2023年中考数学二轮复习《压轴题-等腰三角形问题》强化练习(含答案)

这是一份2023年中考数学二轮复习《压轴题-等腰三角形问题》强化练习(含答案)，共26页。试卷主要包含了如图，已知点)在抛物线C1等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学二轮复习《压轴题-等腰三角形问题》强化练习1.已知抛物线经过A(﹣1，0)、B(0，3)、C(3，0)三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．(1)求抛物线的表达式；(2)求证：∠BOF＝∠BDF；(3)是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．                2.如图，二次函数y＝﹣x2＋x＋4的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；(2)当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．                3.如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴相交于点C(0，﹣3)．(1)求这个二次函数的表达式；(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．①求线段PM的最大值；②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．                  4.如图，抛物线y＝2x2＋bx＋c过A(﹣1，0)、B(3，0)两点，交y轴于点C，连接BC．(1)求该抛物线的表达式和对称轴；(2)点D是抛物线对称轴上一动点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点D的坐标；(3)将抛物线在BC下方的图象沿BC折叠后与y轴交于点E，求点E的坐标；(4)若点N是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点M在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时，直接写出直线AN的关系式．                5.如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴的正半轴相交于点C(1，0)，点P为线段AB上的点，且点P的横坐标为m．(1)求抛物线的解析式和直线AB的解析式；(2)过P作y轴的平行线交抛物线于M，当△PBM是MP为腰的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)若顶点D在以PM、PB为邻边的平行四边形的形内(不含边界)，求m的取值范围．                  6.如图，已知点(0，)在抛物线C1：y＝x2＋bx＋c上，且该抛物线与x轴正半轴有且只有一个交点A，与y轴交于点B，点O为坐标原点．(1)求抛物线C1的解析式；(2)抛物线C1沿射线BA的方向平移个单位得到抛物线C2，如图2，抛物线C2与x轴交于C，D两点，与y轴交于点E，点M在抛物线C2上，且在线段ED的下方，作MN∥y轴交线段DE于点N，连接ON，记△EMD的面积为S1，△EON的面积为S2，求S1＋2S2的最大值；(3)如图3，在(2)的条件下，抛物线C2的对称轴与x轴交于点F，连接EF，点P在抛物线C2上且在对称轴的右侧，满足∠PEC＝∠EFO．①直接写出P点坐标；②是否在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得△PDH为等腰三角形，若存在，请直接写出H点的坐标；若不存在请说明理由．        7.如图1，抛物线y＝﹣x2＋bx＋3与y轴交于B点，与x轴交于A，C两点，直线BC的解析式为y＝﹣x＋m．(1)求m与b的值；(2)P是直线BC上方抛物线上一动点(不与点B，C重合)，连接AP交BC于点E，交OB于点F．