高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.3 两条直线的位置关系优秀课件ppt

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2.2.3 两条直线的位置关系
第二章 平面解析几何
学习目标
1.会求两条相交直线的交点坐标.(数学运算)2.会根据直线的斜率和截距判断两条直线相交、平行、重合.(逻辑推理)3.理解通过方程组给出的两条直线相交、平行、重合的条件.(逻辑推理)4.会利用法向量推导出两条直线垂直的条件:A1A2+B1B2=0和k1k2=-1,并能熟练地运用这两个条件解决有关垂直问题.(逻辑推理、数学运算)
从初中平面几何中我们就已经知道，两条不重合的直线l1与 l2 ；如果它们没有公共点，那么l1与 l2平行；否则， l1与 l2相交，而且有唯一的交点。在平面直角坐标系中，直线可以用直线的方程来表示，那么如何依据两条直线的方程来判断它们之间的位置关系呢？
温故知新
尝试与发现
（1）已知直线l1：x-y+1=0,直线l2：x+y+3=0，判断l1与 l2之间的关系， 如果相交，求出交点坐标，如果不相交，说明理由。（2）总结怎样依据两条直线的方程来考察他们之间的位置关系。
1.两条直线的交点
点睛： 因为平面直角坐标系中,一个点在直线上的充要条件是这个点的坐标能满足直线的方程,所以为了考察l1与l2之间的位置关系,只要看它们的方程组成的方程组的解的情况即可.
概念解析
1.判断：若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线相交.(　　)
小试牛刀
2.直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点坐标为(　　)A.(-4,-3)　　　B.(4,3) C.(-4,3) D.(3,4)
答案:C
答案:×
2.两条直线的相交、平行与重合(1)直线方程在斜截式形式下两条直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2的位置关系可用两直线的斜率和在y轴上的截距来进行判断,具体判断方法如下表所示.
(2)直线方程在一般式形式下两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0的位置关系,可以用方程组 的解的情况进行判断,也可用直线方程的系数进行判断,方法如下表所示.
3.判断(1)若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行.(　　)(2)若l1∥l2,则k1=k2.(　　)(3)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合,则这两条直线平行.(　　)
小试牛刀
4.下列直线与直线x-y-1=0平行的是(　　)A.x+y-1=0 B.x-y+1=0C.ax-ay-a=0(a≠0) D.x-y+1=0或ax-ay-a=0(a≠0)
答案:(1)×　(2)×　(3)√
5.若直线2x+y-1=0与y=ax+3相交,则a的取值范围为　　　　　. 
答案:(-∞,-2)∪(-2,+∞)
答案:B
6.应用斜率判断两条直线的位置关系时应注意什么?
提示:(1)当k1≠k2时,l1与l2相交.当两直线斜率都不存在时,两直线平行或重合.当一条直线斜率存在而另一条直线斜率不存在时,两直线相交.(2)当k1=k2时,不能判断两直线平行,还可能重合.
3.两条直线的垂直(1)设直线l1,l2的方程分别为y=k1x+b1,y=k2x+b2,则l1⊥l2⇔k1k2=-1.(2)设直线l1,l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0(A1,B1不同时为零,A2,B2不同时为零),则l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.
点睛： (1)过点(x0,y0)且与Ax+By+C=0平行的直线可表示为A(x-x0)+B(y-y0)=0;(2)过点(x0,y0)且与Ax+By+C=0垂直的直线可表示为B(x-x0)-A(y-y0)=0;(3)与直线y=kx+b(k≠0)垂直的所有直线可以表示为y=- x+m;(4)与直线Ax+By+C=0垂直的所有直线可以表示为Bx-Ay+m=0;
7.判断 若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在, 则这两条直线垂直.(　　)
答案:×
8.已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a等于(　　)A.2　　B.1　　C.0　　D.-1
解析:两条直线的斜率分别为a和a+2,且相互垂直,即a(a+2)=-1,解得a=-1.答案:D
9.若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直,则a等于　　　　　. 
