2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习9.2《两直线的位置关系》(含详解)

2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习9.2

《两直线的位置关系》

一              、选择题

1.已知直线mx＋4y﹣2＝0与2x﹣5y＋n＝0互相垂直，垂足坐标为(1，p)，则m﹣n＋p为(　　)

A.24         B.﹣20         C.0           D.20

2.已知直线l1经过两点(﹣1，﹣2)，(﹣1,4)，直线l2经过两点(2,1)，(x,6)，且l1∥l2，则x等于(　　)

A.2          B.﹣2          C.4            D.1

3.已知直线l1：(m﹣3)x﹣2y＋2＝0和直线l2：3mx﹣3y﹣5＝0垂直，则m的值为(　　)

A.﹣1        B.1        C.﹣1或2      D.1或2

4.过点(2,3)，且到原点的距离最大的直线方程是(　　)

A.3x＋2y﹣12＝0       B.2x＋3y﹣13＝0

C.x＝2                D.x＋y﹣5＝0

5.曲线y＝(x＋a)ex在x＝0处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，则a的值为(　　)

A.﹣1        B.0          C.1        D.2

6.已知直线l经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x﹣y＝1的交点，且直线l的一个方向向量为v＝，则直线l的方程是(　　)

A.﹣3x＋2y＋1＝0         B.3x﹣2y＋1＝0

C.2x＋3y﹣5＝0           D.2x﹣3y＋1＝0

7.点A(2，﹣3)，B(3,2)，直线ax﹣y﹣2＝0与线段AB相交，则实数a的取值范围是(　　)

A.﹣≤a≤         B.a≥或a≤﹣

C.﹣≤a≤         D.a≥或a≤﹣

8.直线l与两直线y＝1和x﹣y﹣7＝0分别交于A，B两点，线段AB的中点为M，则直线l的斜率为(　　)

A.         B.         C.﹣          D.﹣

9.任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线.已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0,4)，若其欧拉线的方程为x﹣y＋2＝0，则顶点C的坐标为(　　)

A.(﹣4,0)       B.(﹣3,﹣1)    C.(﹣5,0)       D.(﹣4,﹣2)

10.已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2,1)，则过不同的两点P1(a1，b1)和P2(a2，b2)的直线方程是(　　)

A.2x＋y﹣1＝0          B.2x＋y＋1＝0

C.2x﹣y＋1＝0          D.x＋2y＋1＝0

二              、多选题

11. (多选)下列结论错误的是(　　)

A.若直线l1，l2的斜率相等，则l1∥l2

B.若直线的斜率k1·k2＝1，则l1⊥l2

C.若直线l1，l2的斜率都不存在，则l1∥l2

D.若直线l1，l2的斜率不相等，则l1与l2不平行

12. (多选)已知直线l的一个方向向量为u＝(﹣,)，且直线l经过点(1，﹣2)，则下列结论中正确的是(　　)

A.直线l的倾斜角等于150°

B.直线l在x轴上的截距等于

C.直线l与直线x﹣3y＋2＝0垂直

D.直线l上存在与原点距离等于1的点

三              、填空题

13.已知△ABC的顶点坐标分别为A(3,4)，B(6,0)，C(﹣5，﹣2)，则内角A的角平分线所在直线方程为________________.

14.设直线l1：(m＋1)x﹣(m﹣3)y﹣8＝0(m∈R)，则直线l1恒过定点________；若过原点作直线l2∥l1，则当直线l1与l2间的距离最大时，直线l2的方程为__________.

15.已知l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，﹣1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，则直线l1的方程是________.

16.如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC的面积的最小值为______.

0.答案详解

一              、选择题

1.答案为：D

解析：由两直线互相垂直，得﹣×＝﹣1，解得m＝10，

又垂足坐标为(1，p)，代入直线5x＋2y﹣1＝0，得p＝﹣2.

将(1，﹣2)代入直线2x﹣5y＋n＝0，得n＝﹣12，

所以m﹣n＋p＝20.

2.答案为：A

解析：由题意可知l1上的点的横坐标相同，所以l1垂直于x轴，故l2也垂直于x轴，所以x＝2.

3.答案为：D

解析：因为直线l1：(m﹣3)x﹣2y＋2＝0和直线l2：3mx﹣3y﹣5＝0垂直，所以·m＝﹣1，解得m＝1或m＝2，经检验都成立.

4.答案为：B

解析：当直线与过(2,3)与(0,0)的连线垂直时，满足题意，所以k＝﹣，

所以直线方程为y﹣3＝﹣(x﹣2)，即2x＋3y﹣13＝0.

