(新高考)高考数学一轮复习分层突破练习9.4《直线与圆、圆与圆的位置关系》(含详解)

[基础题组练]

1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(　　)

A．相离  B．相交

C．外切  D．内切

解析：选B．圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径长r1＝1，圆O2的圆心坐标为(0，2)，半径长r2＝2，所以两圆的圆心距d＝，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，则有r2－r1＜d＜r1＋r2，所以两圆相交．

2．(2020·陕西榆林二校联考)圆x2＋y2＋4x－2y＋a＝0截直线x＋y－3＝0所得弦长为2，则实数a等于(　　)

A．2  B．－2 

C．4  D．－4

解析：选D．由题知，圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5－a，所以圆心为(－2，1)，半径为，又圆心到直线的距离为＝2，所以2＝2，解得a＝－4.

3．(2020·河南豫西五校联考)在平面直角坐标系xOy中，以点(0，1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为(　　)

A．x2＋(y－1)2＝4  B．x2＋(y－1)2＝2

C．x2＋(y－1)2＝8  D．x2＋(y－1)2＝16

解析：选B．直线x－by＋2b＋1＝0过定点P(－1，2)，如图．所以圆与直线x－by＋2b＋1＝0相切于点P时，以点(0，1)为圆心的圆的半径最大，此时半径r为，此时圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2.故选B．

4．圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有(　　)

A．1个  B．2个 

C．3个  D．4个

解析：选C．圆的方程化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d＝＝，半径是2，结合图形可知有3个符合条件的点．

5．(2020·安徽合肥二模)在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点(0，1)，(0，3)，且与x轴正半轴相切，若圆C上存在点M，使得直线OM与直线y＝kx(k＞0)关于y轴对称，则k的最小值为(　　)

A．  B．

C．2  D．4

解析：选D．由圆C过点(0，1)，(0，3)知，圆心的纵坐标为＝2，

又圆C与x轴正半轴相切，所以圆的半径为2，

则圆心的横坐标x＝＝，

即圆心为(，2)，

所以圆C的方程为(x－)2＋(y－2)2＝4.

因为k＞0，所以k取最小值时，直线y＝－kx与圆相切，

可得2＝，

即k2－4k＝0，解得k＝4(k＝0舍去)，故选D．

6．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为________．

解析：圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心坐标为(2，0)，半径为2，点P在圆上，设切线方程为y－＝k(x－1)，即kx－y－k＋＝0，所以＝2，

解得k＝.所以切线方程为y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0.

答案：x－y＋2＝0

7．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝________．

解析：由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，所以圆心C(2，1)在直线x＋ay－1＝0上，所以2＋a－1＝0，所以a＝－1，所以A(－4，－1)．

所以|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，所以|AB|2＝40－4＝36.所以|AB|＝6.

答案：6

8．P在直线l：x＋y＝2上，过P作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则四边形OAPB面积的最小值为________．

解析：连接OP，OA，OB，

则S四边形OAPB＝|OA|·|PA|＝|OA|·＝.

而|OP|的最小值为|OP|min＝＝，

所以(S四边形OAPB)min＝1.

答案：1

9．已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上．

(1)求圆C的方程；

(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．

解：(1)设圆心的坐标为C(a，－2a)，

则＝，化简，

得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.

所以C(1，－2)，半径|AC|＝＝.

所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.

(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，

由题意得＝1，解得k＝－，

所以直线l的方程为y＝－x.

综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0.

10．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．

(1)求M的轨迹方程；

(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．

解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.

设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y)．

由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.

由于点P在圆C的内部，

所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.

(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，

故O在线段PM的垂直平分线上，

又P在圆N上，从而ON⊥PM.

因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，

故l的方程为x＋3y－8＝0.

又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，

所以|PM|＝，S△POM＝××＝，故△POM的面积为.

[综合题组练]

1．(2020·湖北四地七校联考)若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是(　　)

A．3  B．4

C．2  D．8

解析：选B．连接O1A，O2A，由于⊙O1与⊙O2在点A处的切线互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以|O1O2|2＝|O1A|2＋|O2A|2，即m2＝5＋20＝25，设AB交x轴于点C.在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝，所以在Rt△ACO2中，|AC|＝|AO2|·sin∠AO2O1＝2×＝2，所以|AB|＝2|AC|＝4.

2．(2020·江西南昌NCS项目第一次模拟)已知r＞0，x，y∈R，p：“|x|＋≤1”，q：“x2＋y2≤r2”，若p是q的必要不充分条件，则实数r的取值范围是(　　)

A．  B．(0，1] 

C．  D．[2，＋∞)

解析：选A．如图，“|x|＋≤1”表示的平面区域为平行四边形ABCD及其内部，“x2＋y2≤r2”表示圆及其内部，易知圆心O(0，0)到直线AD：2x＋y－2＝0的距离d＝＝，由p是q的必要不充分条件，得0＜r≤，故选A．

3．过点P的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，当∠ACB最小时，此时直线l的方程为________，∠ACB＝________．

解析：圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为C(1，0)，验证知点P在圆内，当∠ACB最小时，|AB|最短，即CP和AB垂直，因为CP的斜率kCP＝＝，所以直线AB的斜率为－，所以直线l的方程为y－＝－，即x＋y－3＝0.此时|CP|＝＝1，所以∠ACP＝，∠ACB＝.

答案：x＋y－3＝0　

4．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为________．

解析：因为∠AOB＝90°，所以点O在圆C上．设直线2x＋y－4＝0与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线2x＋y－4＝0的距离，所以点C在以O为焦点，以直线2x＋y－4＝0为准线的抛物线上，所以当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD|＝＝，所以圆C的最小半径为，所以圆C面积的最小值为π＝π.

答案：π

5．已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋3＝0.

(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；

(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值．

解：(1)将圆C的方程配方得(x－1)2＋(y－2)2＝2，

当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx(k≠0)，由直线与圆相切得＝，解得k＝－2±，所以切线方程为y＝(－2＋)x或y＝(－2－)x.当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，由直线与圆相切得＝，解得a＝1或a＝5，所以切线方程为x＋y－1＝0或x＋y－5＝0.

综上，所求的切线方程为y＝(－2＋)x或y＝(－2－)x或x＋y－1＝0或x＋y－5＝0.

(2)由|PM|＝|PO|得(x1－1)2＋(y1－2)2－2＝x＋y，

即2x1＋4y1－3＝0，即点P在直线l：2x＋4y－3＝0上，

所以|PM|min＝＝.

6.如图，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴的正半轴交于两点M，N(点M在点N的左侧)，且|MN|＝3.

(1)求圆C的方程；

(2)过点M任作一直线与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，连接AN，BN，求证：kAN＋kBN为定值．

解：(1)因为圆C与y轴相切于点T(0，2)，

可设圆心的坐标为(m，2)(m＞0)，

则圆C的半径为m，又|MN|＝3，

所以m2＝4＋()2＝，解得m＝，

所以圆C的方程为(x－)2＋(y－2)2＝.

(2)证明：由(1)知M(1，0)，N(4，0)，

当直线AB的斜率为0时，易知kAN＝kBN＝0，

即kAN＋kBN＝0.

当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝1＋ty，

将x＝1＋ty代入x2＋y2－4＝0，

并整理得，(t2＋1)y2＋2ty－3＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

所以，

则kAN＋kBN＝＋＝＋

＝＝＝0.

综上可知，kAN＋kBN为定值．