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2021年高考理科数学一轮复习：专题9.2 两直线的位置关系 题型全归纳与高效训练突破
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这是一份2021年高考理科数学一轮复习：专题9.2 两直线的位置关系 题型全归纳与高效训练突破，文件包含专题92两直线的位置关系学生版docx、专题92两直线的位置关系老师版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc30106" 一、考点全归纳 PAGEREF _Tc30106 2
\l "_Tc17758" 二、题型全归纳 PAGEREF _Tc17758 3
\l "_Tc12441" 题型一 两直线的位置关系 PAGEREF _Tc12441 3
\l "_Tc14531" 类型一 判断两直线的位置关系 PAGEREF _Tc14531 4
\l "_Tc30313" 类型二 由两直线的位置关系求参数 PAGEREF _Tc30313 4
\l "_Tc24568" 类型三 由两直线的位置关系求直线方程 PAGEREF _Tc24568 5
\l "_Tc3317" 题型二 两条直线的交点和距离问题 PAGEREF _Tc3317 6
\l "_Tc10309" 题型三 对称问题 PAGEREF _Tc10309 7
\l "_Tc6877" 类型一 点关于点的对称 PAGEREF _Tc6877 7
\l "_Tc29209" 类型二 点关于线的对称 PAGEREF _Tc29209 8
\l "_Tc3782" 类型三 线关于线的对称 PAGEREF _Tc3782 8
\l "_Tc845" 题型四 直线系方程的应用 PAGEREF _Tc845 9
\l "_Tc28926" 类型一 平行直线系 PAGEREF _Tc28926 9
\l "_Tc1354" 类型二 垂直直线系 PAGEREF _Tc1354 9
\l "_Tc12989" 类型四 直线恒过定点 PAGEREF _Tc12989 10
\l "_Tc9233" 三、高效训练突破 PAGEREF _Tc9233 11
一、考点全归纳
1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率都存在且分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2；特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行．
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．
2．两直线相交
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一一对应．
相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
平行⇔方程组无解；
重合⇔方程组有无数个解．
3．三种距离
【常用结论】
1．两个充要条件
(1)两直线平行或重合的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.
(2)两直线垂直的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.
2．六种常见对称
(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
(6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
3．三种直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
二、题型全归纳
题型一 两直线的位置关系
【解题要点】两直线平行、垂直的判断方法
若已知两直线的斜率存在．
(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等．
(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.
【提醒】判断两条直线的位置关系应注意：
(1)注意斜率不存在的特殊情况．
(2)注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
类型一 判断两直线的位置关系
【例1】(2020·天津静海区联考)“a＝1”是“直线ax＋2y－8＝0与直线x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】设直线l1：ax＋2y－8＝0，直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0.若l1与l2平行，则a(a＋1)－2＝0，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2.当a＝－2时，直线l1的方程为－2x＋2y－8＝0，即x－y＋4＝0，直线l2的方程为x－y＋4＝0，此时两直线重合，则a≠－2.当a＝1时，直线l1的方程为x＋2y－8＝0，直线l2的方程为x＋2y＋4＝0，此时两直线平行．故“a＝1”是“直线ax＋2y－8＝0与直线x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的充要条件．故选A.
类型二 由两直线的位置关系求参数
【例2】(2020·安徽芜湖四校联考)直线(2m－1)x＋my＋1＝0和直线mx＋3y＋3＝0垂直，则实数m的值为( )
A．1 B．0
C．2 D．－1或0
【答案】D
【解析】由两直线垂直可得m(2m－1)＋3m＝0，解得m＝0或－1.故选D.
【例3】(2020·陕西宝鸡中学二模)若直线x＋(1＋m)y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是( )
A．1 B．－2
C．1或－2 D．－eq \f(3,2)
【答案】A
【答案】①当m＝－1时，两直线方程分别为x－2＝0和x－2y－4＝0，此时两直线相交，不符合题意．②当m≠－1时，两直线的斜率都存在，由两直线平行可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(1,1＋m)＝－\f(m,2)，,\f(2,1＋m)≠－2，))解得m＝1.综上可得m＝1.故选A.
类型三 由两直线的位置关系求直线方程
【例4】经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线的方程为________．
【答案】 4x－3y＋9＝0
【解析】 法一：由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＋1＝0，,x－3y＋4＝0))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(5,3)，,y＝\f(7,9)，))即交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)，\f(7,9)))，
因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
所以所求直线的斜率为k＝eq \f(4,3).
由点斜式得所求直线方程为y－eq \f(7,9)＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(5,3)))，
即4x－3y＋9＝0.
法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0，
由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＋1＝0，,x－3y＋4＝0))可解得交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)，\f(7,9)))，
代入4x－3y＋m＝0得m＝9，
故所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
法三：由题意可设所求直线的方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，
即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0，①
又因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，
所以λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
题型二 两条直线的交点和距离问题
【题型要点】(1)求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
(2)利用距离公式应注意：
①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等．
【例1】(2020·广州模拟)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________．
【答案】[0，10]
【解析】由题意得，点P到直线的距离为eq \f(|4×4－3×a－1|,5)＝eq \f(|15－3a|,5).又eq \f(|15－3a|,5)≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0，10]．
【例2】(2020·厦门模拟)若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为eq \f(2\r(13),13)，则c的值是________．
【答案】2或－6
【解析】依题意知，eq \f(6,3)＝eq \f(a,－2)≠eq \f(c,－1)，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋eq \f(c,2)＝0，又两平行线之间的距离为eq \f(2\r(13),13)，所以eq \f(|\f(c,2)＋1|,\r(32＋（－2）2))＝eq \f(2\r(13),13)，解得c＝2或－6.
