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2023年中考数学二轮复习《压轴题-线段数量关系问题》强化练习(含答案)
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这是一份2023年中考数学二轮复习《压轴题-线段数量关系问题》强化练习(含答案),共22页。试卷主要包含了已知抛物线L等内容,欢迎下载使用。
2023年中考数学二轮复习《压轴题-线段数量关系问题》强化练习1.抛物线y=x2﹣2x+m的顶点A在x轴上,与y轴交于点B.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,直线CD∥AB交抛物线于C,D两点,若,求△COD的面积;(3)如图2,P为抛物线对称轴上顶点下方的一点,过点P作直线交抛物线于点E,F,交x轴于点M,求的值. 2.如图,抛物线y=ax2+bx﹣4交x轴于A,B两点,交y轴于点C,OB=2OC=4OA,连接AC,BC.(1)求抛物线的解析式;(2)点D是抛物线y=ax2+bx﹣4的图象上在第四象限内的一动点,DE⊥x轴于点E,交BC于点F.设点D的横坐标为m.①请用含m的代数式表示线段DF的长;②已知DG∥AC,交BC于点G,请直接写出当DG=AC时点D的坐标. 3.如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A(﹣1,0),B(m,0)两点,与y轴相交于点C(0,﹣3),抛物线的顶点为D.(1)求抛物线的解析式;(2)若点E在x轴上,且∠ECB=∠CBD,求点E的坐标.(3)若P是直线BC下方抛物线上任意一点,过点P作PH⊥x轴于点H,与BC交于点M.①求线段PM长度的最大值.②在①的条件下,若F为y轴上一动点,求PH+HF+CF的最小值. 4.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与直线y=x+1相交于A(﹣1,0),B(4,m)两点,且抛物线经过点C(5,0).(1)求抛物线的解析式.(2)点P是直线上方的抛物线上的一个动点,求△ABP的面积最大时的P点坐标.(3)若点P是抛物线上的一个动点(不与点A点B重合),过点P作直线PD⊥x轴于点D,交直线AB于点E.当PE=2ED时,求P点坐标;(4)设抛物线与y轴交于点F,在抛物线的第一象限内,是否存在一点M,使得AM被FC平分?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,说明理由. 5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c与坐标轴交于A(0,﹣2),B(4,0)两点,直线BC:y=﹣2x+8交y轴于点C.点D为直线AB下方抛物线上一动点,过点D作x轴的垂线,垂足为G,DG分别交直线BC,AB于点E,F.(1)求抛物线y=x2+bx+c的表达式;(2)当GF=时,连接BD,求△BDF的面积;(3)①H是y轴上一点,当四边形BEHF是矩形时,求点H的坐标;②在①的条件下,第一象限有一动点P,满足PH=PC+2,求△PHB周长的最小值. 6.已知抛物线L:y=﹣x2+bx+c过点(﹣3,3)和(1,﹣5),与x轴的交点为A,B(点A在点B的左侧).(1)求抛物线L的表达式;(2)若点P在抛物线L上,点E、F在抛物线L的对称轴上,D是抛物线L的顶点,要使△PEF∽△DAB(P的对应点是D),且PE:DA=1:4,求满足条件的点P的坐标. 7.如图1,抛物线y=ax2+bx经过点A(﹣5,0),点B(﹣1,﹣2).(1)求抛物线解析式;(2)如图2,点P为抛物线上第三象限内一动点,过点Q(﹣4,0)作y轴的平行线,交直线AP于点M,交直线OP于点N,当点P运动时,4QM+QN的值是否变化?若变化,说明变化规律,若不变,求其值;(3)如图3,长度为的线段CD(点C在点D的左边)在射线AB上移动(点C在线段AB上),连接OD,过点C作CE∥OD交抛物线于点E,线段CD在移动的过程中,直线CE经过一定点F,直接写出定点F的坐标与的最小值. 8.如图,在平面直角坐标系中,已知直线y=2x+8与x轴交于点A、与y轴交于点B,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B.(1)求抛物线的表达式;(2)P是抛物线上一点,且位于直线AB上方,过点P作PM∥y轴、PN∥x轴,分别交直线AB于点M、N.①当MN=AB时,求点P的坐标;②联结OP交AB于点C,当点C是MN的中点时,求的值.
