专题9.7菱形的性质专项提升训练（重难点 ）- 2022-2023学年八年级数学下册 必刷题【苏科版】

2022-2023学年八年级数学下册 必刷题【苏科版】

专题9.7菱形的性质专项提升训练（重难点培优）

班级：___________________   姓名：_________________   得分：_______________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）菱形具有矩形不一定具有的性质是（    ）

A．中心对称图形 B．对角相等 C．对边平行 D．对角线互相垂直

【答案】D

【分析】直接根据中心对称图形的定义（把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形）、菱形的性质、矩形的性质逐项判断即可得．

【详解】解：A、菱形和矩形都是中心对称图形，则此项不符合题意；

B、菱形和矩形都具有对角相等的性质，则此项不符合题意；

C、菱形和矩形都具有对边平行的性质，则此项不符合题意；

D、菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不一定互相垂直，则此项符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、中心对称图形，熟练掌握菱形和矩形的性质是解题关键．

2．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州市振华中学校校考期中）在菱形中，若，则是（    ）

A．60 B．20 C．80 D．100

【答案】C

【分析】根据菱形的性质可直接进行求解．

【详解】解：∵四边形是菱形，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

故选C．

【点睛】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．

3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，已知E为邻边相等的平行四边形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80º，那么∠CDE的度数为（    ）

A．20º B．25º C．30º D．35º

【答案】C

【分析】依题意得出AE=AB=AD，∠ADE=50°，又因为∠B=80°故可推出∠ADC=80°，∠CDE=∠ADC-∠ADE，从而求解．

【详解】∵ADBC，

∴∠AEB=∠DAE=∠B=80°，

∴AE=AB=AD，

在三角形AED中，AE=AD，∠DAE=80°，

∴∠ADE=50°，

又∵∠B=80°，

∴∠ADC=80°，

∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°．

故选：C．

【点睛】考查菱形的边的性质，同时综合利用三角形的内角和及等腰三角形的性质，解题关键是利用等腰三角形的性质求得∠ADE的度数．

4．（2022秋·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在菱形中，，AB的垂直平分线交对角线AC于点E，交AB于点F，连接DE，则等于（    ）

A．80° B．70° C．65° D．60°

【答案】D

【分析】连接，先根据菱形的性质可得，垂直平分，根据平行线的性质、线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据角的和差即可得．

【详解】解：如图，连接，

四边形是菱形，且，

，垂直平分，

，

垂直平分，

，

，

，

，

故选：D．

【点睛】本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键．

5．（2022秋·江苏泰州·八年级校联考期中）如图，等边的边长与菱形的边长相等，点、分别在边、上，则∠的度数是（     ）

A．60° B．70° C．75° D．80°

【答案】D

【分析】根据等边的边长与菱形的边长相等，可以得到AB=AE，AD=AF，则∠BAE=180°-2∠B，∠DAF=180°-2∠D，再根据菱形的性质得，∠B=∠D，根据平行线的性质得：∠BAD+∠B =180°，即：∠BAE+∠EAF+∠DAF+∠B =180°，代入即可求解．

【详解】解：∵等边的边长与菱形ABCD的边长相等，

∴AB=AE，AD=AF，

∴∠BAE=180°-2∠B，∠DAF=180°-2∠D，

∵在菱形ABCD中，∠B=∠D，AD∥BC，

∴∠BAD+∠B =180°，又∵∠EAF=60°，

∴∠BAE+∠EAF+∠DAF+∠B =180°，

∴180°-2∠B+60°+180°-2∠D+∠B=180°，

整理得，3∠B=240°，

解得∠B=80°．

故选：D．

【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，根据菱形的邻角互补列出方程是解题的关键．

6．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，将绕着点C旋转180°得到，若AC=2，＝5，则菱形ABCD的边长是（　　）

A．3 B．4 C． D．

【答案】D

【分析】连接，根据菱形的性质、旋转的性质，得到，，根据=5，利用勾股定理计算，再次利用勾股定理计算即可．

【详解】解：连接，如图：

∵四边形ABCD是菱形，且BOC绕着点C旋转180°得到，且AC=2，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

即菱形ABCD的边长是，

故选：D．

【点睛】本题考查了菱形的性质、旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的基本形式并灵活运用勾股定理是解决本题的关键．

7．（2022秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，菱形的对角线、交于点，，，将绕着点旋转得到，则点与点之间的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据菱形的对角线、交于点，，，可得，所以，根据绕着点旋转得到，所以，，，再根据勾股定理即可求出点与点之间的距离．