①是否存在最大值？若存在，求出的最大值．并直接写出此时点E的坐标；若不存在，说明理由．②当△BEF为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．              8.如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(﹣3，0)两点，C是抛物线与y轴的交点，P是该抛物线上一动点．(1)求该抛物线的解析式；(2)在(1)中抛物线的对称轴上求一点M，使得△MAC是以AM为底的等腰三角形；求出点M的坐标．(3)设(1)中的抛物线顶点为D，对称轴与直线BC交于点E，过抛物线上的动点P作x轴的垂线交线段BC于点Q，使得D、E、P、Q四点组成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．      
参考答案1.解：(1)设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c，把A(﹣1，0)、B(0，3)、C(3，0)代入得：，解得，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2＋2x＋3；(2)证明：∵正方形OBDC，∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，∵BF＝BF，∴△BOF≌△BDF，∴∠BOF＝∠BDF；(3)解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，∴令y＝3，则3＝﹣x2＋2x＋3，解得：x1＝0，x2＝2，∴E(2，3)，①如图，当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，∴∠FDM为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴DF＝DM，∴∠M＝∠DFM，∴∠BDF＝∠M＋∠DFM＝2∠M，∵BM∥OC，∴∠M＝∠MOC，由(2)得∠BOF＝∠BDF，∴∠BDF＋∠MOC＝3∠M＝90°，∴∠M＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；②如图，当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴MF＝DM，∴∠BDF＝∠MFD，∴∠BMO＝∠BDF＋∠MFD＝2∠BDF，由(2)得∠BOF＝∠BDF，∴∠BMO＝2∠BOM，∴∠BOM＋∠BMO＝3∠BOM＝90°，∴∠BOM＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，综上所述，ME的值为：3﹣2或2﹣．2.解：(1)在y＝﹣x2＋x＋4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2，∴A(﹣2，0)，B(8，0)，C(0，4)，设直线BC解析式为y＝kx＋4，将B(8，0)代入得：8k＋4＝0，解得k＝﹣，∴直线BC解析式为y＝﹣x＋4；(2)过C作CG⊥PD于G，如图：设P(m，﹣m2＋m＋4)，∴PD＝﹣m2＋m＋4，∵∠COD＝∠PDO＝∠CGD＝90°，∴四边形CODG是矩形，∴DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，∴PG＝PD﹣DG＝﹣m2＋m＋4﹣4＝﹣m2＋m，∵CP＝CE，CG⊥PD，∴GE＝PG＝﹣m2＋m，∵∠GCE＝∠OBC，∠CGE＝90°＝∠BOC，∴△CGE∽△BOC，∴＝，即＝，解得m＝0(舍去)或m＝4，∴P(4，6)；(3)存在点P，使得CE＝FD，理由如下：过C作CH⊥PD于H，如图：设P(m，﹣m2＋m＋4)，由A(﹣2，0)，C(0，4)可得直线AC解析式为y＝2x＋4，根据PF∥AC，设直线PF解析式为y＝2x＋b，将P(m，﹣m2＋m＋4)代入得：﹣m2＋m＋4＝2m＋b，∴b＝﹣m2﹣m＋4，∴直线PF解析式为y＝2x﹣m2﹣m＋4，令x＝0得y＝﹣m2﹣m＋4，∴F(0，﹣m2﹣m＋4)，∴OF＝|﹣m2﹣m＋4|，同(2)可得四边形CODH是矩形，∴CH＝OD，∵CE＝FD，∴Rt△CHE≌Rt△DOF(HL)，∴∠HCE＝∠FDO，∵∠HCE＝∠CBO，∴∠FDO＝∠CBO，∴tan∠FDO＝tan∠CBO，∴＝，即＝，∴﹣m2﹣m＋4＝m或﹣m2﹣m＋4＝﹣m，解得m＝2﹣2或m＝﹣2﹣2或m＝4或m＝﹣4，∵P在第一象限，∴m＝2﹣2或m＝4．