参考答案1.解:(1)∵抛物线y=x2﹣2x+m=(x﹣1)2+m﹣1的顶点A(1,m﹣1)在x轴上,∴m﹣1=0,∴m=1,∴该抛物线的解析式为y=x2﹣2x+1;(2)∵y=x2﹣2x+1=(x﹣1)2,∴顶点A(1,0),令x=0,得y=1,∴B(0,1),在Rt△AOB中,AB=,设直线AB的解析式为y=kx+b,则,解得:,∴直线AB的解析式为y=﹣x+1,∵CD∥AB,∴设直线CD的解析式为y=﹣x+d,C(xC,yC),D(xD,yD),则x2﹣2x+1=﹣x+d,整理得:x2﹣x+1﹣d=0,∴xC+xD=1,xCxD=1﹣d,yC=﹣xC+d,yD=﹣xD+d,∴yC﹣yD=(﹣xC+d)﹣(﹣xD+d)=xD﹣xC,∵,∴CD=3AB=3,∴CD2=(3)2=18,∴(xC﹣xD)2+(yC﹣yD)2=18,即(xC﹣xD)2+(xD﹣xC)2=18,∴(xC﹣xD)2=9,∴(xC+xD)2﹣4xCxD=9,即1﹣4(1﹣d)=9,解得:d=3,∴x2﹣x﹣2=0,解得:x=2或﹣1,∴C(2,1),D(﹣1,4),设直线CD:y=﹣x+3交y轴于点K,令x=0,则y=3,∴K(0,3),∴OK=3,∴S△COD=OK×|xC﹣xD|=×3×3=;(3)如图2,过点E作EG∥x轴交抛物线对称轴于点G,过点F作FH∥x轴交抛物线对称轴于点H,则AM∥EG∥FH,∴=,=,设直线PM的解析式为y=kx+n,当x=1时,y=k+n,∴P(1,k+n),当y=0时,kx+n=0,解得:x=﹣,∴M(﹣,0),∴AM=|1﹣(﹣)|=||,由x2﹣2x+1=kx+n,整理得:x2﹣(k+2)x+1﹣n=0,则xE+xF=k+2,xExF=1﹣n,∵EG=|xE﹣1|,FH=|xF﹣1|,∴+=+=,当k<0时,点E、F、M均在对称轴直线x=1左侧,∴EG=|xE﹣1|=1﹣xE,FH=|xF﹣1|=1﹣xF,AM=||=,∴+====,∴+=AM×(+)=×=1;当k>0时,点E、F、M均在对称轴直线x=1右侧,∴EG=|xE﹣1|=xE﹣1,FH=|xF﹣1|=xF﹣1,AM=||=﹣,∴+====﹣,∴+=AM×(+)=﹣×(﹣)=1;综上所述,的值为1.2.解:(1)在抛物线y=ax2+bx﹣4中,令x=0,则y=﹣4,∴点C的坐标为(0,﹣4),∴OC=4,∵OB=2OC=4OA,∴OA=2,OB=8,∴点A为(﹣2,0),点B为(8,0),则把点A、B代入解析式,得:,解得:,∴此抛物线的表达式为y=x2﹣x﹣4;(2)①设直线BC的解析式为y=mx+n,则把点B、C代入,得,解得:,∴直线AC的解析式为y=x﹣4;设点D为(m,m2﹣m﹣4),可得F(m,m﹣4),∴DF=m﹣4−(m2﹣m﹣4)=﹣m2+2m;②∵点A为(﹣2,0),点B为(8,0),点C的坐标为(0,﹣4),∴AC2=22+42=20,BC2=82+42=80,AB2=(8+2)2=100,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,∠ACB=∠ACO+∠OCF=90°,∵DG∥AC,∴∠DGC=∠ACB=90°,∴∠DGF=∠AOC=90°,∴∠DFG+∠FDG=90°,∵DE⊥x轴,∴DE∥y轴,∴∠OCF=∠DFG,∵∠ACO+∠OCF=90°,∠DFG+∠FDG=90°,∴∠ACO=∠FDG,∴△AOC∽△FGD,∴,∵AC2=22+42=20,∴AC=2,∵DG=AC,∴DG=,∴DF=3,∵DF=﹣m2+2m,∴﹣m2+2m=3,解得m1=2,m2=6,∴点D的坐标为(2,﹣6)或(6,﹣4).3.