【详解】解：菱形的对角线、交于点，，，

，

，

绕着点旋转得到，

，

，

，

，

在中，根据勾股定理，得：

．

则点与点之间的距离为．

故选：C．

【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，解决本题的关键是掌握旋转的性质．

8．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图1，点Q为菱形ABCD的边BC上一点，将菱形 ABCD沿直线AQ 翻折，点B的对应点P落在BC的延长线上.已知动点M从点B出发，在射线 BC上以每秒1个单位长度运动.设点M运动的时间为x，△APM的面积为y．图2为y关于x的函数图象，则菱形 ABCD的面积为（   ）

A．12 B．24 C．10 D．20

【答案】D

【分析】由图2，可知BP=6，S△ABP=12，由图1翻折可知，AQ⊥BP，进而得出AQ=4，由勾股定理，可知BC=AB=5，菱形 ABCD的面积为BC×AQ即可求出.

【详解】解：由图2，得BP=6，S△ABP=12

∴AQ=4

由翻折可知，AQ⊥BP

由勾股定理，得BC=AB==5

∴菱形 ABCD的面积为BC×AQ=5×4=20

故选：D

【点睛】本题是一道几何变换综合题，解决本题主要用到勾股定理，翻折的性质，根据函数图象找出几何图形中的对应关系是解决本题的关键.

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上

9．（2022春·福建三明·九年级三明市列东中学校考阶段练习）菱形的对角线长分别为6和8，则该菱形的面积是 _____．

【答案】24

【分析】由菱形的面积公式即可求解．

【详解】解：菱形的面积，

故答案为：24．

【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．

10．（2021·四川眉山·校考模拟预测）如图，菱形中，已知，则的大小是____________．

【答案】##140度

【分析】根据菱形的对角线平分一组对角，以及邻角互补，即可得解．

【详解】解：∵菱形中，，

∴，

∴；

故答案为：．

【点睛】本题考查菱形的性质．熟练掌握菱形的对角线平分一组对角，是解题的关键．

11．（2022春·山东枣庄·九年级校考阶段练习）如图，菱形的对角线，相交于点，，，则菱形的周长为____．

【答案】

【分析】根据菱形的性质，对角线相互垂直且相互平分，则有直角三角形中，由此即可求解．

【详解】解：∵菱形的对角线，交于点，

∴，，

在中，，

∴菱形的周长为，

故答案是：．

【点睛】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．

12．（2022春·山东济南·九年级校考阶段练习）如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接．若，则线段的长为____________．

【答案】

【分析】根据菱形的性质可得，，由勾股定理可得，从而得到，再由勾股定理求出，然后根据三角形中位线定理，即可求解．

【详解】解：∵四边形是菱形，

∴，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵点F为的中点，

∴．

故答案为：

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理是解题的关键．

13．（2022春·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在边长为6的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为________

【答案】

【分析】连接，根据题意得出就是所求的的最小值的线段，根据等边三角形的性质，结合，得出为等边三角形，根据E为的中点，得出，根据勾股定理，计算出即可．

【详解】∵在菱形中，与互相垂直平分，

∴点B、D关于对称，

连接，则，

则就是所求的的最小值的线段，

∵E为的中点，，

∴，，

∴，

∴，

∴的最小值为3．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，根据题意得出ED就是所求的的最小值的线段，是解题的关键．

14．（2022春·四川成都·九年级成都七中校考阶段练习）我们规定菱形与正方形接近程度称为“接近度”，设菱形相邻两个内角的度数分别为，，将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形越接近正方形．

①若菱形的一个内角为，则该菱形的“接近度”为___________；

②当菱形的“接近度”等于___________时，菱形是正方形．

【答案】         

【分析】由菱形的性质可得出，即可求出，再根据“接近度”的定义求解即可；由正方形的判定可得出当时，菱形是正方形，从而得出当时，菱形是正方形．

【详解】菱形相邻两个内角的度数和为，

，即，

解得：

该菱形的“接近度”为；

∵四个角都为直角的菱形是正方形，

当时，菱形是正方形，

时，菱形是正方形．

故答案为：20，0．

【点睛】本题考查菱形的性质，正方形的判定，对新定义的理解．读懂题意，理解“接近度”是解题关键．

15．（2022春·广东深圳·九年级深圳市宝安中学（集团）校考期末）如图，菱形中，点是边的中点，垂直交的延长线于点，若，，则菱形的边长是________________．