题型三 对称问题
【规律与方法】(1)中心对称问题的2个类型及求解方法
①点关于点对称：
若点M(x1，y1)及N(x，y)关于点P(a，b)对称，则由中点坐标公式得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1，))进而求解；
②直线关于点的对称，主要求解方法：
(a)在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
(b)求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
(2)轴对称问题的2个类型及求解方法
①点关于直线的对称：
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，
由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y1＋y2,2)))＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(A,B)))＝－1，))
可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
②直线关于直线的对称：
一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．
类型一 点关于点的对称
【例1】过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．
【答案】 x＋4y－4＝0
【解析】 设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，
所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.
类型二 点关于线的对称
【例2】如图所示，已知两点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( )
A．2eq \r(10) B．6 C．3eq \r(3) D．2eq \r(5)
【答案】A
【解析】易得AB所在的直线方程为x＋y＝4，由于点P关于直线AB的对称点为A1(4，2)，点P关于y轴对称的点为A2(－2，0)，则光线所经过的路程即A1(4，2)与A2(－2，0)两点间的距离．于是|A1A2|＝eq \r(（4＋2）2＋（2－0）2)＝2eq \r(10).
类型三 线关于线的对称
【例3】直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是( )
A．x－2y＋3＝0 B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0
【答案】A
【解析】 设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于直线x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x＋x0,2)－\f(y＋y0,2)＋2＝0，,x－x0＝－（y－y0）))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝y－2，,y0＝x＋2，))
由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
所以2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.
题型四 直线系方程的应用
类型一 平行直线系
【解题要点】1.由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．
2.先设与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由其他条件求C1.
【例1】求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1，2)的直线l的方程．
【答案】3x＋4y－11＝0
【解析】依题意，设所求直线方程为3x＋4y＋C1＝0(C1≠1)，因为直线过点(1，2)，
所以3×1＋4×2＋C1＝0，解得C1＝－11.
因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.
类型二 垂直直线系
【题型要点】1.由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0，因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系，可以考虑用直线系方程求解．
2.先设与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0，再由其他条件求出C1.
【例2】求经过A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
【答案】
【解析】因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋C1＝0，又直线过点A(2，1)，所以有2－2×1＋C1＝0，解得C1＝0，所以所求直线方程为x－2y＝0.
类型三 过直线交点的直线系
【例3】求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．
【解析】 法一：将直线l1，l2的方程联立，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋2y－1＝0，,5x＋2y＋1＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝2，))即直线l1，l2的交点为(－1，2)．
由题意得直线l3的斜率为eq \f(3,5)，又直线l⊥l3，所以直线l的斜率为－eq \f(5,3)，
则直线l的方程是y－2＝－eq \f(5,3)(x＋1)，
即5x＋3y－1＝0.
法二：由于l⊥l3，所以可设直线l的方程是5x＋3y＋C＝0，将直线l1，l2的方程联立，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋2y－1＝0，,5x＋2y＋1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝2，))即直线l1，l2的交点为(－1，2)，则点(－1，2)在直线l上，所以5×(－1)＋3×2＋C＝0，解得C＝－1，
所以直线l的方程为5x＋3y－1＝0.
法三：设直线l的方程为3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0，
整理得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.
由于l⊥l3，所以3(3＋5λ)－5(2＋2λ)＝0，解得λ＝eq \f(1,5)，
所以直线l的方程为5x＋3y－1＝0.
类型四 直线恒过定点
【题型要点】直线Ax＋By＋C＝0恒过定点问题实际上是直线系方程问题．将问题转化为两直线的交点，即将Ax＋By＋C＝0化为(a1x＋b1y＋c1)λ＋(a2x＋b2y＋c2)＝0.通过方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1x＋b1y＋c1＝0,a2x＋b2y＋c2＝0))，即可求出直线恒过的定点．
【例4】已知λ∈R，求证直线l：(2λ＋1)x＋(3λ＋1)y－7λ－3＝0恒过定点，并求出该定点坐标．
【答案】(2，1
【解析】 将(2λ＋1)x＋(3λ＋1)y－7λ－3＝0化成
(2x＋3y－7)λ＋(x＋y－3)＝0.要使直线恒过定点，必须eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y－7＝0,x＋y－3＝0.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1.))
即直线l恒过定点(2，1)．
三、高效训练突破
一、选择题
1．已知直线l1：mx＋y－1＝0与直线l2：(m－2)x＋my－2＝0，则“m＝1”是“l1⊥l2”的( )
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A.
【解析】：由l1⊥l2，得m(m－2)＋m＝0，解得m＝0或m＝1，所以“m＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件，故选A.
2．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( )
A．1或3 B．1或5
C．3或5 D．1或2
【答案】C
【解析】：.法一：由两直线平行得，当k－3＝0时，两直线的方程分别为y＝－1和y＝eq \f(3,2)，显然两直线平行．当k－3≠0时，由eq \f(k－3,2（k－3）)＝eq \f(4－k,－2)≠eq \f(1,3)，可得k＝5.综上，k的值是3或5.
法二：当k＝3时，两直线平行，故排除B，D；当k＝1时，两直线不平行，排除A.
3．(2020·安徽江南十校二联)已知直线l1：mx－3y＋6＝0，l2：4x－3my＋12＝0，若l1∥l2，则l1，l2之间的距离为( )
A.eq \f(12\r(13),13) B．eq \f(8\r(13),13)
C.eq \f(9\r(13),13) D．eq \r(13)
【答案】A.
【解析】：由于两条直线平行，所以m·(－3m)－(－3)·4＝0，解得m＝±2，当m＝2时，两直线方程都是2x－3y＋6＝0，故两直线重合，不符合题意．当m＝－2时，l1：2x＋3y－6＝0，l2：2x＋3y＋6＝0，故l1，l2之间的距离为eq \f(|6－（－6）|,\r(22＋32))＝eq \f(12\r(13),13).故选A.