例1 判断下列各组直线的位置关系,若相交,求出交点的坐标.(1)l1:4x+3y-2=0与l2:x+2y+2=0;
典例解析
分析:判断两直线位置关系的解法有三种:一是根据方程组的解的个数判定;二是根据方程的系数间的关系判定;三是化成斜截式方程判定.
1.判断两条直线平行:(1)如果斜率都存在,那么需要判断其斜率相等,即k1=k2.两条直线斜率相等,则两条直线可能平行也可能重合,还需要进一步判断截距不相等,即b1≠b2.如果两条直线的斜率不存在,两条直线的方程为x=a1,x=a2,只需a1≠a2即可;(2)利用A1B2=A2B1且B1C2≠B2C1或A2C1≠A1C2判断.2.判断两条直线垂直:(1)如果斜率都存在,那么只需k1k2=-1,如果一条直线的斜率不存在,那么另一条直线的斜率必等于零,从斜率的角度判断,应注意上面的两种情况;(2)利用A1A2+B1B2=0判断.3.根据方程组解的个数判断两直线位置关系,当x,y的系数是未知数时不好用;利用方程的系数间的关系判定难记忆;化成斜截式易操作.
归纳总结
又因为B(0,-4),D(0,18),所以直线AB的方程为y=6x-4,直线CD的方程为y=6x+18.因为两条直线的斜率相等,在y轴上的截距不相等,所以直线AB和直线CD平行.
跟踪训练
跟踪训练1已知点A(1,2),B(0,-4),C(-2,6),D(0,18),试判断直线AB和直线CD的位置关系.
例2(1)直线l1:(m+2)x+(m2-3m)y+4=0,l2:2x+4(m-3)y-1=0,如果l1∥l2,求m的值;(2)直线l1:ax+(1-a)y=3与l2:(a-1)x+(2a+3)y=2垂直,求a的值.
分析：既可以用直线的一般式方程形式判断,也可以用斜率的关系求解,但需考虑斜率不存在的情况.
典例解析
利用两直线的位置关系求字母参数取值时,提倡直接根据两直线平行、相交或垂直的系数整式条件列方程或不等关系,这样不易丢解或增解;若用比例式求解,一定要对特殊情况单独讨论.本例中方法一体现了分类讨论的条理性,方法二体现了适用两条直线方程的所有情况,具有统一性.
归纳总结
跟踪训练2(1)已知直线l1:ax+2y+6=0与l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行,则实数a的取值是(　　)A.-1或2 B.0或1 C.-1 D.2(2)若直线l1:(2a+5)x+(a-2)y+4=0与直线l2:(2-a)x+(a+3)y-1=0垂直,则a的取值是(　　)A.2 B.-2 C.2或-2 D.2或0或-2
跟踪训练
解析:(1)∵l1∥l2,∴a(a-1)-2=0,∴a=-1或2.当a=2时,l1与l2重合,∴a=-1.(2)由题意,得(2a+5)(2-a)+(a-2)(a+3)=0,解得a=±2.答案:(1)C　(2)C
(3)已知△ABC的顶点为A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若△ABC为直角三角形,求m的值.
例3已知点A(2,2)和直线l:3x+4y-20=0.求:(1)过点A和直线l平行的直线方程;(2)过点A和直线l垂直的直线方程.
分析本题可根据两条直线平行与垂直时斜率间的关系,求出所求直线的斜率后用点斜式求解,也可利用直线系方程来求解.
典例解析
(方法二)利用直线系方程求解.设过点A且平行于直线l的直线l1的方程为3x+4y+m=0(m≠-20).由点A(2,2)在直线l1上,得3×2+4×2+m=0,解得m=-14.故直线l1的方程为3x+4y-14=0.
即4x-3y-2=0.(方法二)设过点A且垂直于直线l的直线l2的方程为4x-3y+m=0.因为l2经过点A(2,2),所以4×2-3×2+m=0,解得m=-2.故l2的方程为4x-3y-2=0.