3.解：(1)将A，B，C代入函数解析式得，，解得，∴这个二次函数的表达式y＝x2﹣2x﹣3；(2)①设BC的解析式为y＝kx＋b，将B，C的坐标代入函数解析式得，，解得，∴BC的解析式为y＝x﹣3，设M(n，n﹣3)，P(n，n2﹣2n﹣3)，PM＝(n﹣3)﹣(n2﹣2n﹣3)＝﹣n2＋3n＝﹣(n﹣)2＋，当n＝时，PM最大＝，∴线段PM的最大值；②当PM＝PC时，(﹣n2＋3n)2＝n2＋(n2﹣2n﹣3＋3)2，解得n1＝n2＝0(不符合题意，舍)，n3＝2，n2﹣2n﹣3＝﹣3，P(2，﹣3)．当PM＝MC时，(﹣n2＋3n)2＝n2＋(n﹣3＋3)2，解得n1＝0(不符合题意，舍)，n2＝3﹣，n3＝3＋(不符合题意，舍)，n2﹣2n﹣3＝2﹣4，P(3﹣，2﹣4)．综上所述：P(3﹣，2﹣4)或(2，﹣3)．4.解：(1)∵抛物线y＝2x2＋bx＋c过A(﹣1，0)、B(3，0)两点，∴，解得：，∴该抛物线的表达式为y＝2x2﹣4x﹣6，∵x＝1，∴抛物线对称轴为直线x＝1；(2)设D(1，n)，∵抛物线y＝2x2﹣4x﹣6交y轴于点C，∴C(0，﹣6)，∵B(3，0)，∴BC2＝OB2＋OC2＝32＋62＝45，BD2＝(1﹣3)2＋(n﹣0)2＝n2＋4，CD2＝(0﹣1)2＋(﹣6﹣n)2＝n2＋12n＋37，当∠CBD＝90°时，则BC2＋BD2＝CD2，∴45＋n2＋4＝n2＋12n＋37，解得：n＝1，∴D(1，1)；当∠BCD＝90°时，则BC2＋CD2＝BD2，∴45＋n2＋12n＋37＝n2＋4，解得：n＝﹣，∴D(1，﹣)；∴所有符合条件的点D的坐标为(1，1)或(1，﹣)；(3)如图2，作△BCO关于直线BC对称的△BCG，CG交抛物线于点E′，S四边形BOCG＝2S△BCO＝2××3×6＝18，在Rt△BCO中，BC＝＝3，∵OG⊥BC，∴×BC×OG＝18，∴OG＝，∴GH＝OG•sin∠GOH＝OG•sin∠BCO＝，OH＝OG•cos∠GOH＝OG•cos∠BCO＝，∴G(，﹣)，设直线CG的解析式为y＝kx＋d，则，解得：，∴直线CG的解析式为y＝x﹣6，∴，解得：(不符合题意，舍去)，，∴E′(，﹣)，∵点E与点E′关于BC对称，∴CE＝CE′，∵CE′＝＝，∴﹣6＋＝﹣，∴E(0，﹣)；(4)在抛物线对称轴上取点R(1，2)，连接AR、BR，设对称轴交x轴于点S，则S(1，0)，∵tan∠RAS＝，∴∠RAS＝60°，∵AR＝BR，∴△ABR是等边三角形，①当点N在x轴上方时，点M在x轴上方，连接AN交对称轴于点L，连接BR，NR，AM，BL，如图3，∵△BMN，△BAR为等边三角形，∴BM＝BN，BA＝BR，∠MBN＝∠ABR＝60°，∴∠ABM＝∠RBN，∴△ABM≌△RBN(SAS)，∴AM＝RN，∵点M在抛物线对称轴上，∴AM＝BM，∴RN＝BM＝BN，∴AN垂直平分BR，∴LR＝LB＝LA，设L(1，m)，则LS＝m，AL＝BL＝RL＝2m，∴2m＋m＝2，解得：m＝，∴L(1，)，设直线AN的解析式为y＝k1x＋d1，则，解得：，∴直线AN的解析式为y＝x＋；②当点N在x轴下方时，点M在x轴下方，如图4，∵△BMN，△BAR为等边三角形，∴BM＝BN，BA＝BR，∠MBN＝∠ABR＝60°，∴∠ABN＝∠RBM，∴△BRM≌△BAN(SAS)，∴∠BAN＝∠BRM，∵AR＝BR，RS⊥AB，∴∠BRM＝∠ARB＝30°，∴BAN＝30°，设AN与y轴交于点Q，在Rt△AOQ中，OQ＝OA•tan∠BAN＝OA•tan30°＝1×＝，∴Q(0，﹣)，设直线AN的解析式为y＝k2＋d2，则，解得：，∴直线AN的解析式为y＝﹣x﹣．综上所述，直线AN的解析式为y＝x＋或y＝﹣x﹣．5.