4．(2020·淮南模拟)设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x＋4y＋1＝0,3x＋2y－2＝0，此时两条直线平行；若两条直线平行，则2λ·(1－λ)＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，经检验，两者均符合，综上，“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的充分不必要条件．
5.(2020·重庆巴蜀中学模拟)已知曲线y＝eq \f(2x,x－1)在点P(2，4)处的切线与直线l平行且距离为2eq \r(5)，则直线l的方程为( )
A．2x＋y＋2＝0 B．2x＋y＋2＝0或2x＋y－18＝0
C．2x－y－18＝0 D．2x－y＋2＝0或2x－y－18＝0
【答案】B
【解析】y′＝eq \f(2x－1－2x,x－12)＝－eq \f(2,x－12)，当x＝2时，y′＝－eq \f(2,2－12)＝－2，因此kl＝－2，则设直线l方程为y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，由题意知eq \f(|2×2＋4－b|,\r(5))＝2eq \r(5)，解得b＝18或b＝－2，所以直线l的方程为2x＋y－18＝0或2x＋y＋2＝0.故选B.
6.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A.eq \f(9,5) B.eq \f(18,5)
C.eq \f(29,10) D.eq \f(29,5)
【答案】C
【解析】易知直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0平行，所以|PQ|的最小值就是这两条平行线间的距离.6x＋8y＋5＝0可化为3x＋4y＋eq \f(5,2)＝0，则这两条平行线间的距离是eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－12－\f(5,2))),\r(32＋42))＝eq \f(29,10).
7.已知过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行，则m的值为( )
A．－1 B．－2
C．2 D．1
【答案 B
【解析】由题意得，kAB＝eq \f(m－0,－5－m＋1)＝eq \f(m,－6－m)，kCD＝eq \f(5－3,0－－4)＝eq \f(1,2).由于AB∥CD，即kAB＝kCD，所以eq \f(m,－6－m)＝eq \f(1,2)，所以m＝－2.
8.(2020·葫芦岛模拟)当点P(3,2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值为( )
A．3 B．0
C．－1 D．1
【答案】C
【解析】直线mx－y＋1－2m＝0可化为y＝m(x－2)＋1，故直线过定点Q(2,1)，当PQ和直线垂直时，距离取得最大值，故m·kPQ＝m·eq \f(2－1,3－2)＝m·1＝－1，m＝－1.
9.已知直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，则直线l的一般式方程为( )
A．3x－y＋5＝0 B．3x＋y＋1＝0
C．x－3y＋7＝0 D．x＋3y－5＝0
【答案】B
【解析】设l与l1的交点坐标为A(a，y1)，l与l2的交点坐标为B(b，y2)，∴y1＝－4a－3，y2＝eq \f(3b,5)－1，由中点坐标公式得eq \f(a＋b,2)＝－1，eq \f(y1＋y2,2)＝2，即a＋b＝－2，(－4a－3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3b,5)－1))＝4，解得a＝－2，b＝0，∴A(－2,5)，B(0，－1)，∴l的方程为3x＋y＋1＝0.
10.已知b＞0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0垂直，则ab的最小值为( )
A．1 B．2
C．2eq \r(2) D．2eq \r(3)
【答案】B
【解析】由已知两直线垂直，得(b2＋1)－ab2＝0，即ab2＝b2＋1，又b＞0，∴ab＝b＋eq \f(1,b).由基本不等式得b＋eq \f(1,b)≥2 eq \r(b·\f(1,b))＝2，当且仅当b＝1时等号成立，∴(ab)min＝2.故选B.
11.已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C的坐标为 ( )
A．(－2，4) B．(－2，－4)
C．(2，4) D．(2，－4)
【答案】C.
【解析】：设A(－4，2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y－2,x＋4)×2＝－1，,\f(y＋2,2)＝2×\f(－4＋x,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－2，))所以BC所在的直线方程为y－1＝eq \f(－2－1,4－3)(x－3)，即3x＋y－10＝0.同理可得点B(3，1)关于直线y＝2x的对称点为(－1，3)，所以AC所在的直线方程为y－2＝eq \f(3－2,－1－（－4）)·(x＋4)，即x－3y＋10＝0.联立得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋y－10＝0，,x－3y＋10＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4，))则C(2，4)．故选C.
12.(2020·保定模拟)设点P为直线l：x＋y－4＝0上的动点，点A(－2,0)，B(2,0)，则|PA|＋|PB|的最小值为( )
A．2eq \r(10) B.eq \r(26)
C．2eq \r(5) D.eq \r(10)
【答案】A
【解析】依据题意作出图象如下，
设点B(2,0)关于直线l的对称点为B1(a，b)，则它们的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋2,2)，\f(b,2)))，且|PB|＝|PB1|，由对称性，得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b－0,a－2)×－1＝－1，,\f(a＋2,2)＋\f(b,2)－4＝0，))解得a＝4，b＝2，所以B1(4,2)，因为|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PB1|，所以当A，P，B1三点共线时，|PA|＋|PB|最小，此时最小值为|AB1|＝eq \r(4＋22＋2－02)＝2eq \r(10).
二、填空题
1.与直线l1：3x＋2y－6＝0和直线l2：6x＋4y－3＝0等距离的直线方程是________．
【答案】：12x＋8y－15＝0
【解析】：l2：6x＋4y－3＝0化为3x＋2y－eq \f(3,2)＝0，所以l1与l2平行，设与l1，l2等距离的直线l的方程为3x＋2y＋c＝0，则：|c＋6|＝|c＋eq \f(3,2)|，解得c＝－eq \f(15,4)，所以l的方程为12x＋8y－15＝0.
2．l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．
【答案】：x＋2y－3＝0
【解析】：当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．又kAB＝eq \f(－1－1,0－1)＝2，所以两条平行直线的斜率为k＝－eq \f(1,2)，所以直线l1的方程是y－1＝－eq \f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.
