2023年中考数学二轮复习《压轴题-单线段最值问题》强化练习(含答案)

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2023年中考数学二轮复习《压轴题-单线段最值问题》强化练习1.在平面直角坐标系中，直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝﹣x2＋2mx﹣m2＋2与y轴交于点C．(1)如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．①求A，B，C，D四点的坐标；②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；(2)在y轴上有一点M(0，m)，当点C在线段MB上时，①求m的取值范围；②求线段BC长度的最大值．             2.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，C点的坐标为(1，0)，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A，B，C．(1)求抛物线的解析式；(2)根据图象写出不等式ax2＋(b﹣1 )x＋c＞2的解集；(3)点P是抛物线上的一动点，过点P作直线AB的垂线段，垂足为Q点．当PQ＝时，求P点的坐标．                 3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点A(﹣1，0)，B(3，0)，且与y轴交于点C(0，﹣3)．(1)求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由；(3)在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值．                 4.如图，已知抛物线与x轴交点坐标为A(1，0)，C(﹣3，0)，(1)如图1，已知顶点坐标D为(﹣1，4)或B点(0，3)，选择适当方法求抛物线的解析式；(2)如图2，在抛物线的对称轴DH上求作一点M，使△ABM的周长最小，并求出点M的坐标；(3)如图3，将图2中的对称轴向左移动，交x轴于点P(m，0)(﹣3＜m＜﹣1)，与抛物线，线段BC的交点分别为点E、F，用含m的代数式表示线段EF的长度，并求出当m为何值时，线段EF最长．                 5.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线顶点A的坐标为(﹣2，4)，且经过坐标原点，与x轴负半轴交于点B．(1)求抛物线的函数表达式并直接写出点B的坐标；(2)过点A作AC⊥x轴于点C，若点D是y轴左侧的抛物线上一个动点(点D与点A不重合)，过点D作DE⊥x轴于点E，连接AO，DO，当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，求点D的坐标；(3)在(2)的条件下，当点D在第二象限时，在平面内存在一条直线，这条直线与抛物线在第二象限交于点F，在第三象限交于点G，且点A，点B，点D，到直线FG的距离都相等，请直接写出线段FG的长．                6.