2025年高考数学一轮复习-9.2-两直线的位置关系-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-9.2-两直线的位置关系-专项训练【含解析】，共10页。试卷主要包含了 已知直线l1， 已知点1,−1关于直线l1，已知Q为直线l， [2024·台州模拟]等内容，欢迎下载使用。

1. （改编）若直线a，b的斜率分别为方程3x2−5x−3=0的两个根，则直线a，b的夹角为（ ）.
A. 0∘B. 30∘C. 45∘D. 90∘
2. 已知直线4x+my−6=0与直线5x−2y+n=0垂直，垂足为t,1，则n的值为（ ）.
A. 7B. 9C. 11D. −7
3. 平行直线x+2ay−1=0和直线a−1x+ay+1=0间的距离为（ ）.
A. 0B. 32C. 3D. 31010
4. 已知直线l1：ax+a+2y+1=0，l2：x−ay+3=0，其中a∈R，则“a=−1”是“l1⊥l2”的（ ）.
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
5. （改编）已知直线l1：3x+y−1=0，若直线l2与l1垂直，且l2的倾斜角为α ，则csα−π12=（ ）.
A. 6+24B. 6−24C. 33D. −3
6. [2024·云南联考]当点M2,−3到直线4m−1x−m−1y+2m+1=0的距离取得最大值时，m=（ ）.
A. 2B. 47C. −2D. −4
7. 已知点1,−1关于直线l1：y=x的对称点为A，若直线l2经过点A，则当点B2,−1到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为（ ）.
A. 2x+3y+5=0B. 3x−2y+5=0C. 3x+2y+5=0D. 2x−3y+5=0
8.(2024·九省适应性测试)已知Q为直线l:x+2y+1=0上的动点,点P满足QP=(1,-3),记P的轨迹为E,则( ).
A.E是一个半径为5的圆
B.E是一条与l相交的直线
C.E上的点到l的距离均为5
D.E是两条平行直线
综合提升练
9. （多选题）对于直线l1：ax+2y+3a=0,l2：3x+a−1y+3−a=0，以下说法正确的是（ ）.
A. “l1//l2”的充要条件是“a=3”B. 当a=25时，l1⊥l2
C. 直线l1一定经过点M3,0D. 点P1,3到直线l1的距离的最大值为5
10. [2024·台州模拟]（多选题）已知直线l1：x+a−1y+1=0，直线l2：ax+2y+2=0，则下列结论正确的是（ ）.
A. l1在x轴上的截距为−1B. l2能表示过点0,−1的任意直线
C. 若l1//l2，则a=−1或a=2D. 若l1⊥l2，则a=23
11. [2024·嘉兴模拟]已知直线l与直线l1：2x−y+2=0和l2：x+y−4=0的交点分别为A,B，若P2,0是线段AB的中点，则直线AB的方程为__________.
12. [2024·宁波模拟]（双空题）已知A−3,0，B3,0及直线l1：x−y+1=0，l2：x−y−1=0，作直线l3垂直于l1，l2，且垂足分别为C,D，则CD=_______ ,AC+CD+DB的最小值为_______
应用情境练
13. 如图，射线OA，OB所在直线的方向向量分别为d1=1,k，d2=1,−kk>0，点P在∠AOB内，PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N.
（1）若k=1，P(32,12)，求OM的值；
（2）若P2,1，△OMP的面积是65，求k的值.
创新拓展练
14. （双空题）已知直线l1：2x−y+a=0，l2：4x−2y−1=0，l3：x+y−1=0，且原点到直线l1的距离是355，则a=_______ .若a>0，点P同时满足下列三个条件：①点P在第一象限；②点P到l2的距离是点P到l1的距离的2倍；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是2:5.点P的坐标为_______
15. [2024·广东阶段练习]瑞士数学家欧拉Euler于1765年在其所著作的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（中垂线的交点）、重心（中线的交点）、垂心（高的交点）在同一条直线上,后来,人们把这条直线称为欧拉线.若△ABC的顶点A−4,0,B0,4,其欧拉线方程为x−y+2=0,给出以下四个结论:
①△ABC的外心为−1,1;②△ABC的顶点C的坐标可能为−2,0；③△ABC的垂心坐标可能为−2,0;④△ABC的重心坐标可能为(−43,23).其中正确结论的序号是_______
9.2-两直线的位置关系-专项训练【解析版】
基础巩固练
1. （改编）若直线a，b的斜率分别为方程3x2−5x−3=0的两个根，则直线a，b的夹角为（ D ）.