5.答案为：B

解析：因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(1＋x＋a)ex.

所以曲线y＝(x＋a)ex在x＝0处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝1＋a.

又切线与直线x＋y＋1＝0垂直，故1＋a＝1，解得a＝0.故选B.

6.答案为：C

解析：解方程组得x＝1，y＝1，所以两直线的交点为.

因为直线l的一个方向向量为v＝，所以k＝﹣，

所以直线的方程为y﹣1＝﹣(x﹣1)，即2x＋3y﹣5＝0.

7.答案为：C

解析：直线ax﹣y﹣2＝0过定点C(0，﹣2)，

所以kAC＝＝﹣，kBC＝＝，所以﹣≤a≤.

8.答案为：D

解析：设直线l的斜率为k，又直线l过点M，则直线l的方程为y＋1＝k(x﹣1)，

联立直线l与y＝1，得解得x＝，所以A(,1)；

联立直线l与x﹣y﹣7＝0，得解得x＝，y＝，

所以B(＝，)，又线段AB的中点为M，

所以＋＝2，解得k＝﹣.

9.答案为：A

解析：设C(m，n)，由重心坐标公式，得△ABC的重心为(,)，代入欧拉线的方程得﹣＋2＝0，整理得m﹣n＋4＝0①.AB的中点为(1,2)，kAB＝＝﹣2，∴AB的垂直平分线的方程为y﹣2＝(x﹣1)，即x﹣2y＋3＝0.由解得

∴△ABC的外心为(﹣1,1).则(m＋1)2＋(n﹣1)2＝32＋12＝10②.由①②联立，得m＝﹣4，n＝0或m＝0，n＝4.当m＝0，n＝4时，B，C重合，不符合题意，舍去，

∴顶点C的坐标是.

10.答案为：B

解析：把A(2,1)的坐标代入两条直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0，得2a1＋b1＋1＝0,2a2＋b2＋1＝0，所以过点P1，P2的直线的方程为2x＋y＋1＝0.

二              、多选题

11.答案为：ABC

解析：若直线l1，l2的斜率相等，则l1∥l2或l1与l2重合， 所以A结论错误；若直线的斜率k1·k2＝﹣1，则l1⊥l2，所以B结论错误；若直线l1，l2的斜率都不存在，则l1∥l2或l1与l2重合，所以C结论错误；D结论正确.

12.答案为：CD.

解析：由题意得，直线l的斜率k＝﹣，设直线的倾斜角为α(0≤α<180°且α≠90°)，则tan α＝﹣，所以α＝120°，故A错误；因为l经过点(1，﹣2)，所以直线l的方程为y＋2＝﹣(x﹣1)，令y＝0，得直线l在x轴上的截距为﹣＋1，故B错误；﹣×＝﹣1，所以直线l与直线x﹣3y＋2＝0垂直，故C正确；因为原点到直线l的距离为d＝＝<1，所以直线l上存在与原点距离等于1的点，故D正确.

三              、填空题

13.答案为：7x﹣y﹣17＝0

解析：∵＝(3，﹣4)，＝(﹣8，﹣6)，∴△ABC的内角A的角平分线的方向向量为

＝＋＝(3，﹣4)＋(﹣8，﹣6)＝(﹣,﹣)，直线的斜率为7，∴所求直线的方程为y﹣4＝7(x﹣3)，即7x﹣y﹣17＝0.

14.答案为：(2,2),x＋y＝0.

解析：∵直线l1：(m＋1)x﹣(m﹣3)y﹣8＝0(m∈R)，可化为m(x﹣y)＋(x＋3y﹣8)＝0，

∴解得∴直线l1恒过定点(2,2).

过原点作直线l2∥l1，可设l2的方程为(m＋1)x﹣(m﹣3)y＝0.

∵经过两点与的直线方程为y＝x，

∴当直线l1与l2间的距离最大时，直线l2与直线y＝x垂直，

∴直线l2的方程为x＋y＝0.

15.答案为：x＋2y﹣3＝0；

解析：当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大.因为A(1，1)，B(0，﹣1)，

所以kAB＝＝2，所以两平行直线的斜率为k＝﹣，所以直线l1的方程是y﹣1＝﹣(x﹣1)，即x＋2y﹣3＝0.

16.答案为：6

解析：以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

设B(a，﹣2)，C(b,3).因为AC⊥AB，所以ab﹣6＝0，ab＝6，b＝，所以Rt△ABC的面积S＝·＝·＝≥＝6(当且仅当a2＝4时取等号).所以△ABC的面积的最小值为6.