高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.2 直线及其方程2.2.4 点到直线的距离精品课件ppt

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.2 直线及其方程2.2.4 点到直线的距离精品课件ppt，文件包含人教B版高中数学选择性必修第一册224《点到直线的距离》课件pptx、人教B版高中数学选择性必修第一册224《点到直线的距离》教学设计docx等2份课件配套教学资源，其中PPT共32页， 欢迎下载使用。
    2.2.4 点到直线的距离本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修第一册》第二章《平面解析几何》，本节课主要学习点到直线的距离。学生已经研究了两点间的距离公式、直线方程、两直线的位置关系，同时也初步体会了坐标法的基本思想方法． “点到直线的距离”是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算； 教学中应充分体现坐标法建立方程的一般思路，为后续学习圆的方程及圆锥曲线的方程奠定基础。发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养。课程目标学科素养A. 会用向量工具推导点到直线的距离公式.B.掌握点到直线、两条平行直线之间的距离公式.C.能应用两个距离公式解决有关距离问题.D.不断体会教材中构造出(x1-x0)2+(y1-y0)2=的绝妙思路.1.数学抽象：点到直线、两条平行直线之间的距离公式 2.逻辑推理：点到直线的距离公式的推导3.数学运算：求解有关距离问题. 4.数学建模：距离问题的综合运用  重点：点到直线的距离公式的运用  难点：点到直线的距离公式的推导 多媒体    教学过程教学设计意图核心素养目标一、    问题导学    我们知道，平面内点到直线的距离，等于过这个点做直线的垂线所得垂线段的程度。那么，如果已知平面直角坐标系中点的坐标以及直线的方程，能不能快速的求出点到直线的距离呢？二、    探究新知   你能想办法求出P（-1,2）到直线l1：2x+y-5=0的距离吗？用你的方法能得出一般的结论吗？思考：最容易想到的方法是什么？思路1.  定义法,其步骤为：求l 的垂线l PQ的方程-----解方程组，得交点Q的坐标-----求|P Q|的长反思：这种解法的优缺点是什么？思路2.我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具。能否用向量方法求点到直线的距离？  如图，点P到直线l的距离，就是向量的模，设是直线l上的任意一点， 是与直线l的方向向量垂直的单位向量，则是在上的投影向量, =。思考：如何利用直线l的方程得到与的方向向量垂直的单位向量？设    直线l：上的任意两点，则是直线l的方向向量。把,     两式相减，得 ，由平面向量的数量积运算可知，向量与向量垂直，向量 就是与直线的方向向量垂直的一个单位向量的单位向量，我们取 ，从而= = 因为点在直线l上所以代入上式，得= 因此=思考：比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算，除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？1.点到直线的距离(1)定义:平面内点到直线的距离,等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度.(2)图示:(3)公式:d=.点睛： (1)运用此公式时要注意直线方程必须是一般式,若给出其他形式,应先化成一般式再用公式.(2)当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用.1.判断:点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为. (　　)答案:×2.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是(　　)A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.解析:由点到直线的距离公式可得. 答案:C3.你能说出代数式的几何意义吗?提示:该代数式可表示平面内点(a,b)到直线x+y+1=0的距离. 2.两条平行直线之间的距离(1)定义:两条平行线之间的距离,等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.(2)图示:(3)求法:可以转化为点到直线的距离,也可以直接套用公式.(4)公式:两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0之间的距离d= . 点睛： (1)把直线方程化为直线的一般式方程;(2)两条直线方程中x,y的系数必须分别相等.4.判断(1)一条直线被两条平行线所截,截得的线段的长为这两条平行线间的距离.(　　)(2)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离,也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离.(　　)答案:(1)×　(2)√5.直线x-2y-1=0与直线x-2y-C=0的距离为2,则C的值为(　　)A.9　　　　B.11或-9　　　　C.-11　　　　D.9或-11解析:两平行线间的距离为d==2,解得C=-9或11.答案:B 三、典例解析例1(1)求点P(2,-3)到下列直线的距离.①y=x+;②3y=4;③x=3.解:①y=x+可化为4x-3y+1=0,则点P(2,-3)到该直线的距离为.②3y=4可化为3y-4=0,则点P(2,-3)到该直线的距离为.③x=3可化为x-3=0,则点P(2,-3)到该直线的距离为=1.(2)已知直线l经过点M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.解:(方法一)当过点M(-1,2)的直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,恰好A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,故x=-1满足题意;当过点M(-1,2)的直线l的斜率存在时,设l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,由A(2,3)与B(-4,5)两点到直线l的距离相等,得即x+3y-5=0.综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.,解得k=-,此时l的方程为y-2=-(x+1),(方法二)由题意得l∥AB或l过AB的中点.当l∥AB时,设直线AB的斜率为kAB,即x+3y-5=0.当l过AB的中点(-1,4)时,直线l的方程为x=-1.综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.直线l的斜率为kl,则kAB=kl==-,此时直线l的方程为y-2=-(x+1),变式 若将本例(2)改为“已知直线l经过点M(-1,2),点A(2,3),B(-4,5)在l的同侧且到该直线l的距离相等”,则所求l的方程为　　　　　. 解析:将本例(2)中的x=-1这一情况舍去即可,也就是要舍去两点在直线l异侧的情况.答案:x+3y-5=01.应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式,若给出其他形式应化为一般式.(2)点P在直线l上时,点到直线的距离为0,公式仍然适用.