3．已知点A(－1，2)，B(3，4)．P是x轴上一点，且|PA|＝|PB|，则△PAB的面积为________．
【答案】：eq \f(15,2)
【解析】：设AB的中点坐标为M(1，3)，
kAB＝eq \f(4－2,3－（－1）)＝eq \f(1,2)，
所以AB的中垂线方程为y－3＝－2(x－1)．
即2x＋y－5＝0.
令y＝0，则x＝eq \f(5,2)，
即P点的坐标为(eq \f(5,2)，0)，
|AB|＝eq \r(（－1－3）2＋（2－4）2)＝2eq \r(5).
点P到AB的距离为|PM|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(5,2)))\s\up12(2)＋32)＝eq \f(3\r(5),2).
所以S△PAB＝eq \f(1,2)|AB|·|PM|＝eq \f(1,2)×2eq \r(5)×eq \f(3\r(5),2)＝eq \f(15,2).
4．点(2,1)关于直线x－y＋1＝0的对称点为________．
【答案】(0,3)
【解析】设对称点为(x0，y0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y0－1,x0－2)＝－1，,\f(x0＋2,2)－\f(y0＋1,2)＋1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝0，,y0＝3，))故所求对称点为(0,3)．
5．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为eq \f(2\r(13),13)，则实数c的值是________．
【答案】 2或－6
【解析】直线6x＋ay＋c＝0的方程可化为3x＋eq \f(a,2)y＋eq \f(c,2)＝0，由题意得eq \f(a,2)＝－2且eq \f(c,2)≠－1，解得a＝－4，c≠－2.根据两平行直线的距离为eq \f(2\r(13),13)，得eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－1－\f(c,2))),\r(32＋－22))＝eq \f(2\r(13),13)，所以1＋eq \f(c,2)＝±2，解得c＝2或－6.
6．以A(1,1)，B(3,2)，C(5,4)为顶点的△ABC，其边AB上的高所在的直线方程是________．
【答案】2x＋y－14＝0
【解析】由A，B两点得kAB＝eq \f(1,2)，则边AB上的高所在直线的斜率为－2，故所求直线方程是y－4＝－2(x－5)，即2x＋y－14＝0.
7.已知曲线y＝eq \f(4,x)在点P(1,4)处的切线与直线l平行且两直线之间的距离为eq \r(17)，则直线l的方程为________．
【答案】 4x＋y＋9＝0或4x＋y－25＝0
【解析】 y′＝－eq \f(4,x2)，所以曲线y＝eq \f(4,x)在点P(1,4)处的切线的斜率k＝－eq \f(4,12)＝－4，则切线方程为y－4＝－4(x－1)，即4x＋y－8＝0.所以可设直线l的方程为4x＋y＋C＝0，由eq \f(|C＋8|,\r(42＋1))＝eq \r(17)，得C＝9 或C＝－25，所以所求直线方程为4x＋y＋9＝0或4x＋y－25＝0.
8．在△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为________．
【答案】6x－5y－9＝0
【解析】由AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0可以知道kAC＝－2，又A(5,1)，
AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0，
联立直线AC与直线CM方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－11＝0，,2x－y－5＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝3，))所以顶点C的坐标为C(4,3)．
设B(x0，y0)，AB的中点M为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0＋5,2)，\f(y0＋1,2)))，
由M在直线2x－y－5＝0上，得2x0－y0－1＝0，
B在直线x－2y－5＝0上，得x0－2y0－5＝0，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x0－y0－1＝0，,x0－2y0－5＝0.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－1，,y0＝－3，))
所以顶点B的坐标为(－1，－3)．
于是直线BC的方程为6x－5y－9＝0.
三 解答题
1.已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
【答案】见解析
【解析】：(1)因为l1⊥l2，
所以a(a－1)－b＝0.
又因为直线l1过点(－3，－1)，
所以－3a＋b＋4＝0.
故a＝2，b＝2.
(2)因为直线l2的斜率存在，l1∥l2，
所以直线l1的斜率存在．
所以eq \f(a,b)＝1－a.①
又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，
所以l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即eq \f(4,b)＝b.②
联立①②可得a＝2，b＝－2或a＝eq \f(2,3)，b＝2.
2.在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：
(1)P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大；
(2)P到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小．
【答案】见解析
【解析】：
(1)如图，设B关于l的对称点为B′，AB′的延长线交l于P0，在l上另任取一点P，则|PA|－|PB|＝|PA|－|PB′|<|AB′|＝|P0A|－|P0B′|＝|P0A|－|P0B|，则P0即为所求．
易求得直线BB′的方程为x＋3y－12＝0，
设B′(a，b)，则a＋3b－12＝0，①
又线段BB′的中点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，\f(b＋4,2)))在l上，故3a－b－6＝0.②
由①②解得a＝3，b＝3，
所以B′(3，3)．
所以AB′所在直线的方程为2x＋y－9＝0.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y－9＝0，,3x－y－1＝0))可得P0(2，5)．
(2)设C关于l的对称点为C′，与(1)同理可得C′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(24,5))).
连接AC′交l于P1，在l上另任取一点P，有|PA|＋|PC|＝|PA|＋|PC′|>|AC′|＝|P1C′|＋|P1A|＝|P1C|＋|P1A|，故P1即为所求．
又AC′所在直线的方程为19x＋17y－93＝0，
故由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(19x＋17y－93＝0，,3x－y－1＝0))可得P1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,7)，\f(26,7))).
3.已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3,4)．
(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标；
(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．
【答案】见解析
【解析】(1)证明：直线l的方程可化为a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＋1＝0，,x＋y－1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝3，))
所以直线l恒过定点(－2,3)．
(2)由(1)知直线l恒过定点A(－2,3)，
当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大．
又因为直线PA的斜率kPA＝eq \f(4－3,3＋2)＝eq \f(1,5)，
所以直线l的斜率kl＝－5.