【答案】4

【分析】过C作延长线于M，根据设，由菱形的性质表示出，，根据勾股定理列方程计算即可．

【详解】过C作延长线于M，

∵

∴设

∵点E是边的中点

∴

∵菱形

∴，

∵⊥，CM⊥AB

∴四边形是矩形

∴，

∴

在中，

∴，

解得或（舍去）

∴

故答案为：4．

【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用．

16．（2022春·福建福州·九年级统考期中）如图，在边长为2的菱形中，，点是边的中点，点是菱形内一动点，且满足，连接，则的最小值为______．

【答案】

【分析】过点作交的延长线于点，根据菱形的性质以及直角三角形的性质求出，当点运动到线段上的点时，取得最小值，进一步求解即可．

【详解】过点作交的延长线于点，如图所示：

∵四边形是菱形，，

∴，

∴，

∴，

∵点是边的中点，

∴，

∴，

根据勾股定理，得：，

∵，

∴，

根据勾股定理，得：，

∵，

当点运动到线段上的点时，取得最小值，

，

∴的最小值为，

故答案为：．

【点睛】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、线段最短问题，解题的关键是利用所学知识点求出．

三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（2022秋·新疆省直辖县级单位·八年级校联考期末）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，∠BAD＝60°，菱形ABCD的周长为24．

(1)求对角线BD的长；

(2)求菱形ABCD的面积．

【答案】(1)6

(2)

【分析】（1）由菱形的性质知AB=AD，又∠BAD＝60°，可知是等边三角形，推出，即可求解；

（2）由菱形的对角线互相垂直且平分，求出OB，利用勾股定理由出AO，进而求出AC，根据菱形面积为对角线乘积的一半，即可求解．

（1）

解：菱形ABCD的周长为24，

，

又∠BAD＝60°，

是等边三角形，

，

故对角线BD的长为6；

（2）

解：由菱形的性质可知，对角线AC与BD互相垂直且平分，

，，

又 ，

，

，

菱形ABCD的面积，

故菱形ABCD的面积是．

【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的面积公式，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．

18．（2021春·陕西西安·九年级西安市第六中学校考期中）如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，BE⊥AD，垂足为E．当菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6时，求BE的长．

【答案】

【分析】先求出菱形的面积和边长，再求高BE即可．

【详解】解：∵菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，AC＝8，BD＝6，

∴∠AOB=90°，AO＝4，BO＝3，

，

菱形的面积为，

∴，

．

【点睛】本题考查了菱形的性质，解题关键根据菱形对角线互相垂直求出边长和面积，利用等积法求出高．

19．（2020春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A，B，C，D均在小正方形的顶点上．

(1)在方格纸中画以AB为一边的菱形ABEF，点E，F在小正方形的顶点上，且菱形ABEF的面积为3；

(2)在方格纸中画以CD为一边的等腰，点G在小正方形的顶点上，连接EG，使，并直接写出线段EG的长．

【答案】(1)见解析

(2)图见解析，．

【分析】（1）根据题意、菱形的四边相等，菱形面积公式画图对角线BF=，即可；

（2）根据等腰直角的性质和题意画图即可．

(1)

解：如图所示：

(2)

解：如图所示：

．

【点睛】本题考查的是设计作图、菱形的性质，勾股定理的应用，正确理解题意和菱形的性质是解题的关键．

20．（2021春·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，在菱形中，、分别为边和上的点，且．连接、交于点．求证：．

【答案】证明见解析．

【分析】先证△DAF≌△DCE，再证△AEG≌△CFG，最后证△DGE≌△DGF，根据全等三角形的性质即可得到∠DGE＝∠DGF．

【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴DA＝DC＝AB＝BC，

∵AE＝CF，

∴DE＝DF

在△DAF和△DCE中，

，

∴△DAF≌△DCE（SAS），

∴∠EAG＝∠FCG，

在△AEG和△CFG中，

，

∴△AEG≌△CFG（AAS），

∴EG＝FG，

在△DGE和△DGF中，

，

∴△DGE≌△DGF（SSS），

∴∠DGE＝∠DGF．

【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

21．（2022春·安徽合肥·九年级合肥市第四十五中学校考期中）如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点E．求证：

（1）APB≌APD；

（2）PD2＝PE•PF．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）由菱形的性质可得AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，由“SAS”可证△ABP≌△ADP；

