高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.2 直线及其方程2.2.4 点到直线的距离导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.2 直线及其方程2.2.4 点到直线的距离导学案，共7页。
点到直线的距离新课程标准解读核心素养探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离直观想象、数学运算 在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.[问题]　(1)平面直角坐标系中，若P(x0，y0)，则P到x轴，y轴的距离分别是多少？(2)若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　点到直线的距离与两条平行线间的距离 点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长度公式点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝1．已知点P(x0，y0)及直线l上任意一点M，那么点P到直线l的距离|PQ|等于两点间距离|PM|的最小值．2．点到直线距离的向量表示如图，设n为过点P且垂直于l的单位向量，就是在n上的投影向量，点P到直线l的距离||＝|·n|.　　　1．在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有何要求？提示：直线方程为一般式．2．在使用两平行线间距离公式时，对直线方程的形式有何要求？提示：两直线的方程为一般式且x，y的系数分别相同．1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　)A．1　　　　　　　　  B．C．2     D．解析：选D　d＝＝.2．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为(　　)A．1     B．C．     D．2解析：选B　由题意知l1，l2平行，则l1∥l2之间两直线的距离为＝.点到直线的距离[例1]　(链接教科书第94页例1)已知点A(2，1)，B(3，4)，C(－2，－1)，求△ABC的面积．[解]　设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h.|AB|＝＝.AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．AB边所在直线的方程为＝，即3x－y－5＝0.点C(－2，－1)到直线3x－y－5＝0的距离h＝＝，所以S△ABC＝|AB|·h＝××＝5. 应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式；(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用；(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．　　　　  [跟踪训练]1．已知点(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　)A．　　　　　　　　  B．－1C．＋1     D．2－解析：选B　由点到直线的距离公式，得1＝，即|a＋1|＝.∵a＞0，∴a＝－1，故选B.2．(2020·全国卷Ⅲ)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　)A．1     B．C．     D．2解析：选B　法一：由点到直线的距离公式知点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝＝＝＝.当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝＝，要使d最大，需k>0且k＋最小，∴当k＝1时，dmax＝，故选B.法二：记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1，0)，当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝，故选B.两平行线间的距离[例2]　(链接教科书第94页例2)求与两条平行直线l1：2x－3y＋4＝0与l2：2x－3y－2＝0距离相等的直线l的方程．[解]　设所求直线l的方程为2x－3y＋C＝0.由直线l与两条平行线的距离相等，得＝，即|C－4|＝|C＋2|，解得C＝1.故直线l的方程为2x－3y＋1＝0. 由两平行直线间的距离求直线方程通常有两种思路：(1)设出所求直线方程后，在其中一条直线上取一点，利用点到直线的距离公式求解；(2)直接运用两平行直线间的距离公式求解．　　　[跟踪训练]求与直线2x－y－1＝0平行，且与直线2x－y－1＝0的距离为2的直线方程．解：法一：由已知，可设所求的直线方程为2x－y＋C＝0(C≠－1)，则它到直线2x－y－1＝0的距离d＝＝＝2，∴|C＋1|＝2，C＝±2－1，∴所求直线的方程为2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0.法二：设所求直线上任意一点P(x，y)，则点P到2x－y－1＝0的距离为d＝＝＝2，∴2x－y－1＝±2，∴所求直线的方程为2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0.距离的综合应用[例3]　已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其它三边所在直线的方程．[解]　设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5).由得正方形的中心坐标为P(－1，0)，由点P到两直线l，l1的距离相等，得＝，得c＝7或c＝－5(舍去).∴l1：x＋3y＋7＝0.又正方形另两边所在直线与l垂直，∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0.∵正方形中心到四条边的距离相等，∴＝，得a＝9或a＝－3，∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0.利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式解综合题时，需特别注意直线方程要化为一般式，同时要注意构造法、数形结合法的应用，本节中距离公式的形式为一些代数问题提供了几何背景，可构造几何图形，借助几何图形的直观性去解决问题．　　　　 [跟踪训练] 1．已知P，Q分别是直线3x＋4y－5＝0与6x＋8y＋5＝0上的动点，则|PQ|的最小值为(　　)A．3     B．C．     D．解析：选B　由于所给的两条直线平行，所以|PQ|的最小值就是这两条平行直线间的距离．由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝，即|PQ|的最小值为.2．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上，则AB的中点M到原点的距离的最小值为________．解析：依题意，知l1∥l2，故点M所在的直线平行于l1和l2，可设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0(m≠－7且m≠－5)，根据平行线间的距离公式，得＝⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得点M到原点的距离的最小值为＝3.答案：31．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于(　　)A．7     B．5C．3     D．2解析：选A　直线x＋2＝0，即x＝－2为平行于y轴的直线，所以点(5，－3)到x＝－2的距离d＝5－(－2)＝7.2．两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于(　　)A．     B．C．     D．解析：选C　l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，由平行线间的距离公式得d＝＝.3．两平行直线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝________．解析：由两直线平行知，a＝8，d＝＝2，∴a＋d＝10.答案：104．已知两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为________．解析：由题意知直线mx＋y＋3＝0与AB平行或过AB的中点，则有－m＝或m×＋＋3＝0，∴m＝或m＝－6.答案：或－65．已知直线l经过点P(－2，5)且斜率为－.(1)求直线l的方程；(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．解：(1)由点斜式方程得，y－5＝－(x＋2)，∴3x＋4y－14＝0.(2)设m的方程为3x＋4y＋c＝0(c≠－14)，则由平行直线间的距离公式得＝3，∴c＝1或－29.∴直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.