(3)直线方程Ax+By+C=0,当A=0或B=0时公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解.2.用待定系数法求直线方程时,首先考虑斜率不存在是否满足题意.例2(1)已知两平行直线l1:3x+5y+1=0和l2:6x+10y+5=0,则l1与l2间的距离为　　　　　. (2)直线3x+y-3=0和直线6x+my-1=0平行,则它们之间的距离为　　　　　. (3)已知直线l与两直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0间的距离相等,则直线l的方程为　　　　　. 解析:(1)l2:6x+10y+5=0可以化为3x+5y+=0,∴l1与l2间的距离d=.(2)由题意,得,∴m=2,将直线3x+y-3=0化为6x+2y-6=0,由两平行线间的距离公式,得.(3)设直线l的方程为2x-y+C=0,由题意,得,解得C=1,∴直线l的方程为2x-y+1=0.答案:(1)　(2)　(3)2x-y+1=0求两条平行直线之间的距离,一般是直接利用两条平行直线之间的距离公式,当直线l1:y=kx+b1,l2:y=kx+b2,且b1≠b2时,d=;当直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,且C1≠C2时,d= .但必须注意两直线方程中x,y的系数对应相等.跟踪训练(1)直线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离为(　　)A. B.     C. D.(2)已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是(　　)A.1 B.2 C. D.4(3)已知直线l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当l1,l2间的距离最大时,直线l1的方程是　　　　　. 解析:(1)直接利用平行线之间距离公式,d=.(2)由两条直线平行可得-=-,解得m=8.由两条平行线间的距离公式得d==2.(3)当两条平行直线与A,B两点的连线垂直时,两条平行直线间的距离最大.因为A(1,1),B(0,-1).所以kAB==2,所以两条平行直线的斜率为-,所以直线l1的方程为y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.答案:(1)A　(2)B　(3)x+2y-3=0 金题典例 求经过点P(-3,5),且与原点距离等于3的直线l的方程.错解:设所求直线方程为y-5=k(x+3),所以原点到该直线的距离d==3.所以15k+8=0.所以k=-.故直线l的方程为-x-y+3×+5=0,整理,得kx-y+3k+5=0.错因分析本题出错的根本原因在于思维不严密,求直线的方程时直接设,为点斜式,没有考虑斜率不存在的情况.正解:当直线的斜率存在时,设所求直线方程为y-5=k(x+3),整理,得kx-y+3k+5=0.即8x+15y-51=0.当直线的斜率不存在时,直线方程为x=-3也满足题意.故满足题意的直线l的方程为8x+15y-51=0或x=-3.所以原点到该直线的距离d==3.所以15k+8=0.所以k=-.故所求直线方程为y-5=-(x+3),防范措施：在根据距离确定直线方程时,易忽略直线斜率不存在的情况,避免这种错误的方法是当用点斜式或斜截式表示直线方程时,应首先考虑斜率不存在的情况是否符合题设条件,然后再求解.  通过对初中平面几何点到直线距离问题的回顾，开门见山，提出直角坐标系下点到直线距离问题。                      通过对点到直线距离公式的推导，启发学生多角度思考， 同时注意运用向量方法，从而获得点到直线的距离公式。发对展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。                                        从点到直线距离公式出发，引导学生推出两平行线间的距离公式，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养             在典例分析和练习中让学生熟悉求距离的基本问题，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养                                  在典例分析和练习中让学生掌握求解距离中的综合问题，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养 三、达标检测1.点(1,-1)到直线y=1的距离是(　　) A. B. C.3 D.2解析:d==2,故选D.  答案:D 2.已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1与l2之间的距离为(　　)A.1 B. C. D.2解析:d=.  答案:B 3.已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于(　　)A. B.-            C.-或- D.-解析:由点到直线的距离公式可得,化简得|3a+3|=|6a+4|,解得实数a=-或-.故选C.答案:C 4.直线3x-4y-27=0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是　　　　　. 解析:由题意知过点P作直线3x-4y-27=0的垂线,设垂足为M,则|MP|最小,直线MP的方程为y-1=-(x-2),解方程组∴所求点的坐标为(5,-3).答案:(5,-3) 5.若直线l1:x+my+6=0与l2:(m-2)x+3y+2m=0互相平行,则m的值为　　　　　,它们之间的距离为　　　　　. 解析:由m(m-2)-3=0,解得m=3或-1.经过验证,m=3时两条直线重合,舍去.∴m=-1.直线l1:x+my+6=0与l2:(m-2)x+3y+2m=0分别化为x-y+6=0,x-y+=0.∴它们之间的距离为.答案:-1　6.已知直线l经过点P(0,2),且A(1,1),B(-3,1)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.解:(方法一)∵点A(1,1)与B(-3,1)到y轴的距离不相等,∴直线l的斜率存在,设为k.又直线l在y轴上的截距为2,则直线l的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0.由点A(1,1)与B(-3,1)到直线l的距离相等,∴直线l的方程是y=2或x-y+2=0.得,解得k=0或k=1.(方法二)当直线l过线段AB的中点时,A,B两点到直线l的距离相等.∵AB的中点是(-1,1),又直线l过点P(0,2),∴直线l的方程是x-y+2=0.当直线l∥AB时,A,B两点到直线l的距离相等.∵直线AB的斜率为0,∴直线l的斜率为0,∴直线l的方程为y=2.综上所述,满足条件的直线l的方程是x-y+2=0或y=2.  通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。    四、小结五、课时练 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。 点到直线距离公式的推导，注意利用解析法推导公式时，由于字母较多，用运算量大，在具体的运算过程中学生容易产生畏难情绪，半途而废；采取课前预习，小组讨论，学生展示等手段加以突破．对于几何法中的构造直角三角形学生感到比较困难；采取利用复习两点间距离公式的推导复习，利用类比教学法加以突破；对于几向量法学生不容易想到，采取启导法，小组讨论法，让学生领会“设点不求点”的解题思路．