2023年人教版数学八年级下册期末复习《一次函数综合题》专项复习(含答案)

2023年人教版数学八年级下册期末复习

《一次函数综合题》专项复习

1.在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如，图中过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是和谐点．

(1)判断点M(1，2)，N(4，4)是否为和谐点，并说明理由；

(2)若和谐点P(a，3)在直线y＝－x＋b(b为常数)上，求点a，b的值．

2.阅读以下材料：

对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数.例如：

M{－1，2，3}＝＝；min{－1，2，3}＝－1；min{－1，2，a}＝

解决下列问题：

(1)填空：如果min{2，2x＋2，4－2x}＝2，则x的取值范围为_______________；

(2)如果M{2，x＋1，2x}＝min{2，x＋1，2x}，求x.

3.小慧根据学习函数的经验，对函数y＝|x－1|的图象与性质进行了探究.下面是小慧的探究过程，请补充完整：

(1)函数y＝|x－1|的自变量x的取值范围是____________；

(2)列表，找出y与x的几组对应值.

其中，b＝________；

(3)在如图所示的平面直角坐标系xOy中，描出上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；

(4)写出该函数的一条性质：____________________.

4.已知一次函数y=2x﹣4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，点P在该函数的图象上，P到x轴、y轴的距离分别为d1、d2.

(1)当P为线段AB的中点时，求d1＋d2的值；

(2)直接写出d1＋d2的范围，并求当d1＋d2=3时点P的坐标；

(3)若在线段AB上存在无数个P点，使d1＋ad2=4(a为常数)，求a的值.

5.对于长方形OABC，O为平面直角坐标系的原点，A点在x轴的负半轴上，C点在y轴的正半轴上，点B(m,n)在第二象限.且m,n满足.

(1)求点B的坐标；并在图上画出长方形OABC；

(2)在画出的图形中，若过点B的直线BP与长方形OABC的边交于点P，且将长方形OABC的面积分为1：4两部分，求点P的坐标.

6.如图,正方形ABCD的边长为4,将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB边落在x轴的正半轴上,且A点的坐标是(1,0).

(1)直线y=x－经过点C,且与x轴交与点E，求四边形AECD的面积；

(2)若直线l经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；

(3)若直线l1经过点F(－,0)且与直线y=3x平行,将(2)中直线l沿着y轴向上平移个单位后,交x轴于点M，交直线l1于点N，求△FMN的面积.

7.正方形OABC的边长为2，其中OA、OC分别在x轴和y轴上，如图1所示，直线l经过A、C两点．

(1)若点P是直线l上的一点，当△OPA的面积是3时，请求出点P的坐标；

(2)如图2，直角坐标系内有一点D(﹣1，2)，点E是直线l上的一个动点，请求出|BE＋DE|的最小值和此时点E的坐标．

(3)若点D关于x轴对称，对称到x轴下方，直接写出|BE﹣DE|的最大值，并写出此时点E的坐标．

8.已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(－1,－5),且与正比例函数y=x的图象相交于点B(2,a).

⑴求一次函数y=kx+b的表达式；

⑵在同一坐标系中，画出这两个函数的图象，并求这两条直线与y轴围成的三角形的面积.

(3)设一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点是C，若点D与点 O、B、C能构成平行四边形，请直接写出点D的坐标.

9.如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，M点在边AC上，且CM=2，过M点作AC的垂线交AB边于E点，动点P从点A出发沿AC边向M点运动，速度为1个单位/秒，当动点P到达M点时，运动停止.连接EP、EC，设运动时间为t.在此过程中

(1)当t=1时，求EP的长度；

(2)设△EPC的面积为s，试求s与t的函数关系式并写出自变量的取值范围；

(3)当t为何值时，△EPC是等腰三角形？

(4)如图2，若点N是线段ME上一点，且MN=3，点Q是线段AE上一动点，连接PQ、PN、NQ得到△PQN，请直接写出△PQN周长的最小值.

10.如图1，在长方形ABCD中，AB=12cm，BC=10cm，点P从A出发，沿A→B→C→D的路线运动，到D停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A路线运动，到A点停止.若P、Q两点同时出发，速度分别为每秒lcm、2cm，a秒时P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒2cm、cm(P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止)，如图2是△APD的面积s(cm2)和运动时间x(秒)的图象.

(1)求出a值；

(2)设点P已行的路程为y1(cm)，点Q还剩的路程为y2(cm)，请分别求出改变速度后，y1、y2和运动时间x(秒)的关系式；

(3)求P、Q两点都在BC边上，x为何值时P、Q两点相距3cm？

11.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点(不与原O重合)，以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ.