A. 0∘B. 30∘C. 45∘D. 90∘
[解析]因为直线a，b的斜率分别为方程3x2−5x−3=0 的两个根，
由根与系数的关系得kakb=−1，所以直线a，b的夹角为90∘ .故选D.
2. 已知直线4x+my−6=0与直线5x−2y+n=0垂直，垂足为t,1，则n的值为（ A ）.
A. 7B. 9C. 11D. −7
[解析]因为直线4x+my−6=0 与直线5x−2y+n=0 垂直，所以4×5−2m=0,解得m=10，
又点t,1 在直线2x+5y−3=0 上，所以将t,1 代入，得t=−1，
则垂足为−1,1.又点−1,1 在5x−2y+n=0 上，将−1,1 代入，得−5−2+n=0，所以n=7.故选A.
3. 平行直线x+2ay−1=0和直线a−1x+ay+1=0间的距离为（ D ）.
A. 0B. 32C. 3D. 31010
[解析]若直线x+2ay−1=0 与直线a−1x+ay+1=0 平行，
则a=2aa−1，解得a=0 或a=32.
当a=0 时，直线x+2ay−1=0 与直线a−1x+ay+1=0 重合，舍去，
当a=32 时，直线x+2ay−1=0 与直线a−1x+ay+1=0 平行，
此时直线x+3y−1=0 与直线x+3y+2=0 间的距离为−1−212+32=31010.故选D.
4. 已知直线l1：ax+a+2y+1=0，l2：x−ay+3=0，其中a∈R，则“a=−1”是“l1⊥l2”的（ C ）.
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
[解析]已知直线l1：ax+a+2y+1=0，l2：x−ay+3=0，
由l1⊥l2，得a−aa+2=0，解得a=0 或a=−1，
所以“a=−1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件.故选C.
5. （改编）已知直线l1：3x+y−1=0，若直线l2与l1垂直，且l2的倾斜角为α ，则csα−π12=（ A ）.
A. 6+24B. 6−24C. 33D. −3
[解析]因为直线l2 与l1 垂直，所以kl1kl2=−1，又kl1=−3,所以kl2=33.
因为l2 的倾斜角为α ，所以tan α=33.因为α∈[0,π)，所以α=π6，
所以csα−π12=csπ12=6+24.故选A.
6. [2024·云南联考]当点M2,−3到直线4m−1x−m−1y+2m+1=0的距离取得最大值时，m=（ C ）.
A. 2B. 47C. −2D. −4
[解析]将直线4m−1x−m−1y+2m+1=0 转化为4x−y+2m−x+y+1=0，
联立4x−y+2=0, −x+y+1=0, 解得x=−1, y=−2, 所以直线经过定点N−1,−2，
当直线MN 与该直线垂直时，点M 到该直线的距离取得最大值，
此时4m−1m−1⋅−3−−22−−1=−1，解得m=−2.故选C.
7. 已知点1,−1关于直线l1：y=x的对称点为A，若直线l2经过点A，则当点B2,−1到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为（ B ）.
A. 2x+3y+5=0B. 3x−2y+5=0C. 3x+2y+5=0D. 2x−3y+5=0
[解析]设Aa,b，则b+1a−1=−1,b−12=a+12,
解得a=−1, b=1, 所以A−1,1.
设点B2,−1 到直线l2 的距离为d，
当d=AB 时取得最大值，
此时直线l2 垂直于直线AB，
所以直线l2 的斜率k=−1kAB=−1−1−12+1=32，
所以直线l2 的方程为y−1=32x+1，
即3x−2y+5=0.故选B.