解:(1)把A(﹣1,0),点C(0,﹣3)代入抛物线y=x2+bx+c中得:,解得:,∴抛物线的解析式为:y=x2﹣2x﹣3;(2)∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4∴顶点D(1,﹣4),当y=0时,x2﹣2x﹣3=0,(x﹣3)(x+1)=0,x=3或﹣1,∴B(3,0);如图1,连接BD,设BD所在直线的解析式为:y=k(x﹣3),将D点坐标代入函数解析式,得﹣2k=﹣4,解得k=2,故BD所在直线的解析式为:y=2x﹣6,∵∠ECB=∠CBD,∴CE∥BD,设CE所在直线的解析式为:y=2x+b,将C点坐标代入函数解析式,得b=﹣3,故CE所在直线的解析式为:y=2x﹣3,当y=0时,x=.当点E在点B的右侧时,直线CE经过BD的中点(2,2),此时CE的解析式为y=x﹣3,∴点E的坐标是(6,0).∴综上所述,点E的坐标是(,0)或(6,0);(3)①如图2,∵B(3,0),C(0,﹣3),设BC的解析式为:y=kx+b,则,解得:,BC的解析式为:y=x﹣3,设P(x,x2﹣2x﹣3),则M(x,x﹣3),∴PM=(x﹣3)﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣x2+3x=﹣(x﹣)2+,当x=时,PM有最大值为;②当PM有最大值,P(,﹣),在x轴的负半轴了取一点K,使∠OCK=45°,过F作FN⊥CK于N,∴FN=CF,当N、F、H三点共线时,PH+NH最小,即PH+HF+CF的值最小,Rt△OCK中,OC=3,∴OK=3,∵OH=,∴KH=+3=,Rt△KNH中,∠KHN=45°,∴KN=KH=,∴NH=KN=,∴PH+HF+CF的最小值是PH+NH=+.4.解:(1)将交点B(4,m)代入直线y=x+1得B(4,5),由题意可设抛物线解析式y=a(x+1)(x﹣5),把B(4,m)代入得a=﹣1,∴y=﹣(x+1)(x﹣5),即y=﹣x2+4x+5;(2)过点P作y轴的平行线交AB于点H,则,xB﹣xA=4﹣(﹣1)=5,所以,其对称轴为,把代入y=﹣x2+4x+5得:,即△ABP的面积最大时P点坐标为;(3)∵P为抛物线上一点,所以存在P点在直线AB上方和下方两种情况.由题意得,ED=yE﹣yD=(x+1)﹣0=x+1,因为PE=2ED,所以|﹣x2+3x+4|=2|x+1|,所以﹣x2+3x+4=±2(x+1),解得x1=﹣1(舍),x2=2,x3=6,当x=2时,y=9;当x=6时,y=﹣7.即当PE=2ED时,求P点坐标为(2,9)或(6,﹣7);(4)若AM被FC平分,则AM的中点在直线FC上.由F(0,5),C(5,0)得直线FC的表达式为:y=﹣x+5,设M(x,﹣x2+4x+5),A(﹣1,0),所以其中点坐标为,将M'代入y=﹣x+5,解得x1=3,x2=2,∴点M(3,8)或(2,9),当其坐标为(3,8)或(2,9)时,AM被FC平分.5.解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c过A(0,﹣2),B(4,0)两点,∴,解得,∴y=x2﹣x﹣2.(2)∵B(4,0),A(0,﹣2),∴OB=4,OA=2,∵GF⊥x轴,OA⊥x轴,在Rt△BOA和Rt△BGF中,tan∠ABO==,即=,∴GB=1,∴OG=OB﹣GB=4﹣1=3,当x=3时,yD=×9﹣×3﹣2=﹣2,∴D(3,﹣2),即GD=2,∴FD=GD﹣GF=2﹣=,∴S△BDF=DFBG=××1=.(3)①如图1中,过点H作HM⊥EF于M,∵四边形BEHF是矩形,∴EH∥BF,EH=BF,∴∠HEF=∠BFE,∵∠EMH=∠FGB=90°,∴△EMH≌△FGB(AAS),∴MH=GB,EM=FG,∵HM=OG,∴OG=GB=OB=2,∵A(0,﹣2),B(4,0),∴直线AB的解析式为y=x﹣2,设E(a,﹣2a+8),F(a,a﹣2),由MH=BG得到,a﹣0=4﹣a,∴a=2,∴E(2,4),F(2,﹣1),∴FG=1,∵EM=FG,∴4﹣yH=1,∴yH=3,∴H(0,3).②如图2中,BH==5,∵PH=PC+2,∴△PHB的周长=PH+PB+HB=PC+2+PB+5=PC+PB+7,要使得△PHB的周长最小,只要PC+PB的值最小,∵PC+PB≥BC,∴当点P在BC上时,PC+PB=BC的值最小,∵BC=4,∴△PHB的周长的最小值为4+7.6.