(1)求点B的坐标；

(2)在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由.

(3)连接OQ，当OQ∥AB时，求P点的坐标.

12.如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x+6与x轴交于A，与y轴交于B，BC⊥AB交x轴于C.

(1)求△ABC的面积.

(2)如图2，②D为OA延长线上一动点，以BD为直角边做等腰直角三角形BDE，连结EA.求直线EA的解析式.

(3)点E是y轴正半轴上一点，且∠OAE=30°，OF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段AO上一动点，是判断是否存在这样的点M、N，使得OM+NM的值最小，若存在，请写出其最小值，并加以说明.

13.如图1，在平面直角坐标系中，A(﹣3，0)，B(2，0)，C为y轴正半轴上一点，且BC=4.

(1)求∠OBC的度数；

(2)如图2，点P从点A出发，沿射线AB方向运动，同时点Q在边BC上从点B向点C运动，在运动过程中：

①若点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，已知△PQB是直角三角形，求t的值；

②若点P，Q的运动路程分别是a，b，已知△PQB是等腰三角形时，求a与b满足的数量关系.

14.如图，直线y=﹣x+分别交x轴、y轴于A、B两点，经过点A的直线m⊥x轴，直线l经过原点O交线段AB于点C，过点C作OC的垂线，与直线m相交于点P，现将直线l绕O点旋转，使交点C在线段AB上由点B向点A方向运动.

(1)填空：A(　　　　　，　　　　　)、B(　　　　　，　　　　　)

(2)直线DE过点C平行于x轴分别交y轴与直线m于D、E两点，求证：△ODC≌△CEP；

(3)若点C的运动速度为每秒单位，运动时间是t秒，设点P的坐标为(，a)

①试写出a关于t的函数关系式和变量t的取值范围；

②当t为何值时，△PAC为等腰三角形并求出点P的坐标.

15.如图，直线l：y=x+6交x、y轴分别为A、B两点，C点与A点关于y轴对称.动点P、Q分别在线段AC、AB上(点P不与点A、C重合)，满足∠BPQ=∠BAO.

(1)点A坐标是        ， BC=      .

(2)当点P在什么位置时，△APQ≌△CBP，说明理由.

(3)当△PQB为等腰三角形时，求点P的坐标.

16.如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点.OA、OB的长度分别为a和b，且满足a2－2ab+b2=0.

(1)判断△AOB的形状.

(2)如图②，正比例函数y=kx(k<0)的图象与直线AB交于点Q，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=9，BN=4，求MN的长.

(3)如图③，E为AB上一动点，以AE为斜边作等腰直角△ADE，P为BE的中点，连结PD、PO，试问：线段PD、PO是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明.

参考答案

1.解：(1)∵1×2≠2×(1＋2)，4×4＝2×(4＋4)，

∴点M不是和谐点，点N是和谐点．

(2)由题意，得当a>0时，(a＋3)×2＝3a，

∴a＝6.

∵点P(6，3)在直线y＝－x＋b上，代入，得b＝9；

当a<0时，(－a＋3)×2＝－3a，

∴a＝－6.

∵点P(－6，3)在直线y＝－x＋b上，代入，得b＝－3.

∴a＝6，b＝9或a＝－6，b＝－3.

2.解：(1)0≤x≤1；(2)x＝1.

3.解：(1)任意实数

(2)2.

(3)如图所示.

(4)函数的最小值为0(答案不唯一).

4.解：(1)解：由y=2x﹣4易得A(2，0)，B(0，﹣4)，

因为P是线段AB的中点，则P(1，﹣2)，

所以d1=2，d2=1，则d1＋d2=3.

(2)解：d1＋d2≥2.设P(m，2m﹣4)，则d1=|2m﹣4|，d2=|m|，

∴|2m﹣4|＋|m|=3，

当m＜0时，4﹣2m﹣m=3，解得m=(舍)；

当0≤m＜2时，4﹣2m＋m=3，解得m＝1，则2m﹣4=﹣2；)

当m≥2时，2m﹣4＋m=3，解得m=，则2m﹣4=.

∴点P的坐标为(1，﹣2)或(，).

(3)解：设P(m，2m﹣4)，则d1=|2m﹣4|，d2=|m|，

∵点P在线段AB上，

∴0≤m≤2，则d1=4﹣2m，d2=m，

∴4﹣2m＋am=4，即m(a﹣2)=0，

∵在线段AB上存在无数个P点，

∴关于m的方程m(a﹣2)=0有无数个解，则a﹣2=0，

∴a=2.

5.解：(1)B(﹣5，3)画出图形.