解：(1)∵直线y＝kx＋3交y轴于点B，∴B(0，3)，∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点B(0，3)，点C(1，0)，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x＋3，令y＝0，得﹣x2﹣2x＋3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴A(﹣3，0)，把点A的坐标代入y＝kx＋3，得﹣3k＋3＝0，解得：k＝1，∴直线AB的解析式为y＝x＋3；(2)∵点P为线段AB上的点，且点P的横坐标为m，∴P(m，m＋3)，且﹣3≤m≤0，∵过P作y轴的平行线交抛物线于M，∴M(m，﹣m2﹣2m＋3)，∴PM＝﹣m2﹣2m＋3﹣(m＋3)＝﹣m2﹣3m，∵PB2＝(m﹣0)2＋(m＋3﹣3)2＝2m2，且﹣3≤m≤0，∴PB＝﹣m，∵△PBM是MP为腰的等腰三角形，B(0，3)，∴MP＝PB或MP＝MB，∵OA＝OB＝3，∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠ABO＝45°，∵PM∥OB，∴∠BPM＝45°，①当MP＝PB时，∴﹣m2﹣3m＝﹣m，解得：m＝0(舍去)或m＝﹣3＋，∴P(﹣3＋，)；②当MP＝MB时，则∠PBM＝∠BPM＝45°，∴∠BMP＝90°，∴BM∥x轴，即点M的纵坐标为3，∴﹣m2﹣2m＋3＝3，解得：m1＝0(舍去)，m2＝﹣2，∴P(﹣2，1)，综上所述，点P的坐标为(﹣3＋，)或(﹣2，1)；(3)∵y＝﹣x2﹣2x＋3＝﹣(x＋1)2＋4，∴抛物线的顶点D(﹣1，4)，设经过点D(﹣1，4)且平行直线AB的直线DG的解析式为y＝x＋n，如图2，则﹣1＋n＝4，解得：n＝5，∴y＝x＋5，联立，得x＋5＝﹣x2﹣2x＋3，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2，∴点G的横坐标为﹣2，∵顶点D在以PM、PB为邻边的平行四边形的形内(不含边界)，∴点M必须在直线DG上方的抛物线上运动，∴m的取值范围为：﹣2＜m＜﹣1．   6.解：(1)∵点(0,)在抛物线C1：y＝x2＋bx＋c上，∴c＝．∵该抛物线与x轴正半轴有且只有一个交点A，∴b＜0，b2﹣4××＝0．∴b＝﹣．∴抛物线C1的解析式为y＝x2﹣x＋．(2)∵y＝＝x2﹣x＋＝(x﹣1)2，又∵抛物线C1沿射线BA的方向平移个单位得到抛物线C2，∴抛物线C2的解析式为y＝(x﹣1)2﹣＝x2﹣x＋2，令x＝0，则y＝2，∴E(0，2)．∴OE＝2．令y＝0，则x2﹣x＋2＝0，解得：x＝1或3，∴C(1，0)，D(3，0)．∴OC＝1，OD＝3，∴CD＝2．∵点M在抛物线C2上，∴设M(m，m2﹣m＋2)，设直线ED的解析式为y＝kx＋n，∴，解得：，∴直线ED的解析式为y＝﹣x＋2．∵MN∥y轴交线段DE于点N，∴N(m，﹣m＋2)，∵点M在线段ED的下方，∴MN＝﹣x＋2﹣(m2﹣m＋2)＝﹣m2＋2m，∵S△EMD＝S△EMN＋S△DMN＝×MN•OD＝﹣m2＋3m，S△EON=OE×m＝m，∴S1＋2S2＝﹣m2＋2m＋2m＝﹣m2＋4m＝﹣(m﹣2)2＋4，∵﹣1＜0，∴当m＝2时，S1＋2S2有最大值4；(3)①点P的坐标为(，)，理由：设直线EP与x轴交于点G，如图，∵抛物线C2的解析式为y＝(x﹣1)2﹣，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∴F(2，0)．∴OF＝2．∵OC＝1，∴CF＝OF﹣OC＝1．EC＝＝，∵∠PEC＝∠EFO，∠PEC＝∠PEF＋∠CEF，∠EFO＝∠PEF＋∠G，∴∠CEF＝∠G．∵∠ECF＝∠GCE，∴△ECF∽△GCE，∴．∴CE2＝CF•CG，∴CG＝5，∴OG＝OC＋CG＝6，∴G(6，0)．设直线EG的解析式为y＝ax＋2，∴6a＋2＝0，∴a＝﹣．