中考数学二轮函数试题压轴题《函数及图像与几何问题》

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函数及图像与几何问题【知识纵横】    函数（本节主要指一次函数、反比例函数）及图像与几何问题，是以函数为背景探求几何性质，这类题很重要点是利用函数的性质，解决几个主要点的坐标问题，使几何知识和函数知识有机而自然结合起来，这样，才能突破难点。但在解这类题目时，要注意方程的解与坐标关系，及坐标值与线段长度关系。【典型例题】【例1】（山东济宁）如图，第一象限内半径为2的⊙C与轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：=k+3。(1) 设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式。(2)设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP。请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；(3)是否存在使△AMN的面积等于的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由。【思路点拨】（1）将P的坐标代入=k+3即可。（2）要证△AMN∽△ABP，只要证∠ABD∠AMN即可。（3）根据（2）的结论，由相似三角形△AMN和△ABP的面积比，分点P在B点上下方两种情况求解。    【例2】（湖南怀化）在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分別以OB，OA所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E．（1）求证：AE•AO=BF•BO；（2）若点E的坐标为（2，4），求经过O、E、F三点的抛物线的解析式；（3）是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出此时的OF的长：若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）根据反比例函数的性质得出，即可得出AE•AO=BF•BO。（2）利用E点坐标首先求出BF= ，再利用待定系数法求二次函数解析式即可。                       【例3】（湖南娄底）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，且AD=2，以CD为直径作⊙O1，交BC于点E，过点E作EF⊥AB于F，建立如图所示的平面直角坐标系，已知A，B两点的坐标分别为A（0，2），B（﹣2，0）．（1）求C，D两点的坐标．（2）求证：EF为⊙O1的切线．（3）探究：如图，线段CD上是否存在点P，使得线段PC的长度与P点到轴的距离相等？如果存在，请找出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）连接DE。（2）连接O1E，可证O1E∥AB，再由EF⊥AB，证明O1E⊥EF即可。（3）过P作PM⊥轴于M，作PN⊥轴于N，再利用锐角三角函数定义求解。                  【例4】（浙江金华、丽水）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作轴垂线，分别交轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连接CF．（1）当∠AOB=30°时，求弧AB的长度；（2）当DE=8时，求线段EF的长；（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）连接BC。（2）连接OD，证明△OEF∽△DEA，再利用相似比求EF。（3）当以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似时，分为①当交点E在O，C之间时，②当交点E在点C的右侧时，③当交点E在点O的左侧时三种情况，分别求出E点坐标。                         【学力训练】1、（福建泉州）如图1，在第一象限内，直线y=mx与过点B（0，1）且平行于x轴的直线l相交于点A，半径为r的⊙Q与直线y=mx、x轴分别相切于点T、E，且与直线l分别交于不同的M、N两点．（1）当点A的坐标为（，p）时，①填空：p=___ ，m= ___，∠AOE= ___．②如图2，连接QT、QE，QE交MN于点F，当r=2时，试说明：以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形； （2）在图1中，连接EQ并延长交⊙Q于点D，试探索：对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值会变化吗？