高考复习《两直线的位置关系》课时作业9.2

这是一份高考复习《两直线的位置关系》课时作业9.2，共7页。

1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．不能确定
C 直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率k2＝－eq \f(1,2)，则k1≠k2，且k1k2≠－1.故选C.
2．(2020·昆明诊断)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为( )
A．1 B．2
C.eq \r(2) D．2eq \r(2)
C 圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心坐标为(－1，0)，由y＝x＋3得x－y＋3＝0，则圆心到直线的距离d＝eq \f(|－1－0＋3|,\r(12＋（－1）2))＝eq \r(2).
3．从点(2，3)射出的光线沿与向量a＝(8，4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为( )
A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋6y－16＝0 D．6x＋y－8＝0
A 由直线与向量a＝(8，4)平行知，过点(2，3)的直线的斜率k＝eq \f(1,2)，所以直线的方程为y－3＝eq \f(1,2)(x－2)，其与y轴的交点坐标为(0，2)，又点(2，3)关于y轴的对称点为(－2，3)，所以反射光线过点(－2，3)与(0，2)，由两点式知A正确．
4．(2020·兰州一模)一只虫子从点O(0，0)出发，先爬行到直线l：x－y＋1＝0上的P点，再从P点出发爬行到点A(1，1)，则虫子爬行的最短路程是( )
A.eq \r(2) B．2
C．3 D．4
B 点O(0，0)关于直线x－y＋1＝0的对称点为O′(－1，1)，则虫子爬行的最短路程为|O′A|＝eq \r(（1＋1）2＋（1－1）2)＝2.故选B.
5．(2020·河北五校联盟质检)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为( )
A.eq \r(2) B.eq \f(8\r(2),3)
C.eq \r(3) D.eq \f(8\r(3),3)
B 因为a＝0或a＝2时，l1与l2均不平行，所以a≠0且a≠2.因为l1∥l2，所以eq \f(1,a－2)＝eq \f(a,3)≠eq \f(6,2a)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a（a－2）＝3，,2a2≠18，,a≠2，,a≠0，))解得a＝－1，所以l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋eq \f(2,3)＝0，所以l1与l2之间的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(6－\f(2,3))),\r(2))＝eq \f(8\r(2),3).故选B.
6．(2019·广东江门模拟)已知三条直线l1：4x＋y＝1，l2：x－y＝0，l3：2x－my＝3，若l1关于l2对称的直线与l3垂直，则实数m的值是( )
A．－8 B．－eq \f(1,2)
C．8 D.eq \f(1,2)
D 易知直线l1：4x＋y＝1关于直线l2：x－y＝0对称的直线方程为x＋4y＝1，又l3：2x－my＝3，故由题意得1×2＋4×(－m)＝0，∴m＝eq \f(1,2)，故选D.
7．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．
解析 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x，,x＋y＝3，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2.))
∴点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0，
即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9.
答案 －9
8．(2020·豫南豫北精英对抗赛)直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点N，则直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直线方程为( )
A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0
C．2x－3y＋12＝0 D．2x－3y－12＝0
B 由ax＋y＋3a－1＝0可得a(x＋3)＋y－1＝0，
令eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋3＝0，,y－1＝0，))可得x＝－3，y＝1，∴N(－3，1)．
设直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)．
则eq \f(|－6＋3－6|,\r(4＋9))＝eq \f(|－6＋3＋c|,\r(4＋9))，解得c＝12或c＝－6(舍去)．
∴所求直线方程为2x＋3y＋12＝0，故选B.
9．(2020·浙江嘉兴一中月考)已知直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则a＝________，此时点P的坐标为________．
解析 ∵直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，且l1⊥l2，∴a×1＋1×(a－2)＝0，
即a＝1，联立方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－6＝0，,x－y＝0，))
易得x＝3，y＝3，∴P(3，3)．
答案 1 (3，3)
10．已知直线l1：ax＋y－1＝0，直线l2：x－y－3＝0，若直线l1的倾斜角为eq \f(π,4)，则a＝________；若l1⊥l2，则a＝________；若l1∥l2，则两平行直线间的距离为________．
解析 若直线l1的倾斜角为eq \f(π,4)，则－a＝k＝taneq \f(π,4)＝1，故a＝－1；若l1⊥l2，则a×1＋1×(－1)＝0，故a＝1；若l1∥l2，则a＝－1，l1：x－y＋1＝0，两平行直线间的距离d＝eq \f(|1－（－3）|,\r(1＋1))＝2eq \r(2).