∴直线EG的解析式为y＝﹣x＋2，∴，解得：或，∴P(，)；②在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得△PDH为等腰三角形，理由：过点P作PG⊥抛物线对称轴与点G，PH⊥x轴于点H，连接PD，如图，∵P(，)，∴OK＝，PK＝，∴DK＝OK﹣OD＝，PG＝KF＝OK﹣OF＝，∴DP＝＝＜1，∵DF＝1，∴抛物线C2的对称轴上不存在点H，使得HD＝DP，HP＝PD；当HP＝HD时，设H(2，h)，则HF＝h，过点P作PG⊥抛物线对称轴与点G，如图，则PG＝KF＝OK﹣OF＝，GF＝，∵HP＝HD，∴＝．∴12＋h2＝＋，解得：h＝，∴H(2，)．综上，在抛物线C2的对称轴上存在点H，使得△PDH为等腰三角形，点H的坐标为(2，)．7.解：(1)∵物线y＝﹣x2＋bx＋3与y轴交于B点，当x＝0时，y＝3，∴B(0，3)，∵直线BC的解析式为y＝﹣x＋m，∴m＝3，即直线BC的解析式为y＝﹣x＋3，当y＝0时，﹣x＋3＝0，解得x＝4，∴C(4，0)，把C点坐标代入二次函数解析式得﹣×42＋b×4＋3＝0，解得b＝；(2)①存在最大值，理由如下：过点P作PG∥x轴交BC于点G，由(1)得，抛物线的解析式为y＝﹣x2＋x＋3，当y＝0时，﹣x2＋x＋3＝0，解得x＝﹣2或4，∴A(﹣2，0)，B(4，0)，∴OA＝2，OC＝4，AC＝6，∵P是直线BC上方抛物线上的动点(不与点B，点C重合)，设P(n，﹣n2＋n＋3)，且0＜n＜4，∴G点的纵坐标为﹣n2＋n＋3，又∵G点在直线BC上，∴G(n2﹣n，﹣n2＋n＋3)，∴PG＝n﹣(n2﹣n)＝﹣n2＋2n，∵PG∥x轴，∴△PEG∽△AEC，∴＝＝﹣(n﹣2)2＋，∵﹣(n﹣2)2≤0，∴﹣(n﹣2)2＋≤，即当n＝2时，，此时P(2，3)，设直线AP的解析式为y＝kx＋t，代入A点和P点的坐标得，解得，∴直线AP的解析式为y＝x＋，联立方程组，解得，∴E(1，)，即存在最大值，且的最大值为，此时E点的坐标为(1，)；②过点E作EM⊥y轴于点M，则∠BME＝∠FME＝90°，∵P是直线BC上方抛物线上的一点(不与点B，点C重合)，设P(p，﹣p2＋p＋3)，且0＜p＜4，设直线AP的解析式为y＝sx＋h，把A(﹣2，0)，P(p，﹣p2＋p＋3)代入解析式得，，解得，∴直线AP的解析式为y＝，令x＝0时，y＝，∴F(0，)，∴OF＝，∵B(0，3)，∴OB＝3，∴BF＝3﹣＝，联立方程组，解得，∴E(，)，∵EM⊥y轴，∴EM＝，OM＝，∴MF＝OM﹣OF＝﹣＝，BM＝OB﹣OM＝3﹣＝，在Rt△MBE和Rt△FME中，根据勾股定理得，BE2＝BM2＋EM2＝()2＋()2，EF2＝MF2＋EM2＝()2＋()2，若△BEF为等腰三角形，则分以下三种情况：(Ⅰ)当BE＝BF时，则BE2＝BF2，即()2＋()2＝()2，解得p＝或p＝(不符合题意，舍去)，此时P(，)；(Ⅱ)当BE＝EF时，则BE2＝EF2，即()2＋()2＝()2＋()2，解得p＝2，此时P(2，3)；(Ⅲ)当BF＝EF时，则BF2＝EF2，即()2＝()2＋()2，解得p＝，此时P(，)；综上，符合条件的P点坐标为(，)或(2，3)或(，)．8.解：(1)将A(1，0)，B(﹣3，0)代入y＝﹣x2＋bx＋c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣2x＋3；(2)∵y＝﹣x2﹣2x＋3＝﹣(x＋1)2＋4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，令x＝0，则y＝3，∴C(0，3)，设M(﹣1，m)，∵△MAC是以AM为底的等腰三角形，∴CM＝CA，∴1＋(m﹣3)2＝1＋9，解得m＝0或m＝6(舍)，∴M(﹣1，0)；(3)存在P点，使得D、E、P、Q四点组成的四边形是平行四边形，理由如下：由(2)知D(﹣1，4)，设直线BC的解析式为y＝kx＋b，∴，解得，∴y＝x＋3，∴E(﹣1，2)，设P(t，﹣t2﹣2t＋3)，Q(t，t＋3)(﹣3≤t≤0)，①当DE为平行四边形的对角线时，，∴t＝﹣1，∴P(﹣1，4)(舍)；②当DP为平行四边形的对角线时，4﹣t2﹣2t＋3＝2＋t＋3，解得t＝(舍)；③当DQ为平行四边形的对角线时，4＋t＋3＝2﹣t2﹣2t＋3，解得t＝﹣1(舍)或t＝﹣2，∴P(﹣2，3)；综上所述：P点坐标为(﹣2，3)．