋66，
当x＝75时，y＝－ eq \f(1,50) ×752＋ eq \f(9,10) ×75＋66＝21，
∴h＝21.
答：基准点K的高度h为21 m；
②b> eq \f(9,10) ；
【解法提示】∵a＝－ eq \f(1,50) ，c＝66，∴y＝－ eq \f(1,50) x2＋bx＋66，∴对称轴为直线x＝25b，∵y＝－ eq \f(1,50) x2＋ eq \f(9,10) x＋66的对称轴为直线x＝22.5，∵运动员落地点要超过K点，∴直线x＝25b要在直线x＝22.5的右侧，∴25b>22.5，∴b> eq \f(9,10) .
(3)他的落地点能超过K点．
理由：∵运动员飞行的水平距离为25 m时，恰好达到最大高度76 m，
∴抛物线顶点坐标为(25，76)，
∴设抛物线解析式为y＝a(x－25)2＋76.
∵抛物线y＝a(x－25)2＋76经过点A(0，66)，
∴66＝a(0－25)2＋76，
解得a＝－ eq \f(2,125) ，
∴y＝－ eq \f(2,125) (x－25)2＋76，
当x＝75时，y＝－ eq \f(2,125) ×(75－25)2＋76＝36>21，
∴运动员的落地点能超过K点．
13. C 【解析】绳子的长度为8 m，方案1：设围成的矩形宽为x m，那么长为(8－2x) m．围成的面积为x(8－2x)＝－2(x－2)2＋8，(0＜x＜4)，利用二次函数的图象性质可求得当x＝2时取得最大值为8平方米；方案2：如解图，BD为AC边上的高，AB＝BC＝4，AC＝2a，BD＝b，则△ABC的面积为 eq \f(1,2) AC·BD＝ eq \f(1,2) ×2a×b＝ab，∵a2＋b2＝42＝16，(a－b)2≥0，∴a2＋b2－2ab≥0，得ab≤8，∴△ABC的面积最大为8平方米；方案3：半圆的半径为r＝ eq \f(8,π) ，∴面积为 eq \f(1,2) πr2＝ eq \f(1,2) π×( eq \f(8,π) )2＝ eq \f(32,π) ≈10平方米．∴方案3围成半圆形的面积最大．
第13题解图
14. 解：(1)∵两个矩形面积的比为1∶2，且长相同，
∴较大矩形的宽为2x m，则大矩形垂直于墙面的长度为 eq \f(24－3x,3) ＝(8－x)m，
根据题意得(x＋2x)(8－x)＝36，
解得x1＝2，x2＝6，
当x＝2时，大矩形平行于墙面的长度为3x＝6；
当x＝6时，大矩形平行于墙面的长度为3x＝18＞10，
不符合题意；
答：此时x的值为2 m；
(2)设养殖场的总面积为y m2，根据题意得，
y＝(x＋2x)(8－x)＝－3(x2－8x)＝－3(x－4)2＋48，
∵x＋2x≤10，
∴x≤ eq \f(10,3) ，
∵－3＜0，
∴在对称轴x＝4的左侧，y随x的增大而增大，
∴当x＝ eq \f(10,3) 时，y有最大值，y最大＝－3×( eq \f(10,3) －4)2＋48＝ eq \f(140,3) .
答：当x＝ eq \f(10,3) 时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 eq \f(140,3) m2.
15. 解：(1)设CG＝x m，则DG＝(12－x) m，BC＝ eq \f(21－12,3) ＝3 m，
根据题意得，12×3－1×(12－x)＝32，
解得x＝8，
∴CG＝8 m，DG＝4 m；
(2)设BC＝x m，则CD＝(21－3x) m，
由题知3x＜21，21－3x≤12，
∴3≤x＜7，
设围成的两块矩形总种植面积为S，
∴总的种植面积为S＝x(21－3x)＝－3x2＋21x＝－3(x－3.5)2＋ eq \f(147,4) ，
∴当x＝3.5时，S取最大值为 eq \f(147,4) ，
故当BC设计为3.5 m时，此时矩形总种植面积最大为 eq \f(147,4) m2.
每千克售价x(元)
…
20
22
24
…
日销售量y(千克)
…
66
60
54
…
售价x(元/千克)
…
2.5
3
3.5
4
…
需求量y需求(吨)
…
7.75
7.2
6.55
5.8
…
水平距离x/m
0
2
5
8
11
14
竖直高度y/m
20.00
21.40
22.75
23.20
22.75
21.40