答案 －1 1 2eq \r(2)
11．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2，2)．
(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4eq \r(2).
解 (1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．
∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y－6＝0，,x－y－4＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－2，))故直线经过的定点为M(2，－2)．
(2)证明：过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，
此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.
但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，
∴M与Q不可能重合，而|PM|＝4eq \r(2)，∴|PQ|<4eq \r(2)，故所证成立．
12．已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a＞0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是eq \f(7\r(5),10).
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：
①点P在第一象限；
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的eq \f(1,2)；
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是eq \r(2)∶eq \r(5).
若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由．
解 (1)直线l2：2x－y－eq \f(1,2)＝0，所以两条平行直线l1与l2间的距离为d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))),\r(22＋（－1）2))＝eq \f(7\r(5),10)，
所以eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2))),\r(5))＝eq \f(7\r(5),10)，即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)))＝eq \f(7,2)，
又a＞0，解得a＝3.
(2)假设存在点P，设点P(x0，y0)．
若点P满足条件②，
则点P在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，
且eq \f(|c－3|,\r(5))＝eq \f(1,2)×eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(c＋\f(1,2))),\r(5))，即c＝eq \f(13,2)或eq \f(11,6)，
所以直线l′的方程为2x0－y0＋eq \f(13,2)＝0或2x0－y0＋eq \f(11,6)＝0；
若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，
有eq \f(|2x0－y0＋3|,\r(5))＝eq \f(\r(2),\r(5))×eq \f(|x0＋y0－1|,\r(2))，
即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，
所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；
由于点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能．
联立方程2x0－y0＋eq \f(13,2)＝0和x0－2y0＋4＝0，
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝－3，,y0＝\f(1,2)))(舍去)；
联立方程2x0－y0＋eq \f(11,6)＝0和x0－2y0＋4＝0，
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝\f(1,9)，,y0＝\f(37,18).))
所以存在点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)，\f(37,18)))同时满足三个条件．
[技能过关提升]
13．(2020·昆明模拟)点P到点A′(1，0)和直线x＝－1的距离相等，且P到直线y＝x的距离等于eq \f(\r(2),2)，这样的点P共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C 设点P(x，y)，由题意知 eq \r(（x－1）2＋y2)＝|x＋1|，且eq \f(\r(2),2)＝eq \f(|x－y|,\r(2))，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,|x－y|＝1，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,x－y＝1，)) ①
或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,x－y＝－1，)) ②
解①得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3－2\r(2)，,y＝2－2\r(2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3＋2\r(2)，,y＝2＋2\r(2)，))
解②得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2，))因此，这样的点P共有3个．
14．(2020·岳阳模拟)已知动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)且Q(4，0)到动直线l的最大距离为3，则eq \f(1,2a)＋eq \f(2,c)的最小值为________．
解析 因为动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，所以a＋bm＋c－2＝0，又Q(4，0)到动直线l的最大距离为3，
所以eq \r(（4－1）2＋（－m）2)＝3，解得m＝0.
所以a＋c＝2，则eq \f(1,2a)＋eq \f(2,c)＝eq \f(1,2)(a＋c)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)＋\f(2,c)))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)＋\f(c,2a)＋\f(2a,c)))≥eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)＋2 \r(\f(c,2a)·\f(2a,c))))＝eq \f(9,4)，
当且仅当c＝2a＝eq \f(4,3)时取等号．
答案 eq \f(9,4)
15．(2020·合肥质检)l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是____________________．
解析 当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为A(1，1)，B(0，－1)，所以kAB＝eq \f(－1－1,0－1)＝2，所以当l1，l2间的距离最大时，直线l1的斜率为k＝－eq \f(1,2)，此时，直线l1的方程是y－1＝－eq \f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.
答案 x＋2y－3＝0
16．在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点(2，3)对称，则直线l的方程是________________________________________________________________________．
解析 由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1：y＝k(x－3)＋5＋b，将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y＝k(x－3－1)＋b＋5－2，即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝eq \f(3,4)，∴直线l的方程为y＝eq \f(3,4)x＋b，直线l1为y＝eq \f(3,4)x＋eq \f(11,4)＋b，取直线l上的一点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，b＋\f(3m,4)))，则点P关于点(2，3)的对称点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－m，6－b－\f(3m,4)))，∴6－b－eq \f(3m,4)＝eq \f(3,4)(4－m)＋b＋eq \f(11,4)，解得b＝eq \f(1,8).
∴直线l的方程是y＝eq \f(3,4)x＋eq \f(1,8)，即6x－8y＋1＝0.
答案 6x－8y＋1＝0