故直线l的方程为y－3＝－5(x＋2)，即5x＋y＋7＝0.
点点距
点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离
|P1P2|＝
eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)
点线距
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
线线距
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离
d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc30106" 一、考点全归纳 PAGEREF _Tc30106 2
\l "_Tc17758" 二、题型全归纳 PAGEREF _Tc17758 3
\l "_Tc12441" 题型一 两直线的位置关系 PAGEREF _Tc12441 3
\l "_Tc14531" 类型一 判断两直线的位置关系 PAGEREF _Tc14531 4
\l "_Tc30313" 类型二 由两直线的位置关系求参数 PAGEREF _Tc30313 4
\l "_Tc24568" 类型三 由两直线的位置关系求直线方程 PAGEREF _Tc24568 5
\l "_Tc3317" 题型二 两条直线的交点和距离问题 PAGEREF _Tc3317 6
\l "_Tc10309" 题型三 对称问题 PAGEREF _Tc10309 7
\l "_Tc6877" 类型一 点关于点的对称 PAGEREF _Tc6877 7
\l "_Tc29209" 类型二 点关于线的对称 PAGEREF _Tc29209 8
\l "_Tc3782" 类型三 线关于线的对称 PAGEREF _Tc3782 8
\l "_Tc845" 题型四 直线系方程的应用 PAGEREF _Tc845 9
\l "_Tc28926" 类型一 平行直线系 PAGEREF _Tc28926 9
\l "_Tc1354" 类型二 垂直直线系 PAGEREF _Tc1354 9
\l "_Tc12989" 类型四 直线恒过定点 PAGEREF _Tc12989 10
\l "_Tc9233" 三、高效训练突破 PAGEREF _Tc9233 11
一、考点全归纳
1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率都存在且分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2；特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行．
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．
2．两直线相交
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一一对应．
相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
平行⇔方程组无解；
重合⇔方程组有无数个解．
3．三种距离
【常用结论】
1．两个充要条件
(1)两直线平行或重合的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.
(2)两直线垂直的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.
2．六种常见对称
(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
(6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
3．三种直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
二、题型全归纳
题型一 两直线的位置关系
【解题要点】两直线平行、垂直的判断方法
若已知两直线的斜率存在．
(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等．
(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.
【提醒】判断两条直线的位置关系应注意：
(1)注意斜率不存在的特殊情况．
(2)注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
类型一 判断两直线的位置关系
【例1】(2020·天津静海区联考)“a＝1”是“直线ax＋2y－8＝0与直线x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】设直线l1：ax＋2y－8＝0，直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0.若l1与l2平行，则a(a＋1)－2＝0，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2.当a＝－2时，直线l1的方程为－2x＋2y－8＝0，即x－y＋4＝0，直线l2的方程为x－y＋4＝0，此时两直线重合，则a≠－2.当a＝1时，直线l1的方程为x＋2y－8＝0，直线l2的方程为x＋2y＋4＝0，此时两直线平行．故“a＝1”是“直线ax＋2y－8＝0与直线x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的充要条件．故选A.
类型二 由两直线的位置关系求参数
【例2】(2020·安徽芜湖四校联考)直线(2m－1)x＋my＋1＝0和直线mx＋3y＋3＝0垂直，则实数m的值为( )
A．1 B．0
C．2 D．－1或0
【答案】D
【解析】由两直线垂直可得m(2m－1)＋3m＝0，解得m＝0或－1.故选D.
【例3】(2020·陕西宝鸡中学二模)若直线x＋(1＋m)y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是( )
A．1 B．－2
C．1或－2 D．－eq \f(3,2)
【答案】A
【答案】①当m＝－1时，两直线方程分别为x－2＝0和x－2y－4＝0，此时两直线相交，不符合题意．②当m≠－1时，两直线的斜率都存在，由两直线平行可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(1,1＋m)＝－\f(m,2)，,\f(2,1＋m)≠－2，))解得m＝1.综上可得m＝1.故选A.
类型三 由两直线的位置关系求直线方程
【例4】经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线的方程为________．
【答案】 4x－3y＋9＝0
【解析】 法一：由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＋1＝0，,x－3y＋4＝0))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(5,3)，,y＝\f(7,9)，))即交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)，\f(7,9)))，
因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
所以所求直线的斜率为k＝eq \f(4,3).
由点斜式得所求直线方程为y－eq \f(7,9)＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(5,3)))，
即4x－3y＋9＝0.
法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0，
由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＋1＝0，,x－3y＋4＝0))可解得交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)，\f(7,9)))，
代入4x－3y＋m＝0得m＝9，
故所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
法三：由题意可设所求直线的方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，
即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0，①
又因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，
所以λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
题型二 两条直线的交点和距离问题
【题型要点】(1)求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
(2)利用距离公式应注意：
①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等．
【例1】(2020·广州模拟)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________．
【答案】[0，10]
【解析】由题意得，点P到直线的距离为eq \f(|4×4－3×a－1|,5)＝eq \f(|15－3a|,5).又eq \f(|15－3a|,5)≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0，10]．
【例2】(2020·厦门模拟)若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为eq \f(2\r(13),13)，则c的值是________．
【答案】2或－6
【解析】依题意知，eq \f(6,3)＝eq \f(a,－2)≠eq \f(c,－1)，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋eq \f(c,2)＝0，又两平行线之间的距离为eq \f(2\r(13),13)，所以eq \f(|\f(c,2)＋1|,\r(32＋（－2）2))＝eq \f(2\r(13),13)，解得c＝2或－6.
题型三 对称问题
【规律与方法】(1)中心对称问题的2个类型及求解方法
①点关于点对称：
若点M(x1，y1)及N(x，y)关于点P(a，b)对称，则由中点坐标公式得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1，))进而求解；
②直线关于点的对称，主要求解方法：
(a)在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
(b)求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
(2)轴对称问题的2个类型及求解方法
①点关于直线的对称：
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，
由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y1＋y2,2)))＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(A,B)))＝－1，))
可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
②直线关于直线的对称：
一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．
类型一 点关于点的对称
【例1】过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．
【答案】 x＋4y－4＝0
【解析】 设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，
所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.