(2)当点P在OA上时，设P(x，0)(x＜0)，

∵S△ABP：S四边形BCOP=1：4，

∴S△ABP=0.2S矩形OABC，

∴P(﹣3，0)；

当点P在OC上时，设P(0，y)(y>0)，

∵S△CBP：S四边形BPOA=1：4，

∴S△CBP=0.2S矩形OABC，

∴P(0，1.4)，

6.解：(1)10；(2)y=2x－4；(3)30.

7.解：(1)如图1中，由题意知点A、点C的坐标分别为(﹣2，0)和(0，2)

设直线l的函数表达式y＝kx＋b(k≠0)，经过点A(﹣2，0)和点C(0，2)，

得解得，

∴直线l的解析式为y＝x＋2．

设点P的坐标为(m，m＋2)，

由题意得×2×|m＋2|＝3，

∴m＝1或m＝﹣5．

∴P(1，3)，P′(﹣5，﹣3)．

(2)如图2中，连接OD交直线l于点E，则点E为所求，此时|BE＋DE|＝|OE＋DE|＝OD，OD即为最大值．

设OD所在直线为y＝k1x(k1≠0)，经过点D(﹣1，2)，

∴2＝﹣k1，

∴k1＝﹣2，

∴直线OD为y＝﹣2x，

由  解得，

∴点E的坐标为(﹣，)，

又∵点D的坐标为(﹣1，2)，

∴由勾股定理可得OD＝．即|BE＋DE|的最小值为．

(3)如图3中， ∵O与B关于直线l对称，

∴BE＝OE，

∴|BE﹣DE|＝|OE﹣DE|．

由两边之差小于第三边知，当点O，D，E三点共线时，|OE﹣DE|的值最大，最大值为OD．

∵D(﹣1，﹣2)，

∴直线OD的解析式为y＝2x，OD＝，

由，解得，

∴点E(2，4)，

∴|BE﹣D′E|的最大值为此时点E的坐标为(2，4)．

8.解：(1)由题知，把(2，a)代入y=x，解得a=1；

把点(﹣1,﹣5)及点(2,a)代入一次函数解析式得：－k+b=﹣5,2k+b=a，

解方程组得到：k=2，b=﹣3；

一次函数解析式为：y=2x﹣3；

(2)由(2)知 y=2x﹣3与x轴交点坐标为(，0)

∴所求三角形面积S=×1×=；

(3)C(0，－3)，D坐标为：(1，－1)、(3,3)、(－3，－9)；

9.解：(1)当t=1秒时，EP=5；

(2)s=－2x+12(6分)，0≤x≤4；

(3)当t=1或2或(6－2)时，△PEC是等腰三角形.

(4)△PQN周长的最小值是5.

10.解：(1)由图象可知，当点P在BC上运动时，△APD的面积保持不变，则a秒时，

点P在AB上.

，∴AP=6，则a=6

(2)由(1)6秒后点P变速，则点P已行的路程为y1=6+2(x﹣6)=2x﹣6

∵Q点路程总长为34cm，第6秒时已经走12cm，

点Q还剩的路程为y2=34﹣12﹣=

(3)当P、Q两点相遇前相距3cm时，

﹣(2x﹣6)=3，解得x=10

当P、Q两点相遇后相距3cm时

(2x﹣6)﹣()=3，解得x=

∴当t=10或时，P、Q两点相距3cm

11.解：(1)如图1，过点B作BC⊥x轴于点C，

∵△AOB为等边三角形，且OA=2，

∴∠AOB=60°，OB=OA=2，

∴∠BOC=30°，而∠OCB=90°，

∴BC=OB=1，OC=，

∴点B的坐标为B(，1)；

(2)∠ABQ=90°，始终不变.理由如下：

∵△APQ、△AOB均为等边三角形，

∴AP=AQ、AO=AB、∠PAQ=∠OAB，∴∠PAO=∠QAB，

在△APO与△AQB中，

，

∴△APO≌△AQB(SAS)，

∴∠ABQ=∠AOP=90°；

(3)当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，

∵AB∥OQ，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°.

又OB=OA=2，可求得BQ=，

由(2)可知，△APO≌△AQB，

∴OP=BQ=，

∴此时P的坐标为(﹣，0).

12.解：①求△ABC的面积=36；

②过E作EF⊥x轴于F，延长EA交y轴于H.

易证：△OBD≌△FDE；

得：DF=BO=AO，EF=OD；

∴AF=EF，

∴∠EAF=45°，

∴△AOH为等腰直角三角形.