若不变，求出a的值；若变化．请说明理由。               2、（浙江湖州）已知：在矩形中，，．分别以所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系．是边上的一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．（1）求证：与的面积相等；（2）记，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．                        3、（浙江嘉兴）如图，直角坐标系中，已知两点，点在第一象限且为正三角形，的外接圆交轴的正半轴于点，过点的圆的切线交轴于点．（1）求两点的坐标；（2）求直线的函数解析式；（3）设分别是线段上的两个动点，且平分四边形的周长．试探究：的最大面积？                          4、（08杭州市） 在直角梯形中，，高（如图1）。动点同时从点出发，点沿运动到点停止，点沿运动到点停止，两点运动时的速度都是。而当点到达点时，点正好到达点。设同时从点出发，经过的时间为时，的面积为（如图2）。分别以为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点在边上从到运动时，与的函数图象是图3中的线段。（1）分别求出梯形中的长度；（2）写出图3中两点的坐标；（3）分别写出点在边上和边上运动时，与的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在图3中补全整个运动中关于的函数关系的大致图象。              函数及图像与几何问题的参考答案【典型例题】【例1】（山东济宁）解：（1）∵y轴和直线l都是⊙C的切线，∴OA⊥AD   BD⊥AD 。 又∵ OA⊥OB，∴∠AOB=∠OAD=∠ADB=90°。∴四边形OADB是矩形。∵⊙C的半径为2，∴AD=OB=4。∵点P在直线l上，∴点P的坐标为（4，p）。又∵点P也在直线AP上，∴p=4k+3。（2）连接DN。∵AD是⊙C的直径，∴ ∠AND=90°。∵ ∠AND=90°－∠DAN，∠ABD=90°－∠DAN， ∴∠AND=∠ABD  。                    又∵∠ADN=∠AMN，∴∠ABD=∠AMN。∵∠MAN=∠BAP  ∴△AMN∽△ABP 。（3）存在。理由如下：把=0代入=k+3，得y=3，即OA=BD=3。∴AB=。∵ S△ABD= AB·DN=AD·DB，∴DN==。 ∴AN2=AD2－DN2=。∵△AMN∽△ABP ， ∴   即 。当点P在B点上方时，∵AP2=AD2＋PD2 = AD2＋(PB－BD)2 =42＋(4k＋3－3)2 =16(k2＋1)，或AP2=AD2＋PD2 = AD2＋(BD－PB)2 =42＋(3－4k－3)2 =16(k2＋1)，S△ABP= PB·AD= (4k＋3)×4=2(4k＋3)，∴。整理得k2－4k－2=0 ，  解得k1 =2＋ ， k2=2－ 。当点P在B 点下方时，∵AP2=AD2＋PD2 =42＋(3－4k－3)2 =16(k2＋1) ，S△ABP= PB·AD= [－(4k＋3)]×4=－2(4k＋3)，∴。             整理得k2+1=－（4k＋3），   解得k=－2。             综合以上所得，当k=2±或k=－2时，△AMN的面积等于。【例2】（湖南怀化）解：（1）证明：∵E，F点都在反比例函数图象上，∴根据反比例函数的性质得出，，∴AE•AO=BF•BO。（2）设经过O、E、F三点的抛物线的解析式为，∵点E的坐标为（2，4），∴AE•AO=BF•BO=8。∵BO=6，∴BF=，∴F（6，），把O、E、F三点的坐标分别代入二次函数解析式得：，解得：。∴经过O、E、F三点的抛物线的解析式为。（3）如果设折叠之后C点在OB上的对称点为C'，连接C'E、C'F，过E作EG垂直于OB于点G，则根据折叠性质、相似三角形、勾股定理有：设BC'=，BF=，则C'F=CF=．∴点的坐标F（6，），E（1.5，4）。EC'=EC=，∴在Rt△C'BF中， ①。∵Rt△EGC'∽Rt△C'BF，∴（）：（）=4：=（）： ②。解得：，∴F点的坐标为（6，）。∴OF= 。【例3】（湖南娄底）解：（1）连接DE，∵CD是⊙O1的直径，∴DE⊥BC。∴四边形ADEO为矩形．∴OE=AD=2，DE=AO=2。∵在等腰梯形ABCD中，DC=AB，∴CE=BO=2，CO=4。∴C（4，0），D（2，2）。（2）连接O1E，在⊙O1中，O1E=O1C，∠O1EC=∠O1CE。在等腰梯形ABCD中，∠ABC=∠DCB，∴O1E∥AB。又∵EF⊥AB，∴O1E⊥EF。∵E在AB上，∴EF为⊙O1的切线。（3）存在满足条件的点P．如图，过P作PM⊥轴于M，作PN⊥轴于N，依题意得PC=PM，在矩形OMPN中，ON=PM，设ON=，则PM=PC=，CN=4－，在Rt△ABO中，∵tan∠ABO=，∴∠ABO=60°，∴∠PCN=∠ABO=60°。