8.(2024·九省适应性测试)已知Q为直线l:x+2y+1=0上的动点,点P满足QP=(1,-3),记P的轨迹为E,则( C ).
A.E是一个半径为5的圆
B.E是一条与l相交的直线
C.E上的点到l的距离均为5
D.E是两条平行直线
[解析] 设P(x,y),由QP=(1,-3),得Q(x-1,y+3),
由点Q在直线l:x+2y+1=0上,得x-1+2(y+3)+1=0,
化简得x+2y+6=0,即点P的轨迹E为一条直线且与直线l平行,
E上的点到l的距离d=|6-1|12+22=5,故A,B,D错误,C正确.
故选C.
综合提升练
9. （多选题）对于直线l1：ax+2y+3a=0,l2：3x+a−1y+3−a=0，以下说法正确的是（ BD ）.
A. “l1//l2”的充要条件是“a=3”B. 当a=25时，l1⊥l2
C. 直线l1一定经过点M3,0D. 点P1,3到直线l1的距离的最大值为5
[解析]当l1//l2 时，aa−1−6=0，解得a=3 或a=−2，当a=−2 时，直线l1,l2的方程分别为x−y+3=0,x−y+53=0，符合题意，当a=3 时，直线l1,l2的方程分别为3x+2y+9=0,3x+2y=0，符合题意，故A 错误；
当a=25 时，直线l1,l2的方程分别为x+5y+3=0,15x−3y+13=0，kl1kl2=−15×5=−1，所以l1⊥l2，故B 正确；
直线l1：ax+2y+3a=0，即ax+3+2y=0，故直线l1 过定点−3,0，故C 错误；
因为直线l1：ax+2y+3a=0 过定点−3,0，所以当直线l1：ax+2y+3a=0 与点P1,3 和点−3,0 的连线垂直时，P1,3到直线l1 的距离最大，最大值为1+32+3−02=5，故D 正确.故选BD.
10. [2024·台州模拟]（多选题）已知直线l1：x+a−1y+1=0，直线l2：ax+2y+2=0，则下列结论正确的是（ AD ）.
A. l1在x轴上的截距为−1B. l2能表示过点0,−1的任意直线
C. 若l1//l2，则a=−1或a=2D. 若l1⊥l2，则a=23
[解析]对于A，在直线l1:x+a−1y+1=0 中,令y=0，则x=−1，故A 正确；
对于B，在直线l2：ax+2y+2=0 中，令x=0,则y=−1，故直线l2 过定点0,−1，但无法表示直线x=0，故B 错误；
对于C，l1//l2⇒aa−1=2且2a−1≠2⇒a=−1，故C 错误；
对于D，l1⊥l2⇒a+2a−1=0⇒a=23，故D 正确.故选AD.
11. [2024·嘉兴模拟]已知直线l与直线l1：2x−y+2=0和l2：x+y−4=0的交点分别为A,B，若P2,0是线段AB的中点，则直线AB的方程为x+4y−2=0 .
[解析]因为直线l 与直线l1：2x−y+2=0 和l2：x+y−4=0 的交点分别为A,B，
设Ax1,2x1+2,Bx2,4−x2，
且P2,0 是线段AB 的中点，由中点公式可得x1+x2=4, 2x1+2+4−x2=0,
解得x1=−23,x2=143，所以直线AB 的斜率k=4−x2−2x1−2x2−x1=−14，
所以直线AB 的方程为y−0=−14x−2，即x+4y−2=0.
12. [2024·宁波模拟]（双空题）已知A−3,0，B3,0及直线l1：x−y+1=0，l2：x−y−1=0，作直线l3垂直于l1，l2，且垂足分别为C,D，则CD=2 ,AC+CD+DB的最小值为2+26 .
[解析]由题意知，直线l1：x−y+1=0 与l2：x−y−1=0 互相平行，
作直线l3 垂直于l1，l2，且垂足分别为C，D（图略）.