如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣4交x轴于点A(﹣3，0)，B(4，0)，交y轴于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P为第一象限抛物线上一点，过点P作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，连接CG交x轴于点N，设点P的横坐标为t，ON的长为d，求d与t之间的函数解析式(不要求写出自变量t的取值范围)；(3)在(2)的条件下，连接PB，将线段PB绕着点P顺时针旋转90°得到线段PD，点D恰好落在y轴上，点E在线段OB上，连接PE，点Q在EB的延长线上，且EQ＝PE，连接DQ交PE于点F，若PE＝3PF，求QN的长．                 7.已知抛物线y＝mx2﹣2mx＋3(m＜0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且OB＝3OA．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若M、N是第一象限的抛物线上不同的两点，且△BCN的面积总小于△BCM的面积，求点M的坐标；(3)若D为抛物线的顶点，P为第二象限的抛物线上的一点，连接BP、DP，分别交y轴于点E、F，若EF＝OC，求点P的坐标．                8.在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣(x﹣1)2＋4与x轴交于A，B两点(A在B的右侧)，与y轴交于点C．(1)求直线CA的解析式；(2)如图，直线x＝m与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，DG⊥CA于点G，若E为GA的中点，求m的值．(3)直线y＝nx＋n与抛物线交于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，其中x1＜x2．若x2﹣x1＞3且y2﹣y1＞0，结合函数图象，探究n的取值范围．      
参考答案1.解：(1)∵直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴A(2，0)，B(0，﹣2m)；∵y＝﹣(x﹣m)2＋2，∴抛物线的顶点为D(m，2)，令x＝0，则y＝﹣m2＋2，∴C(0，﹣m2＋2)．①当m＝2时，﹣2m＝﹣4，﹣m2＋2＝﹣2，∴B(0，﹣4)，C(0，﹣2)，D(2，2)．②由上可知，直线AB的解析式为：y＝2x﹣4，抛物线的解析式为：y＝﹣x2＋4x﹣2．如图，过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，设点P的横坐标为t，∴P(t，﹣t2＋4t﹣2)，E(t，2t﹣4)．∴PE＝﹣t2＋4t﹣2﹣(2t﹣4)＝﹣t2＋2t＋2，∴△PAB的面积为：×(2﹣0)×(﹣t2＋2t＋2)＝﹣(t﹣1)2＋3，∵﹣1＜0，∴当t＝1时，△PAB的面积的最大值为3．此时P(1，1)．(2)由(1)可知，B(0，﹣2m)，C(0，﹣m2＋2)，①∵y轴上有一点M(0，m)，点C在线段MB上，∴需要分两种情况：当m≥﹣m2＋2≥﹣2m时，可得≤m≤1＋，当m≤﹣m2＋2≤﹣2m时，可得﹣3≤m≤1﹣，∴m的取值范围为：≤m≤1＋或﹣3≤m≤1﹣．②当≤m≤1＋时，∵BC＝﹣m2＋2﹣(﹣2m)＝﹣m2＋2m＋2＝﹣(m﹣1)2＋3，∴当m＝1时，BC的最大值为3；当m≤﹣m2＋2≤﹣2m时，即﹣3≤m≤1﹣，∴BC＝﹣2m﹣(﹣m2＋2)＝m2﹣2m﹣2＝(m﹣1)2﹣3，当m＝﹣3时，点M与点C重合，BC的最大值为13．∴当m＝1时，BC的最大值为3；当m＝﹣3时，BC的最大值为13．2.