(新高考)高考数学一轮考点复习5.2《平面向量基本定理及坐标表示》课时跟踪检测(含详解)

课时跟踪检测（二十六）  平面向量基本定理及坐标表示

一、基础练——练手感熟练度

1．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，则点N的坐标为(　　)

A．(2,0)　　　　　　　　 B．(－3,6)

C．(6,2)  D．(－2,0)

解析：选A　设N(x，y)，则(x－5，y＋6)＝(－3,6)，

∴x＝2，y＝0.

2．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与同方向的单位向量是(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选A　＝－＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，

∴与同方向的单位向量为＝.

3．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的(　　)

A．充要条件   B．充分不必要条件

C．必要不充分条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选A　由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件．

4．(2021·福州模拟)已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，若a∥b，则锐角θ＝(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选B　因为a∥b，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×＝0，得sin2θ＝，所以      sin θ＝±，故锐角θ＝.

5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点．若DC＝3DF，设＝a，＝b，则＝(　　)

A.a＋b  B．a＋b

C.a＋b  D．a＋b

解析：选B　如图所示，平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点，且DC＝3DF，

∴＝＝(－)＝(－)，＝－＝＋.则＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.故选B.

二、综合练——练思维敏锐度

1．已知e1，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0，若a∥b，则＝(　　)

A．－   B．

C．－2  D．2

解析：选C　因为a∥b，所以a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，则得＝－2.

2．已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　)

A．－  B．

C.  D．

解析：选A　＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(－2k，－2)．∵A，B，C三点共线，∴，共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.

3.如图，已知＝a，＝b，＝4，＝3，则＝(　　)

A.b－a B.a－b

C.a－b D.b－a

解析：选D　＝＋＝＋＝(－)－＝－＝b－a.故选D.

4．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则＝(　　)

A.  B．

C．3  D．2

解析：选A　如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B(1,0)，C(0,2)，

因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，m)(m≠0)．

＝(m，m)＝λ＋μ＝λ(1,0)＋μ(0,2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝m，

所以＝.

5．已知向量＝(3,1)，＝(－1,3)，＝m－n (m>0，n>0)，若m＋n＝1，则||的最小值为(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选C　设＝(x，y)．

∵＝(3,1)，＝(－1,3)，＝m－n，

∴∴||＝＝≥ ＝ ＝，当且仅当m＝n时取等号，此时||取得最小值，故选C.

6．在△OAB中，若点C满足＝2，＝λ＋μ，则＋＝(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选D　在△OAB中，∵＝2，

∴－＝2(－)，即3＝＋2，

∴＝＋.

又知＝λ＋μ，∴λ＝，μ＝，∴＋＝3＋＝.故选D.

7.如图，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)

A.  B．

C.  D．2

解析：选B　以点A为坐标原点，分别以，的方向为x，y轴的正方向，建立平面直角坐标系(图略)．设正方形的边长为2，则A(0,0)，C(2,2)，M(2,1)，B(2,0)，D(0,2)，所以＝(2,2)，＝(2,1)，＝(－2,2)，所以λ＋μ＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因为＝λ＋μ，所以解得所以λ＋μ＝.故选B.

8．在△ABC中，点D是AC上一点，且＝4，P为BD上一点，向量＝λ＋μ (λ>0，μ>0)，则＋的最小值为(　　)

A．16  B．8

C．4  D．2

解析：选A　由＝λ＋μ及＝4得＝λ＋4μ，

又知点P在BD上，∴λ＋4μ＝1.∴＋＝·(λ＋4μ)＝4＋4＋＋＝8＋＋，又知λ>0，μ>0，∴＋≥2＝8，当且仅当＝，即λ＝4μ时，等号成立，故＋的最小值为16，故选A.

9.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是(　　)

A．(0,1)   B．(1，＋∞)

C．(－∞，－1)  D．(－1,0)

解析：选D　由题意得，＝k (k<0)，

又|k|＝<1，∴－1<k<0.

又∵B，A，D三点共线，

∴＝λ＋(1－λ)，

∴m＋n＝kλ＋k(1－λ)，

∴m＝kλ，n＝k(1－λ)，

∴m＋n＝k，从而m＋n∈(－1,0)．

10．已知向量a＝(1，x＋1)，b＝(x,2)，若满足a∥b，且方向相同，则x＝________.

解析：∵a∥b，a＝(1，x＋1)，b＝(x,2)，∴x(x＋1)－2＝0，解得x＝1或x＝－2.当x＝1时，a＝(1,2)，b＝(1,2)满足题意；当x＝－2时，a＝(1，－1)，b＝(－2,2)，方向相反，不符合题意，舍去．∴x＝1.

答案：1

11．如图，设Ox，Oy是平面内相交成45°角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量＝xe1＋ye2，则把有序数对(x，y)叫做向量在坐标系xOy中的坐标，在此坐标系下，假设＝(－2，2)，＝(2,0)，＝(5，－3)，则||＝________，与 ________(填“平行”或“不平行”)．

解析：由余弦定理可知||＝＝2，∵＝－＝(3，－3)＝－，∴∥.

答案：2　平行

12.如图，O点在△ABC的内部，E是BC边的中点，且有＋2＋3＝0，则△AEC的面积与△AOC的面积的比为________．

解析：取AC的中点D，连接OE，OD.因为D，E分别是AC，BC边的中点，所以＋＝2，＋＝2，因为＋2＋3＝0，所以2＋4＝0，所以O，D，E三点共线，且＝.又因为△AEC与△AOC都以AC为底，所以△AEC的面积与△AOC的面积的比为3∶2.

答案：3∶2

13.如图，在△ABC中，已知－＝，点P在线段BN上，若＝λ＋，则实数λ的值为________．

解析：BN―→－＝可化为＝，即＝，

因为＝λ＋，所以＝λ＋.由B，P，N三点共线可得λ＝.

答案：

14．如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上的点，∠CBA＝60°，∠ABD＝45°，＝x＋y，求x＋y的值．

解：以O为原点，OB所在直线为x轴，过O点且垂直AB的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．

不妨设圆O的半径为1，

则A(－1,0)，B(1,0)，D(0,1)，C，

所以＝，＝.

又＝x＋y，

所以＝x(－1,0)＋y.

所以

解得

所以x＋y＝－＝－.

15.如图，在同一个平面内，三个单位向量，，满足条件：与的夹角为α，且tan α＝7，与的夹角为45°.若＝m＋n (m，n∈R)，求m＋n的值．

解：以O为原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，

由tan α＝7知α为锐角，

则sin α＝，cos α＝，

故cos(α＋45°)＝－，

sin(α＋45°)＝.

∴点B，C的坐标分别为，，

∴＝，＝.

又＝m＋n，

∴＝m(1,0)＋n，

∴解得

∴m＋n＝＋＝.