由两平行线间的距离公式可得CD=1+11+1=2，
因为A−3,0，B3,0，
设直线l3 的方程为x+y+b=0，
联立x+y+b=0, x−y+1=0, 解得C(−b+12,1−b2)，
同理求得D(1−b2,−b+12)，
所以AC+DB=b−52+b−12+b+52+b+122，
其中b−52+b−12+b+52+b+12 表示点Pb,b 与点M5,1 和N−5,−1 之间的距离之和，当点P 与点0,0 重合时，取得最小值，
所以AC+DB 的最小值为[5−−5]2+[1−−1]22=26，所以AC+CD+DB 的最小值为2+26.
应用情境练
13. 如图，射线OA，OB所在直线的方向向量分别为d1=1,k，d2=1,−kk>0，点P在∠AOB内，PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N.
（1）若k=1，P(32,12)，求OM的值；
（2）若P2,1，△OMP的面积是65，求k的值.
[解析]（1）因为P(32,12)，所以OP=102，
若k=1，则d1=1,1，所以直线OA 的方程为y=x，即x−y=0，
则点P 到直线OA 的距离为32−122=22，
所以OM=1022−222=2.
（2）直线OA 的方程为kx−y=0,点P2,1 到直线OA 的距离d=2k−1k2+1,所以OM=5−2k−12k2+1,
所以△OMP 的面积为125−2k−12k2+1⋅2k−1k2+1=65,
所以k=112 或k=2.
创新拓展练
14. （双空题）已知直线l1：2x−y+a=0，l2：4x−2y−1=0，l3：x+y−1=0，且原点到直线l1的距离是355，则a=±3 .若a>0，点P同时满足下列三个条件：①点P在第一象限；②点P到l2的距离是点P到l1的距离的2倍；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是2:5.点P的坐标为(19,3718).
[解析]因为原点到直线l1 的距离d=2×0−0+a22+−12=355,所以a=3，所以a=±3.
若a>0，得a=3，所以直线l1：2x−y+3=0.
设存在点Pm,nm>0,n>0 满足题意，
由点P 到l2 的距离是点P 到l1 的距离的2倍，得4m−2n−125=22m−n+35，即4m−2n−1=42m−n+3=8m−4n+12，
由点P 到l1 的距离与点P 到l3 的距离之比是2:5，
得2m−n+35m+n−12=25，即2m−n+3=m+n−1.
因为m>0,n>0，所以m=19,n=3718，
故满足条件的点P 的坐标为(19,3718).
15. [2024·广东阶段练习]瑞士数学家欧拉Euler于1765年在其所著作的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（中垂线的交点）、重心（中线的交点）、垂心（高的交点）在同一条直线上,后来,人们把这条直线称为欧拉线.若△ABC的顶点A−4,0,B0,4,其欧拉线方程为x−y+2=0,给出以下四个结论:
①△ABC的外心为−1,1;②△ABC的顶点C的坐标可能为−2,0；③△ABC的垂心坐标可能为−2,0;④△ABC的重心坐标可能为(−43,23).其中正确结论的序号是①③④.
[解析]由顶点A−4,0,B0,4,可知线段AB 的垂直平分线的方程为y=−x,
△ABC 的外心在直线x−y+2=0 上,
联立x−y+2=0, y=−x, 可得外心坐标为−1,1,故①正确；
设外心为G,则G−1,1,故GA=10,
所以外接圆方程为x+12+y−12=10,
设Cx,y,则△ABC 的重心为(x−43,y+43),代入欧拉线方程x−y+2=0 中,得x−y−2=0,联立x+12+y−12=10, x−y−2=0,解得x=2,y=0或x=0,y=−2,
即点C 坐标可以为2,0,0,−2,故②错误；
由点C 坐标为2,0,0,−2,可知重心可能为(−23,43),(−43,23),故④正确；
当点C 坐标为2,0 时,过点C 且和AB 垂直的直线方程为y=−x+2,
联立欧拉线方程x−y+2=0 可解得垂心坐标为0,2，
当点C 坐标为0,−2 时,过点C 且和AB 垂直的直线方程为y=−x−2,
联立欧拉线方程x−y+2=0 可解得垂心坐标为−2,0,故③正确