解：(1)当x＝0，y＝0＋2＝2，当y＝0时，x＋2＝0，解得x＝﹣2，∴A(﹣2，0)，B(0，2)，把A(﹣2，0)，C(1，0)，B(0，2)代入抛物线解析式，得，解得，∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x＋2；(2)方法一：ax2＋(b﹣1 )x＋c＞2，即﹣x2﹣2x＋2＞2，当函数y＝﹣x2﹣2x＋2＝2时，解得x＝0或x＝﹣2，由图象知，当﹣2＜x＜0时函数值大于2，∴不等式ax2＋(b﹣1 )x＋c＞2的解集为：﹣2＜x＜0；方法二：ax2＋(b﹣1 )x＋c＞2，即﹣x2﹣x＋2＞x＋2，观察函数图象可知当﹣2＜x＜0时y＝﹣x2﹣x＋2的函数值大于y＝x＋2的函数值，∴不等式ax2＋(b﹣1 )x＋c＞2的解集为：﹣2＜x＜0；(3)作PE⊥x轴于点E，交AB于点D，作PQ⊥AB于Q，①如图1，当P在AB上方时，在Rt△OAB中，∵OA＝OB＝2，∴∠OAB＝45°，∴∠PDQ＝∠ADE＝45°，在Rt△PDQ中，∠DPQ＝∠PDQ＝45°，∴PQ＝DQ＝，∴PD＝1，设点P(x，﹣x2﹣x＋2)，则点D(x，x＋2)，∴PD＝﹣x2﹣x＋2﹣(x＋2)＝﹣x2﹣2x，即﹣x2﹣2x＝1，解得x＝﹣1，∴此时P点的坐标为(﹣1，2)，②如图2，当P点在A点左侧时，同理①可得PD＝1，设点P(x，﹣x2﹣x＋2)，则点D(x，x＋2)，∴PD＝(x＋2)﹣(﹣x2﹣x＋2)＝x2＋2x，即x2＋2x＝1，解得x＝±﹣1，由图象知此时P点在第三象限，∴x＝﹣﹣1，∴此时P点的坐标为(﹣﹣1，﹣)，③如图3，当P点在B点右侧时，在Rt△OAB中，∵OA＝OB＝2，∴∠OAB＝45°，∴∠PDQ＝∠DPQ＝45°，在Rt△PDQ中，∠DPQ＝∠PDQ＝45°，∴PQ＝DQ＝，∴PD＝1，设点P(x，﹣x2﹣x＋2)，则点D(x，x＋2)，∴PD＝(x＋2)﹣(﹣x2﹣x＋2)＝x2＋2x，即x2＋2x＝1，解得x＝±﹣1，由图象知此时P点在第一象限，∴x＝﹣1，∴此时P点的坐标为(﹣1，)，综上，P点的坐标为(﹣1，2)或(﹣﹣1，﹣)或(﹣1，)．3.解：(1)由题意设二次函数表达式为：y＝a(x＋1)(x﹣3)，∴a(﹣3)＝﹣3，∴a＝1，∴y＝(x＋1)(x﹣3)＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4，∴D(1，﹣4)；(2)存在点E，使△ACE是直角三角形，过程如下：设点E(1，m)，∵A(﹣1，0)，C(0，﹣3)，∴AC2＝10，AE2＝4＋m2，CE2＝1＋(m＋3)2，当∠EAC＝90°时，AE2＋AC2＝CE2，∴14＋m2＝1＋(m＋3)2，∴m＝，∴E1(1，)，当∠ACE＝90°时，AC2＋CE2＝AE2，∴11＋(m＋3)2＝4＋m2，∴m＝﹣，∴E2(1，﹣)，当∠AEC＝90°时，AE2＋CE2＝AC2，∴5＋m2＋(m＋3)2＝10，∴m＝﹣1或﹣2，∴E3(1，﹣1)，E4(1，﹣2)，综上所述：点E(1，)或(1，﹣)或(1，﹣1)或(1，﹣2)；(3)设AD的中点为I，∵A(﹣1，0)，D(1，﹣4)，∴AD＝2，I(0，﹣2)，∴PA⊥PD，∴∠ADP＝90°，∴点P在以AD的中点I为圆心，为半径的圆上，∵BI＝，∴PB最小＝﹣．4.解：(1)由抛物线的顶点D的坐标(﹣1，4)可设其解析式为y＝a(x＋1)2＋4，将点C(﹣3，0)代入，得：4a＋4＝0，解得a＝﹣1，则抛物线解析式为y＝﹣(x＋1)2＋4＝﹣x2﹣2x＋3；(2)连接BC，交DH于点M，此时△ABM的周长最小，当y＝0时，﹣(x＋1)2＋4＝0，解得x＝﹣3或x＝1，则A(1，0)，C(﹣3，0)，当x＝0时，y＝3，则B(0，3)，设直线BC的解析式为y＝kx＋b，将B(0，3)，C(﹣3，0)代入得，解得：，∴直线BC解析式为y＝x＋3，当x＝﹣1时，y＝﹣1＋3＝2，所以点M坐标为(﹣1，2)；(3)由题意知E(m，﹣m2﹣2m＋3)，F(m，m＋3)，则EF＝EP﹣FP＝﹣m2﹣2m＋3﹣(m＋3)＝﹣m2﹣3m＝﹣(m＋)2＋，∴当m＝﹣时，线段EF最长．