∴OA=OH，

∴H(0，－6)

∴直线EA的解析式为：y=－x－6；

③在线段OA上任取一点N，易知使OM+NM的值最小的是点O到点N关于直线AF对称点N’之间线段的长.

当点N运动时，ON’最短为点O到直线AE的距离，即点O到直线AE的垂线段的长.

∠OAE=30°，OA=6，

所以OM+NM的值为3.

13.解：(1)如图1：

在OA上取一点D，使得OD=OB，连接CD，则BD=2OB=4，

∵CO⊥BD，

∴CD=CB=4，

∴CD=CB=BD，

∴△DBC是等边三角形，

∴∠OBC=60°；

(2)①由题意，得AP=2t，BQ=t，

∵A(﹣3，0)，B(2，0)，

∴AB=5，

∴PB=5﹣2t，

∵∠OBC=60°≠90°，

∴下面分两种情况进行讨论，

Ⅰ)如图2：

当∠PQB=90°时，∵∠OBC=60°，

∴∠BPQ=30°，

∴BQ=PB，

∴t=(5－2t)，解得：t=.

Ⅱ)当∠QPB=90°时，如图3：

∵∠OBC=60°，∴∠BQP=30°，∴PB=BQ，∴5－2t=t，解得：t=2；

②如图4：

当a＜5时，∵AP=a，BQ=b，∴BP=5﹣a，

∵△PQB是等腰三角形，∠OBC=60°，

∴△PQB是等边三角形，∴b=5﹣a，即a+b=5，

如图5：当a＞5时，

∵AP=a，BQ=b，∴BP=a﹣5，

∵△PQB是等腰三角形，∠QBP=120°，

∴BP=BQ，∴a﹣5=b，即a﹣b=5.

14.解：(1)把x=0，y=0代入y=﹣x+，可得：点A(，0)，B(0，)；

(2)∵DE∥x轴，m⊥x轴，

∴m⊥DE，DE⊥y轴，

∴∠ODE=∠CEP=90°，

∵OC⊥CP，

∴∠OCP=90°，

∴∠DCO+∠ECP=180°﹣∠OCP=90°，

∴∠DCO+∠DOC=90°，

∴∠ECP=∠DOC，

∵OA=OB=，

∴∠ABO=∠BAO，

∵DE∥x轴，

∴∠BCD=∠BAO，

∴∠ABO=∠BCD，

∴BD=CD，AE∥y轴，由平移性质得：OA=DE，

∴OB=DE，OB﹣BD=DE﹣CD，

∴OD=CE，

在△ODC与△CEP中，

，

∴△ODC≌△CEP(ASA)；

(3)①∵BC=t，BD=CD，

在Rt△BDC中，BD2+CD2=BC2

∴BD=CD=t，OA=OB=，DO=BO﹣BD=﹣t，EA=DO=﹣t，

OA=OB=﹣t，EP=CD=t，AP=EA﹣EP=－2t，

在Rt△AOB中，AO2+BO2=AB2

∴OA=2a=－2t(0≤t≤2)，

②当t=0时，△PAC是等腰直角三角形PA=PB=.

∴即点坐标是：P(，)，PA=AC，则|－2t|=2－t

解得t=1或t=﹣1(舍去)

∴当t=1时，△PAC是等腰三角形,即点坐标是：P(，﹣2)，

∴当t=0或1时，△PAC为等腰三角形，

点P的坐标为：P(，)或P(，﹣2).

15.解：(1)A(－8，0)，BC=10；

(2)OP=2，P(2，0)           

(3)①当PB=PQ时，P(2，0)； 

②当BQ=BP时，不成立；

③当QB=QP时，(－，0).

16.解：⑴等腰直角三角形

∵a2-2ab+b2=0, ∴a=b 

∵∠AOB=90°

∴△AOB为等腰直角三角形

⑵∵∠MOA+∠MAO=90°,∠MOA+∠MOB=90°

∴∠MAO=∠MOB；

∵AM⊥OQ，BN⊥OQ  

∴∠AMO=∠BNO=90°

在△MAO和△BON中

；

∴△MAO≌△NOB；

∴OM=BN,AM=ON,OM=BN

∴MN=ON－OM=AM－BN=5 ；

⑶PO=PD且PO⊥PD；

如上图3，延长DP到点C，使DP=PC,连结OP、OD、OC、BC

在△DEP和△CBP

；

∴△DEP≌△CBP

∴CB=DE=DA,∠DEP=∠CBP=135°

在△OAD和△OBC

∴△OAD≌△OBC；

∴OD=OC,∠AOD=∠COB

∴△DOC为等腰直角三角形；

∴PO=PD，且PO⊥PD.