解:(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点(﹣3,3)和(1,﹣5),∴,解得:,∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣4x;(2)令y=0,则0=﹣x2﹣4x,∴x1=﹣4,x2=0,∴点A(﹣4,0),点B(0,0),∴对称轴为x=﹣2,∴点D(﹣2,4),如图,设对称轴与x轴的交点为H,过点P作PQ⊥DH于Q,设点P(m,﹣m2﹣4m),∵△PEF∽△DAB,∴,∴PQ=×4=1,∴|m+2|=1,∴m=﹣1或﹣3,∴点P(﹣1,3)或(﹣3,3).7.解:(1)将点A(﹣5,0),点B(﹣1,﹣2)代入y=ax2+bx,∴,解得,∴y=x2+x;(2)4QM+QN的值为定值,设P(t,t2+t),﹣5<t<0,设直线AP的解析式为y=kx+b,∴,解得,∴y=tx+t,设直线PO的解析式为y=k'x,∴t2+t=tk',∴k'=t+,∴y=(t+)x,∵点Q(﹣4,0),∴M(﹣4,t),∴N(﹣4,﹣2t﹣10),∴QM=﹣t,QN=2t+10,∴4QM+QN=﹣2t+2t+10=10,∴4QM+QN的值不变;(3)设直线AB的解析式为y=kx+b,∴,解得,∴y=﹣x﹣,设D(m,﹣m﹣),∵CD=,点C在点D的左边,∴C(m﹣2,﹣m﹣),设直线OD的解析式为y=k'x,∴﹣m﹣=k'm,∴k'=﹣﹣,∴y=(﹣﹣)x,∵CE∥OD,∴直线CE的解析式为y=(﹣﹣)x﹣=﹣x﹣ (x+1),当x+1=0时,x=﹣2,此时y=1,∴直线CE经过定点F(﹣2,1),过点F作FK⊥x轴交直线AB于点K,过点E作EG∥FK交AB于点G,∴=,∵点F(﹣2,1),∴K(﹣2,﹣),∴FK=,∴当GE最大时,的值最小,设E(n,n2+n),则G(n,﹣n﹣),∴GE=﹣(n+3)2+2,∴当n=﹣3时,GE有最大值2,∴的最小值为1.25.8.解:(1)∵直线y=2x+8与x轴交于点A、与y轴交于点B,∴令x=0,则y=8,令y=0,则x=﹣4,∴B(0,8),A(﹣4,0),∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B,∴,∴,∴抛物线的表达式为:y=﹣x2﹣2x+8;(2)①∵P是抛物线上一点,且位于直线AB上方,过点P作PM∥y轴、PN∥x轴,分别交直线AB于点M、N,∴PM⊥PN,∠PNM=∠BAO,∴∠MPN=∠AOB=90°,∴△PMN∽△OBA,∴,设点M的横坐标为m(﹣4<m<0),则M(m,2m+8),P(m,﹣m2﹣2m+8),∴PM=﹣m2﹣2m+8﹣(2m+8)=﹣m2﹣4m,∵B(0,8),A(﹣4,0),∴OA=4,OB=8,∵MN=AB,∴,∴=,解得m1=m2=﹣2,∴P(﹣2,8);②如图,连接OP交AB于点C,∵PN∥x轴,P(m,﹣m2﹣2m+8),∴点N的纵坐标为﹣m2﹣2m+8,令y=﹣m2﹣2m+8,则2x+8=﹣m2﹣2m+8,解得:x=﹣m2﹣m,N(﹣m2﹣m,﹣m2﹣2m+8),∵点C是MN的中点,M(m,2m+8),∴C(﹣m2,﹣m2+8),由①知:∠MPN=90°,又点C是MN的中点,∴PC=CM=CN,∴∠CPN=∠CNP,∠CPM=∠CMP,∵PM∥y轴、PN∥x轴,∴∠BOC=∠CPM,∠OBC=∠CMP,∠OAC=∠CNP,∠AOC=∠CPN,∴∠BOC=∠OBC,∠OAC=∠AOC,∴AC=OC,BC=OC,∴AC=BC,∴点C是AB的中点,∴C(﹣2,4),∴﹣m2=﹣2,解得:m=±2,∵﹣4<m<0,∴m=﹣2,∴PM=﹣m2﹣4m=﹣(﹣2)2﹣4×(﹣2)=8﹣8,∵PM∥y轴,∴△PCM∽△OCB,∴==﹣1,故的值为﹣1.
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