5.解：(1)∵抛物线顶点的坐标为(﹣2，4)，∴设抛物线解析式为y＝a(x＋2)2＋4(a≠0)，把点(0，0)代入得：0＝a(x＋2)2＋4．解得：a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣(x＋2)2＋4＝﹣x2﹣4x．令y﹣0，则﹣x2﹣4x＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝0，∴点B(﹣4，0)，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x．点B(﹣4，0)；(2)∵AC⊥x轴，点A (﹣2，4)，∴点C(﹣2，0)，∴OC＝2，AC＝4，∵∠ACO＝∠DEO＝90°，∴当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，∠AOC＝∠ODE或∠AOC＝∠DOE，设D(x，﹣x2﹣4x)，①当∠AOC＝∠ODE时，△AOC∽△ODE，如图：∵∠AOC＝∠ODE，∴tan∠AOC＝tan∠ODE，∴＝＝2，∴＝2，∴﹣x＝2(x2＋4x)或﹣x＝﹣2(x2＋4x)，∴x1＝0(舍去)，x2＝﹣或x3＝0(舍去)，x4＝﹣，∴点D的坐标为(﹣，﹣)或(﹣，)；②当∠AOC＝∠DOE时，△AOC∽△DOE，如图：∵∠AOC＝∠DOE，∴tan∠AOC＝tan∠DOE，∴＝＝2，∴＝2，∴﹣2x＝x2＋4x或2x＝x2＋4x，∴x1＝0(舍去)，x2＝﹣6或x3＝0(舍去)，x4＝﹣2(舍去)，∴点D的坐标为(﹣6，﹣12)；点D(﹣6，﹣12)；综上所述，当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，点D的坐标为(﹣6，﹣12)或(﹣，﹣)或(﹣，)；(3)∵在(2)的条件下，点D在第二象限，∴点D的坐标为(﹣，)，直线BD的解析式y＝kx＋m，∴，解得，∴直线BD的解析式y＝x＋14，直线BD与y轴交于(0，14)，∴过点A平行于BD的直线AM的解析式为y＝x＋11，交y轴于(0，11)，∵点A，点B，点D，到直线FG的距离都相等，∴直线FG的的解析式为y＝x＋12.5，联立得，解得，，∴F(﹣，)，G(﹣5，﹣5)，∴FG＝．6.解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx﹣4交x轴于点A(﹣3，0)，B(4，0)，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣4；(2)如图1，设P(t，t2﹣t﹣4)，∵抛物线的对称轴为直线x=，PG∥x轴，∴点G与点P是抛物线上的一对对称点，∴G(1﹣t，t2﹣t﹣4)，设PG与y轴交于点H，则H(0，t2﹣t﹣4)，在抛物线y=x2﹣x﹣4中，令x＝0，得y＝﹣4，∴C(0，﹣4)，∴OC＝4，又CH＝t2﹣t﹣4﹣(﹣4)＝t2﹣t，GH＝t﹣1，∵tan∠GCH＝＝，∴，解得：，∴d与t之间的函数解析式为d＝；(3)如图2，过点P作PT⊥x轴于点T，∵∠DPB＝∠PHO＝∠HOB＝∠PTO＝∠PHD＝90°，∴四边形PHOT为矩形，∴∠HPT＝90°，∴∠DPH＝∠BPT，∵PD＝PB，∴△PDH≌△PBT(AAS)，∴DH＝BT，PH＝PT，∴t2﹣t﹣4=t，解得：t1＝6，t2＝﹣2(舍)，∴P(6，6)，∴T(6，0)，∴DH＝BT＝2，ON＝d＝2，过点F作x轴的垂线，垂足为K，过点D作KF的垂线，垂足为R，KR与PH交于点M，∵PE＝3PF，∴EF＝2PF，∵cos∠PFM＝cos∠EFK，∴，∴FK＝2FM，∵∠MPT＝∠PTK＝∠TKM＝90°，∴四边形PMKT为矩形，∴MK＝PT＝6，∴FM＝2，FK＝4，同理四边形DHMR为矩形，∴DH＝RM＝2，RF＝FK＝4，∠R＝∠FKQ＝90°，∵∠DFR＝∠KFQ，∴△DRF≌△QKF(ASA)，∴DF＝QF，过点Q作QW∥PD，∴∠DPF＝∠QWF∵∠DFP＝∠WFQ，DF＝FQ，∴△DPF≌△QWF(AAS)，∴DP＝QW＝PB，PF＝WF，∴，过点Q作QZ⊥PE于点Z，∴∠EZQ＝∠PTE＝90°，∵∠PET＝∠QEZ，EP＝EQ，∴△EQZ≌△EPT(AAS)，∴PT＝QZ，EZ＝ET，∵QW＝PB，∴Rt△QWZ≌Rt△PBT(HL)，∴WZ＝BT，∴EW＝EB．设EB＝m，则EW＝WF＝FP＝m，∴EP＝3m，∵BT＝2，∴ET＝m＋2，PT＝6，在Rt△EPT中，∵PE2＝ET2＋PT2，∴(3m)2＝(m＋2)2＋62，解得：m1=，m2＝﹣2(舍)，∴BE=，∴BQ＝2BE＝5，∵OB＝4，∴OQ＝9，∵ON＝2，∴QN＝OQ＋ON＝11．7.解：(1)设A(x1，0)，B(x2，0)，∵OB＝3OA，∴x2＝﹣3x1，令y＝0，则mx2﹣2mx＋3＝0，∵x1与x2是方程的两根，∴x1＋x2＝2，又x2＝﹣3x1，∴x1＝﹣1，x2＝3，∴A(﹣1，0)，B(3，0)，将x＝﹣1代入到方程中得m＝﹣1，∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2＋2x＋3；(2)令x＝0，则y＝﹣x2＋2x＋3＝3，∴C(0，3)，设直线BC解析式为y＝kx＋3，代入点B的坐标得，k＝﹣1，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x＋3，设M(a，﹣a2＋2a＋3)，如图1，过M作MG∥y轴交直线BC于G点，则G(a，﹣a＋3)，∴MG＝﹣a2＋3a，∴S△MBC＝S△MGC＋S△MGB＝＝，当a＝时，△MBC面积最大，此时△BCN的面积总小于△BCM的面积，∴M(,)；(3)如图2，由(1)可得，OC＝3，∴EF＝OC=1，设P(t，﹣t2＋2t＋3)，∵B(3，0)，∴直线BP的解析式为y＝﹣(t＋1)(x﹣3)，∵y＝﹣(x﹣1)2＋4，∴D(1，4)，过D作y轴的平行线交直线BP于Q点，∴Q(1，2t＋2)，∴DQ＝2﹣2t，∵DQ∥y轴，∴△PEF∽△PQD，∴，∴，∴P()．8.解：(1)在y＝﹣(x﹣1)2＋4中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣1或3，∴A(3，0)，B(﹣1，0)，C(0，3)，设直线CA的解析式为y＝kx＋b，则，解得，∴直线CA的解析式为y＝﹣x＋3；(2)∵直线x＝m与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，∴D(m，﹣(m﹣1)2＋4)，且0＜m＜3，E(m，﹣m＋3)，F(m，0)，∴AF＝3﹣m，DE＝﹣(m﹣1)2＋4﹣(﹣m＋3)＝﹣m2＋3m，∵A(3，0)，C(0，3)，∴∠EAF＝45°，△EAF是等腰直角三角形，∴AE＝AF＝3﹣m，∠DEG＝∠AEF＝45°，∴△DEG是等腰直角三角形，∴DE＝GE，∵E为GA的中点，∴GE＝AE＝3﹣m，∴﹣m2＋3m＝(3﹣m)，解得m＝2或m＝3，∵m＝3时，D与A重合，舍去，∴m＝2；(3)由得或，①若3﹣n＞﹣1，即n＜4，如图：∵x2﹣x1＞3且y2﹣y1＞0，∴3﹣n﹣(﹣1)＞3，且﹣n2＋4n﹣0＞0，解得0＜n＜1；②若3﹣n＜﹣1，即n＞4，同理可得：﹣1﹣(3﹣n)＞3且0﹣(﹣n2＋4n)＞0，解得n＞7，综上所述，n的取值范围是0＜n＜1或n＞7．