（2）由全等三角形的性质可得PB＝PD，∠ADP＝∠ABP，通过证明△EPB∽△BPF，可得，可得结论．

【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，

在△ABP和△ADP中，

，

∴△ABP≌△ADP（SAS）；

（2）∵△ABP≌△ADP，

∴PB＝PD，∠ADP＝∠ABP，

∵ADBC，

∴∠ADP＝∠E，

∴∠E＝∠ABP，

又∵∠FPB＝∠EPB，

∴△EPB∽△BPF，

∴，

∴PB2＝PE•PF，

∴PD2＝PE•PF．

【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等与相似的判定方法．

22．（2022春·江西九江·九年级统考期末）如图，菱形中，与交于点，， ．

(1)求证：四边形是矩形；

(2)连接，交于点，连接，若，求长．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据菱形的性质，得到，，再根据等量代换，得出，再根据矩形的判定定理，即可得到结论；

（2）根据直角三角形的性质，得到，进而得出，再根据勾股定理，计算即可得到答案．

【详解】（1）证明：∵四边形为菱形，

∴， ，

∴，

∵， ，

∴，

∴四边形为平行四边形，

又∵，

∴四边形是矩形；

（2）解：由（1）得：四边形是矩形，

∴，，

∵是中点，

∴为中点，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键．

23．（2022·吉林长春·校联考模拟预测）【教材呈现】

在华师版八年级下册数学教材第111页学习了以下内容：菱形的对角线互相垂直．

【结论运用】

(1)如图①，菱形的对角线与相交于点，，，则菱形的面积是 　　；

(2)如图②，四边形是平行四边形，点在上，四边形是菱形，连接、、，求证：；

(3)如图③，四边形是菱形，点在上，四边形是菱形，连接，若，则　　度．

【答案】(1)24

(2)见解析

(3)30

【分析】（1）由菱形的性质可得，，，由勾股定理可求，由菱形的面积公式可以求解；

（2）先证四边形是平行四边形，可得，由线段垂直平分线的性质可得结论；

（3）先证，可得，由等腰三角形的性质和外角的性质可求解．

【详解】（1）解：四边形是菱形，

，，，

，，

，，

，

菱形的面积，

故答案为：24；

（2）证明：如图，连接，交于，

四边形是平行四边形，

，，

四边形是菱形，

，，，，

，，垂直平分，

四边形是平行四边形，，

，

；

（3）解：四边形是菱形，四边形是菱形，

，，，

，，，

，

，

，

，

，

，

，

故答案为：30．

【点睛】本题考查四边形综合题，考查菱形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

24．（2022春·辽宁沈阳·九年级统考期中）已知，菱形中，，，线段，分别与，两边相交，且．

(1)如图1，设线段，分别交，两边于点，，连接，当时，请直接写出的长；

(2)将绕着顶点旋转，射线，交于点．

①如图2，连接，，若，求出，，之间的数量关系；

②旋转过程中，四边形的面积是否有最大值，如果有，请直接写出最大值；如果没有，请说明理由．

【答案】(1)

(2)①，理由见详解；②四边形的面积有最大值，最大值为

【分析】（1）四边形是菱形，，，易证，可知是等边三角形，，，由此即可求解；

（2）①将绕着顶点旋转，根据旋转的性质可证，，，从而得出，由此即可求解；②旋转过程中，判断四边形的面积何时为最大值即可，如图所示（见相机），连接，过点作于点，则可求出，四边形的面积，当的面积最大时，四边形的面积最大，由此找出的面积最大即可，当时，由，为边组成正方形时，的面积最大，且的最大面积，由此即可求解．

【详解】（1）解：∵四边形是菱形，

∴，，

∵，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∵，

∴是等边三角形，

∴，

∵，，

∴，

∴．

（2）解：①，理由如下，

如图所示，连接，，

∵四边形是菱形，

∴，，

∵，

∴，

∴是等边三角形，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

在和中，

，

∴，

∴，

∵，

∴，

同理，

∴，

∵，

∴，

∴，，

设，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴；

②如图所示，连接，过点作于点，

∵，，

∴是等边三角形，

∴，

∴，

∴，

∵四边形的面积，

∴当的面积最大时，四边形的面积最大，

∵，

∴当时，即由，为边组成正方形时，的面积最大，

∵是由，为边组成正方形的对角线，

∴正方形面积为，

∴的最大面积，

∴四边形的面积．

∴四边形的面积有最大值，最大值为．

【点睛】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的性质，图形旋转的性质的综合运用，掌握根据菱形的性质，等边三角形的性质以及旋转的性质找出角与角，线段与线段的关系是解题的关键．