类型二 点关于线的对称
【例2】如图所示，已知两点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( )
A．2eq \r(10) B．6 C．3eq \r(3) D．2eq \r(5)
【答案】A
【解析】易得AB所在的直线方程为x＋y＝4，由于点P关于直线AB的对称点为A1(4，2)，点P关于y轴对称的点为A2(－2，0)，则光线所经过的路程即A1(4，2)与A2(－2，0)两点间的距离．于是|A1A2|＝eq \r(（4＋2）2＋（2－0）2)＝2eq \r(10).
类型三 线关于线的对称
【例3】直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是( )
A．x－2y＋3＝0 B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0
【答案】A
【解析】 设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于直线x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x＋x0,2)－\f(y＋y0,2)＋2＝0，,x－x0＝－（y－y0）))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝y－2，,y0＝x＋2，))
由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
所以2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.
题型四 直线系方程的应用
类型一 平行直线系
【解题要点】1.由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．
2.先设与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由其他条件求C1.
【例1】求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1，2)的直线l的方程．
【答案】3x＋4y－11＝0
【解析】依题意，设所求直线方程为3x＋4y＋C1＝0(C1≠1)，因为直线过点(1，2)，
所以3×1＋4×2＋C1＝0，解得C1＝－11.
因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.
类型二 垂直直线系
【题型要点】1.由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0，因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系，可以考虑用直线系方程求解．
2.先设与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0，再由其他条件求出C1.
【例2】求经过A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
【答案】
【解析】因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋C1＝0，又直线过点A(2，1)，所以有2－2×1＋C1＝0，解得C1＝0，所以所求直线方程为x－2y＝0.
类型三 过直线交点的直线系
【例3】求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．
【解析】 法一：将直线l1，l2的方程联立，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋2y－1＝0，,5x＋2y＋1＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝2，))即直线l1，l2的交点为(－1，2)．
由题意得直线l3的斜率为eq \f(3,5)，又直线l⊥l3，所以直线l的斜率为－eq \f(5,3)，
则直线l的方程是y－2＝－eq \f(5,3)(x＋1)，
即5x＋3y－1＝0.
法二：由于l⊥l3，所以可设直线l的方程是5x＋3y＋C＝0，将直线l1，l2的方程联立，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋2y－1＝0，,5x＋2y＋1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝2，))即直线l1，l2的交点为(－1，2)，则点(－1，2)在直线l上，所以5×(－1)＋3×2＋C＝0，解得C＝－1，
所以直线l的方程为5x＋3y－1＝0.
法三：设直线l的方程为3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0，
整理得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.
由于l⊥l3，所以3(3＋5λ)－5(2＋2λ)＝0，解得λ＝eq \f(1,5)，
所以直线l的方程为5x＋3y－1＝0.
类型四 直线恒过定点
【题型要点】直线Ax＋By＋C＝0恒过定点问题实际上是直线系方程问题．将问题转化为两直线的交点，即将Ax＋By＋C＝0化为(a1x＋b1y＋c1)λ＋(a2x＋b2y＋c2)＝0.通过方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1x＋b1y＋c1＝0,a2x＋b2y＋c2＝0))，即可求出直线恒过的定点．
【例4】已知λ∈R，求证直线l：(2λ＋1)x＋(3λ＋1)y－7λ－3＝0恒过定点，并求出该定点坐标．
【答案】(2，1
【解析】 将(2λ＋1)x＋(3λ＋1)y－7λ－3＝0化成
(2x＋3y－7)λ＋(x＋y－3)＝0.要使直线恒过定点，必须eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y－7＝0,x＋y－3＝0.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1.))
即直线l恒过定点(2，1)．
三、高效训练突破
一、选择题
1．已知直线l1：mx＋y－1＝0与直线l2：(m－2)x＋my－2＝0，则“m＝1”是“l1⊥l2”的( )
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A.
【解析】：由l1⊥l2，得m(m－2)＋m＝0，解得m＝0或m＝1，所以“m＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件，故选A.
2．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( )
A．1或3 B．1或5
C．3或5 D．1或2
【答案】C
【解析】：.法一：由两直线平行得，当k－3＝0时，两直线的方程分别为y＝－1和y＝eq \f(3,2)，显然两直线平行．当k－3≠0时，由eq \f(k－3,2（k－3）)＝eq \f(4－k,－2)≠eq \f(1,3)，可得k＝5.综上，k的值是3或5.
法二：当k＝3时，两直线平行，故排除B，D；当k＝1时，两直线不平行，排除A.
3．(2020·安徽江南十校二联)已知直线l1：mx－3y＋6＝0，l2：4x－3my＋12＝0，若l1∥l2，则l1，l2之间的距离为( )
A.eq \f(12\r(13),13) B．eq \f(8\r(13),13)
C.eq \f(9\r(13),13) D．eq \r(13)
【答案】A.
【解析】：由于两条直线平行，所以m·(－3m)－(－3)·4＝0，解得m＝±2，当m＝2时，两直线方程都是2x－3y＋6＝0，故两直线重合，不符合题意．当m＝－2时，l1：2x＋3y－6＝0，l2：2x＋3y＋6＝0，故l1，l2之间的距离为eq \f(|6－（－6）|,\r(22＋32))＝eq \f(12\r(13),13).故选A.
