人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.2 直线及其方程2.2.4 点到直线的距离学案

点到直线的距离

自主学习·必备知识

见学用57页

教材研习

教材原句

要点一点到直线的距离公式

设到直线的距离为，则 .这称为点到直线的距离公式.

要点二两平行直线间的距离

已知直线，则与之间的距离为 .

自主思考

1.直线外一点到直线的距离是直线上的点与直线外一点连线的长度中的最小值吗？

答案：提示是

名师点睛

应用点到直线的距离公式的注意点

（1）求点到直线的距离时，要注意公式中的条件是直线的一般式方程．

（2）公式的形式：分母是直线的x,y项系数平方和的算术平方根，分子是用替换直线方程中所得实数的绝对值．

（3）在解决直线方程的问题时，要注意直线的斜率是否存在，以免漏解或错解．

（4）公式对任意的直线都成立，但当直线与轴、轴垂直时，可以简化公式，点到的距离；点到的距离 .

互动探究·关键能力

见学用57页

探究点一点到直线的距离

精讲精练

例（1）求在轴上且与直线的距离等于5的点的坐标；

（2）求过点且与两点距离相等的直线方程．

答案：（1）设点的坐标为，依题意有．

，即或，或．

（2）当斜率存在时，设直线方程为，即 .

由题意得，解得或．直线方程为或．

当直线斜率不存在时，不存在符合题意的直线．

所求直线方程为或．

变式在本例（2）中，若直线过点，且点到的距离是点到的距离的，求直线的方程．

答案：当斜率存在时，设直线的方程为，即 .

由题意得，解得或，

所以直线的方程为或 .

当直线斜率不存在时，不存在符合题意的直线．

综上，直线的方程为或 .

解题感悟

（1）利用点到直线的距离公式解决相关问题时，不管设直线方程的何种形式，最后都要化成一般式方程后才可用公式.

（2）求直线的方程一般用待定系数法，此时要考虑直线的适用范围，关键是考虑斜率是否存在.

（3）综合运用直线的相关知识，充分发挥几何图形的直观性，用运动观点看待点、直线，有时会起到事半功倍的作用.

迁移应用

1.已知直线，若点到直线的距离相等，则实数的值为(      )

A.-4B.4

C.-4或-2D.2或4

答案：

解析：两点到直线的距离相等，

，即，解得或 .

2.过点(2,1)的直线到两点的距离相等，则的方程为(      )

A. B.

C.或 D.

答案：  C

解析：当直线的斜率不存在时，直线显然满足题意；

当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，

由题意得，化简得或（舍去），解得，

直线的方程为，综上，直线的方程为或．

探究点二两平行直线间的距离

精讲精练

例（1）（2021山东聊城高二期末）两直线与平行，则它们之间的距离为(     )

A. B. C.3D.6

（2）与两直线和的距离相等的直线的方程是(      )

A. B.

C. D.以上都不对

答案：（1）

（2）

解析：（1）由于两直线与平行，则，解得，则直线的方程为，

因此，这两条直线间的距离 .

（2）直线平行于直线，到两平行直线的距离相等的直线与两直线平行，∴可设所求的直线方程为，由题意可得，，解得，∴直线的方程为，故选A.

解题感悟

求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式.

当直线，且时，；

当直线，不全为0且时， .但必须注意两直线方程中的系数对应相等.

迁移应用

1.若直线与平行，则与之间的距离为(      )

A. B.

C. D.

答案：

解析：因为直线与平行，

所以，解得或，

当时，，此时与重合，不符合题意；

当时，，即，

此时与之间的距离，故选B.

2.到直线的距离等于55的直线方程为(     )

A.

B.

C.或

D.或

答案：

解析：由题意可得所求直线与已知直线平行，故设所求直线的方程为，

，解得或，故所求直线的方程为或 .

探究点三与距离公式有关的最值问题

精讲精练

例两条互相平行的直线分别过点，并且各自绕着点，旋转，如果两条平行直线间的距离为 .

（1）求的取值范围；

（2）求取最大值时，两条直线的方程.

答案：（1）设经过点和点的直线分别为，，

显然当时，和的距离最大，

且最大值为，

的取值范围为 .

（2）由（1）知，，此时，

利用点斜式可求得两直线的方程分别为和 .

解题感悟

（1）解决距离问题时要注意“数”与“形”之间的相互转化.

（2）两平行线间的距离可转化为两点间的距离或转化为点到直线的距离.

迁移应用

1.已知分别是直线与上的动点，则的最小值为(     )

A.3B. C. D.

答案：

解析：易知两平行线间的距离就是的最小值，可化为，

则 .

2.求过点且与原点距离最大的直线方程.

答案：易知过点且与垂直的直线到原点的距离最大，

，所求直线的方程为，即 .

评价检测·素养提升

见学用59页

课堂检测

1.点(1,-1)（1，-1）到直线的距离是(      )

A. B. C. D.

答案：

2.直线与直线的距离为，则的值为(     )

A.9B.11或-9

C.-11D.9或-11

答案：

3.点(0,1)到直线的距离的最大值是(      )

A.1B. C. D.2

答案：

4.分别过点和点的两条直线均垂直于轴，则这两条直线间的距离是 .

答案：  5

素养演练

直观想象——点到直线的距离的最值问题

1.若实数满足，求的最小值．

解析：审：本题主要考查点到直线的距离公式及用构造法求函数最值问题，易知点在直线上，要求的最小值的代数式中含有两个变量，所以可转化为点到直线的距离问题.

联：原式可化为，可看成点与点(1,1)间的距离，则问题转化为点(1,1)到直线的距离的最小值问题．

答案：解：，设，，

上式看作点与间的距离，

即点与直线①上任意一点间的距离，

的最小值应为点到直线的距离．

② .

即的最小值为 .

解析：思：解决此类问题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的几何特征加以解决．