以下巧妙的设法望引起大家的注意(1)求与直线y=kx+b平行的直线的方程时,根据两直线平行的条件可设为y=kx+m(m≠b),然后通过待定系数法,求参数m的值.(2)求与直线Ax+By+C=0平行的直线方程时,可设方程为Ax+By+m=0(m≠C),代入已知条件求出m即可.(3)求与直线y=kx+b(k≠0)垂直的直线方程时,根据两直线垂直的条件可设为y=- x+m(k≠0),然后通过待定系数法,求参数m的值.(4)求与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)垂直的直线时,可巧设方程为Bx-Ay+m=0(A,B不同时为零),然后用待定系数法,求出m.
归纳总结
跟踪训练3(1)已知直线l过点(1,1)且平行于直线4x+y-8=0,则直线l的方程是(　　)A.x-4y+3=0 B.x-4y-5=0C.4x+y+5=0 D.4x+y-5=0(2)以A(1,3),B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是(　　)A.3x-y-8=0 B.3x+y+4=0C.3x-y+6=0 D.3x+y+2=0
跟踪训练
解析:(1)设与直线4x+y-8=0平行的直线方程为4x+y+c=0(c≠-8),∵直线4x+y+c=0过(1,1),∴4+1+c=0,即c=-5,则直线方程为4x+y-5=0,故选D.所以所求直线方程为y-2=-3(x+2),化简为3x+y+4=0.答案:(1)D　(2)B
(3)求过直线l1:3x+4y-2=0与直线l2:2x+y+2=0的交点且平行于直线5x+4y=0的直线方程.
②×4-①得5x+10=0,解得x=-2.将x=-2代入②得2×(-2)+y+2=0,所以y=2.所以两直线的交点坐标为(-2,2).设与直线5x+4y=0平行的直线方程为5x+4y+c=0(c≠0),代入(-2,2)得5×(-2)+4×2+c=0,所以c=2.故所求直线方程为5x+4y+2=0.
例4如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0.试判断四边形OPQR的形状.
分析利用两直线的斜率关系,来研究平行或垂直,对于四边形而言,可以先选取一组对边研究,再选取一组邻边研究,最后下结论.
变式 将例4中的四个点,改为“A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)”,顺次连接A,B,C,D四点,试判断四边形ABCD的形状.
解:由题意A,B,C,D四点在平面直角坐标系内的位置如图.
通过对本例题的探究可以看出,研究直线平行或垂直的方法除了前面向量的方法还可以利用直线的斜率进行,利用斜率判断时要注意先对斜率的存在与否进行检验,其次要注意几何图形的内在联系,从而判断几何形状.
解:(1)若∠A=∠D=90°,如图①,由已知AB∥DC,AD⊥AB,而kCD=0,故A(1,-1).
跟踪训练4已知四边形ABCD的顶点B(6,-1),C(5,2),D(1,2).若四边形ABCD为直角梯形,求A点坐标.(A,B,C,D按逆时针方向排列)
(2)若∠A=∠B=90°,如图②.
图②
1.直线l1与l2为两条不重合的直线,则下列命题:①若l1∥l2,则斜率k1=k2;②若斜率k1=k2,则l1∥l2;③若倾斜角α1=α2,则l1∥l2;④若l1∥l2,则倾斜角α1=α2.其中正确命题的个数是(　　)A.1 B.2 C.3 D.4
当堂达标
解析:①错,②③④正确.答案:C
2.若点A(3,-4)与点A'(5,8)关于直线l对称,则直线l的方程是(　　)A.x+6y+16=0 B.6x-y-22=0C.6x+y+16=0 D.x+6y-16=0
3.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是(　　)A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0
解析:因为所求直线与直线x-2y-2=0平行,所以所求直线斜率k= ,排除C,D.又直线过点(1,0),排除B.答案:A
答案:D
4.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0垂直,则实数m=　　　　　. 
答案:1
5.(1)求与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线l的方程;(2)求过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.
课堂小结
谢谢欣赏