4．(2020·淮南模拟)设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x＋4y＋1＝0,3x＋2y－2＝0，此时两条直线平行；若两条直线平行，则2λ·(1－λ)＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，经检验，两者均符合，综上，“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的充分不必要条件．
5.(2020·重庆巴蜀中学模拟)已知曲线y＝eq \f(2x,x－1)在点P(2，4)处的切线与直线l平行且距离为2eq \r(5)，则直线l的方程为( )
A．2x＋y＋2＝0 B．2x＋y＋2＝0或2x＋y－18＝0
C．2x－y－18＝0 D．2x－y＋2＝0或2x－y－18＝0
【答案】B
【解析】y′＝eq \f(2x－1－2x,x－12)＝－eq \f(2,x－12)，当x＝2时，y′＝－eq \f(2,2－12)＝－2，因此kl＝－2，则设直线l方程为y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，由题意知eq \f(|2×2＋4－b|,\r(5))＝2eq \r(5)，解得b＝18或b＝－2，所以直线l的方程为2x＋y－18＝0或2x＋y＋2＝0.故选B.
6.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A.eq \f(9,5) B.eq \f(18,5)
C.eq \f(29,10) D.eq \f(29,5)
【答案】C
【解析】易知直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0平行，所以|PQ|的最小值就是这两条平行线间的距离.6x＋8y＋5＝0可化为3x＋4y＋eq \f(5,2)＝0，则这两条平行线间的距离是eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－12－\f(5,2))),\r(32＋42))＝eq \f(29,10).
7.已知过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行，则m的值为( )
A．－1 B．－2
C．2 D．1
【答案 B
【解析】由题意得，kAB＝eq \f(m－0,－5－m＋1)＝eq \f(m,－6－m)，kCD＝eq \f(5－3,0－－4)＝eq \f(1,2).由于AB∥CD，即kAB＝kCD，所以eq \f(m,－6－m)＝eq \f(1,2)，所以m＝－2.
8.(2020·葫芦岛模拟)当点P(3,2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值为( )
A．3 B．0
C．－1 D．1
【答案】C
【解析】直线mx－y＋1－2m＝0可化为y＝m(x－2)＋1，故直线过定点Q(2,1)，当PQ和直线垂直时，距离取得最大值，故m·kPQ＝m·eq \f(2－1,3－2)＝m·1＝－1，m＝－1.
9.已知直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，则直线l的一般式方程为( )
A．3x－y＋5＝0 B．3x＋y＋1＝0
C．x－3y＋7＝0 D．x＋3y－5＝0
【答案】B
【解析】设l与l1的交点坐标为A(a，y1)，l与l2的交点坐标为B(b，y2)，∴y1＝－4a－3，y2＝eq \f(3b,5)－1，由中点坐标公式得eq \f(a＋b,2)＝－1，eq \f(y1＋y2,2)＝2，即a＋b＝－2，(－4a－3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3b,5)－1))＝4，解得a＝－2，b＝0，∴A(－2,5)，B(0，－1)，∴l的方程为3x＋y＋1＝0.
10.已知b＞0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0垂直，则ab的最小值为( )
A．1 B．2
C．2eq \r(2) D．2eq \r(3)
【答案】B
【解析】由已知两直线垂直，得(b2＋1)－ab2＝0，即ab2＝b2＋1，又b＞0，∴ab＝b＋eq \f(1,b).由基本不等式得b＋eq \f(1,b)≥2 eq \r(b·\f(1,b))＝2，当且仅当b＝1时等号成立，∴(ab)min＝2.故选B.
11.已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C的坐标为 ( )
A．(－2，4) B．(－2，－4)
C．(2，4) D．(2，－4)
【答案】C.
【解析】：设A(－4，2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y－2,x＋4)×2＝－1，,\f(y＋2,2)＝2×\f(－4＋x,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－2，))所以BC所在的直线方程为y－1＝eq \f(－2－1,4－3)(x－3)，即3x＋y－10＝0.同理可得点B(3，1)关于直线y＝2x的对称点为(－1，3)，所以AC所在的直线方程为y－2＝eq \f(3－2,－1－（－4）)·(x＋4)，即x－3y＋10＝0.联立得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋y－10＝0，,x－3y＋10＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4，))则C(2，4)．故选C.
12.(2020·保定模拟)设点P为直线l：x＋y－4＝0上的动点，点A(－2,0)，B(2,0)，则|PA|＋|PB|的最小值为( )
A．2eq \r(10) B.eq \r(26)
C．2eq \r(5) D.eq \r(10)
【答案】A
【解析】依据题意作出图象如下，
设点B(2,0)关于直线l的对称点为B1(a，b)，则它们的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋2,2)，\f(b,2)))，且|PB|＝|PB1|，由对称性，得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b－0,a－2)×－1＝－1，,\f(a＋2,2)＋\f(b,2)－4＝0，))解得a＝4，b＝2，所以B1(4,2)，因为|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PB1|，所以当A，P，B1三点共线时，|PA|＋|PB|最小，此时最小值为|AB1|＝eq \r(4＋22＋2－02)＝2eq \r(10).
二、填空题
1.与直线l1：3x＋2y－6＝0和直线l2：6x＋4y－3＝0等距离的直线方程是________．
【答案】：12x＋8y－15＝0
【解析】：l2：6x＋4y－3＝0化为3x＋2y－eq \f(3,2)＝0，所以l1与l2平行，设与l1，l2等距离的直线l的方程为3x＋2y＋c＝0，则：|c＋6|＝|c＋eq \f(3,2)|，解得c＝－eq \f(15,4)，所以l的方程为12x＋8y－15＝0.
2．l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．
【答案】：x＋2y－3＝0
【解析】：当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．又kAB＝eq \f(－1－1,0－1)＝2，所以两条平行直线的斜率为k＝－eq \f(1,2)，所以直线l1的方程是y－1＝－eq \f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.
3．已知点A(－1，2)，B(3，4)．P是x轴上一点，且|PA|＝|PB|，则△PAB的面积为________．
【答案】：eq \f(15,2)
【解析】：设AB的中点坐标为M(1，3)，
kAB＝eq \f(4－2,3－（－1）)＝eq \f(1,2)，
所以AB的中垂线方程为y－3＝－2(x－1)．
即2x＋y－5＝0.