在Rt△PCN中，cos∠PCN=，即，∴。∴PN=CN•tan∠PCN=。∴满足条件的P点的坐标为（）。【例4】（浙江金华、丽水）解：（1）连接BC，∵A（10，0），∴OA=10，CA=5。∵∠AOB=30°，∴∠ACB=2∠AOB=60°。∴弧AB的长=。（2）连接OD，∵OA是⊙C直径，∴∠OBA=90°。又∵AB=BD，∴OB是AD的垂直平分线。∴OD=OA=10。在Rt△ODE中，OE=。∴AE=AO﹣OE=10﹣6=4，由∠AOB=∠ADE=90°﹣∠OAB，∠OEF=∠DEA，得△OEF∽△DEA。∴，即，∴EF=3。（3）设OE=，①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB。当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC中点，即OE=，∴E1（，0）。当∠ECF=∠OAB时，有CE=5﹣，AE=10﹣，∴CF∥AB，有CF=AB。∵△ECF∽△EAD，∴，即，解得，。∴E2（，0）。②当交点E在点C的右侧时，∵∠ECF＞∠BOA，∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO。连接BE，∵BE为Rt△ADE斜边上的中线，∴BE=AB=BD，∴∠BEA=∠BAO。∴∠BEA=∠ECF。∴CF∥BE。∴。∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=900，∴△CEF∽△AED，∴，而AD=2BE，∴。即，解得∵＜0，舍去，∴E3（，0）。③当交点E在点O的左侧时，∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF．∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO。连接BE，得BE=AD =AB，∠BEA=∠BAO，∴∠ECF=∠BEA。∴CF∥BE。∴。又∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90°，∴△CEF∽△AED，∴，而AD=2BE，∴。即，解得∵＜0，舍去， 又∵点E在轴负半轴上，∴E4（，0）。综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，此时点E坐标为：E1（，0）、E2（，0）、E3（，0）、E4（，0）。 【学力训练】1、（福建泉州）解：（1） 1，，60°。（2）如图，连接TM，ME，EN，QN，QM ，∵OE和OP是⊙Q的切线，∴QE⊥x轴，QT⊥OT，即∠QTA=90°。而l∥x轴，∴QE⊥MN。∴MF=NF。又∵r=2，EF=1，∴QF=2－1=1。∴四边形QNEM为平行四边形，即QN∥ME。∴EN=MQ=EQ=QN，即△QEN为等边三角                    形。∴∠NQE=60°，∠QNF=30°。在四边形OEQT中，∠QTO=∠QEO=90°，∠TOE=60°，∴∠TQE=360°-90°－90°－60°=120°。∴∠TQE+∠NQE=120°+60°=180°。∴T、Q、N三点共线，即TN为直径。∴∠TMN=90°。∴TN∥ME，∴∠MTN=60°=∠TNE。∴以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形。（3）对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值不会变化。理由如下：如图，连DM，ME，∵DM为直径，∴∠DME=90°。而DM垂直平分MN，∴Rt△MFD∽Rt△EFM。∴MF2=EF•FD。设D（h，k），（h＞0，k=2r），则过M、D、N三点的抛物线的解析式为：y=a（x-h）2+k。又∵M、N的纵坐标都为1，当y=1时，a（x-h）2+k=1，解得x1=，x2=。∴MN=2。∴MF=MN=。∴。∴ 。∴a=－1。∴对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值会变化，a=－1。2、（浙江湖州）（1）证明：设，，与的面积分别为，，由题意得，．，．，即与的面积相等．（2）由题意知：两点坐标分别为，，，．当时，有最大值．．（3）解：设存在这样的点，将沿对折后，点恰好落在边上的点，过点作，垂足为．由题意得：，，，，．又，．，，．，，解得．．存在符合条件的点，它的坐标为．3、（浙江嘉兴）（1），．作于，为正三角形，，．．连，，，．． （2），是圆的直径，又是圆的切线，．，．．设直线的函数解析式为，则，解得．直线的函数解析式为．（3），，，，四边形的周长．设，的面积为，则，．．当时，．点分别在线段上，，解得．满足，的最大面积为．4、（杭州市）（1）设动点出发秒后，点到达点且点正好到达点时，，则（秒）则；（2）可得坐标为（3）当点在上时，；当点在上时，图象略