令y＝0，则x＝eq \f(5,2)，
即P点的坐标为(eq \f(5,2)，0)，
|AB|＝eq \r(（－1－3）2＋（2－4）2)＝2eq \r(5).
点P到AB的距离为|PM|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(5,2)))\s\up12(2)＋32)＝eq \f(3\r(5),2).
所以S△PAB＝eq \f(1,2)|AB|·|PM|＝eq \f(1,2)×2eq \r(5)×eq \f(3\r(5),2)＝eq \f(15,2).
4．点(2,1)关于直线x－y＋1＝0的对称点为________．
【答案】(0,3)
【解析】设对称点为(x0，y0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y0－1,x0－2)＝－1，,\f(x0＋2,2)－\f(y0＋1,2)＋1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝0，,y0＝3，))故所求对称点为(0,3)．
5．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为eq \f(2\r(13),13)，则实数c的值是________．
【答案】 2或－6
【解析】直线6x＋ay＋c＝0的方程可化为3x＋eq \f(a,2)y＋eq \f(c,2)＝0，由题意得eq \f(a,2)＝－2且eq \f(c,2)≠－1，解得a＝－4，c≠－2.根据两平行直线的距离为eq \f(2\r(13),13)，得eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－1－\f(c,2))),\r(32＋－22))＝eq \f(2\r(13),13)，所以1＋eq \f(c,2)＝±2，解得c＝2或－6.
6．以A(1,1)，B(3,2)，C(5,4)为顶点的△ABC，其边AB上的高所在的直线方程是________．
【答案】2x＋y－14＝0
【解析】由A，B两点得kAB＝eq \f(1,2)，则边AB上的高所在直线的斜率为－2，故所求直线方程是y－4＝－2(x－5)，即2x＋y－14＝0.
7.已知曲线y＝eq \f(4,x)在点P(1,4)处的切线与直线l平行且两直线之间的距离为eq \r(17)，则直线l的方程为________．
【答案】 4x＋y＋9＝0或4x＋y－25＝0
【解析】 y′＝－eq \f(4,x2)，所以曲线y＝eq \f(4,x)在点P(1,4)处的切线的斜率k＝－eq \f(4,12)＝－4，则切线方程为y－4＝－4(x－1)，即4x＋y－8＝0.所以可设直线l的方程为4x＋y＋C＝0，由eq \f(|C＋8|,\r(42＋1))＝eq \r(17)，得C＝9 或C＝－25，所以所求直线方程为4x＋y＋9＝0或4x＋y－25＝0.
8．在△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为________．
【答案】6x－5y－9＝0
【解析】由AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0可以知道kAC＝－2，又A(5,1)，
AC边所在直线方程为2x＋y－11＝0，
联立直线AC与直线CM方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－11＝0，,2x－y－5＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝3，))所以顶点C的坐标为C(4,3)．
设B(x0，y0)，AB的中点M为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0＋5,2)，\f(y0＋1,2)))，
由M在直线2x－y－5＝0上，得2x0－y0－1＝0，
B在直线x－2y－5＝0上，得x0－2y0－5＝0，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x0－y0－1＝0，,x0－2y0－5＝0.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－1，,y0＝－3，))
所以顶点B的坐标为(－1，－3)．
于是直线BC的方程为6x－5y－9＝0.
三 解答题
1.已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
【答案】见解析
【解析】：(1)因为l1⊥l2，
所以a(a－1)－b＝0.
又因为直线l1过点(－3，－1)，
所以－3a＋b＋4＝0.
故a＝2，b＝2.
(2)因为直线l2的斜率存在，l1∥l2，
所以直线l1的斜率存在．
所以eq \f(a,b)＝1－a.①
又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，
所以l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即eq \f(4,b)＝b.②
联立①②可得a＝2，b＝－2或a＝eq \f(2,3)，b＝2.
2.在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：
(1)P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大；
(2)P到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小．
【答案】见解析
【解析】：
(1)如图，设B关于l的对称点为B′，AB′的延长线交l于P0，在l上另任取一点P，则|PA|－|PB|＝|PA|－|PB′|<|AB′|＝|P0A|－|P0B′|＝|P0A|－|P0B|，则P0即为所求．
易求得直线BB′的方程为x＋3y－12＝0，
设B′(a，b)，则a＋3b－12＝0，①
又线段BB′的中点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，\f(b＋4,2)))在l上，故3a－b－6＝0.②
由①②解得a＝3，b＝3，
所以B′(3，3)．
所以AB′所在直线的方程为2x＋y－9＝0.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y－9＝0，,3x－y－1＝0))可得P0(2，5)．
(2)设C关于l的对称点为C′，与(1)同理可得C′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(24,5))).
连接AC′交l于P1，在l上另任取一点P，有|PA|＋|PC|＝|PA|＋|PC′|>|AC′|＝|P1C′|＋|P1A|＝|P1C|＋|P1A|，故P1即为所求．
又AC′所在直线的方程为19x＋17y－93＝0，
故由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(19x＋17y－93＝0，,3x－y－1＝0))可得P1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,7)，\f(26,7))).
3.已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3,4)．
(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标；
(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．
【答案】见解析
【解析】(1)证明：直线l的方程可化为a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＋1＝0，,x＋y－1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝3，))
所以直线l恒过定点(－2,3)．
(2)由(1)知直线l恒过定点A(－2,3)，
当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大．
又因为直线PA的斜率kPA＝eq \f(4－3,3＋2)＝eq \f(1,5)，
所以直线l的斜率kl＝－5.
故直线l的方程为y－3＝－5(x＋2)，即5x＋y＋7＝0.
点点距
点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离
|P1P2|＝
eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)
点线距
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
线线距
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离
d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))
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