人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时随堂练习题

6.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第1课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理

A级 必备知识基础练

1.十字路口来往的车辆,如果不允许回头,则不同的行车路线有(　　)

A.24种 B.16种 C.12种 D.10种

2.将3个不同的小球放入4个盒子中,不同放法种数为(　　)

A.81 B.64 C.14 D.12

3.若x,y∈N,且1≤x≤3,x+y<7,则满足条件的不同的有序自然数对(x,y)的个数是(　　)

A.15 B.12 C.5 D.4

4.有不同的语文书9本,不同的数学书7本,不同的英语书5本,从中选出不属于同一学科的书2本,则不同的选法有(　　)

A.21种 B.315种 C.153种 D.143种

5.数独是一种受人喜爱的数学游戏.如图是数独的一个简化版,由3行3列9个单元格构成.玩该游戏时,需要将数字1,2,3(各3个)全部填入单元格,每个单元格填一个数字,要求每一行、每一列均有1,2,3这三个数字,则不同的填法有(　　)

A.12种 B.24种 C.72种 D.216种

6.为了进一步做好社区疫情防控工作,从6名医护人员中任意选出2人分别担任组长和副组长,则有　　　　　种不同的选法. 

7.由1,2,3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数有　　　　　个. 

8.用0,1,2,3,4,5这6个数字组成无重复数字的四位数,若把每位数字比其左邻的数字小的数叫做“渐降数”,求上述四位数中“渐降数”的个数.

9.某电视台连续播放6个广告,其中有3个不同的商业广告、2个不同的宣传广告和1个公益广告,要求最后播放的不能是商业广告,宣传广告与公益广告不能连续播放,2个宣传广告也不能连续播放,则有多少种不同的播放方式?

B级 关键能力提升练

10.满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序实数对(a,b)的个数为(　　)

A.14 B.13 C.12 D.10

11.某班小张等4名同学报名参加A,B,C三个课外活动小组,每名同学限报其中一个小组,且小张不能报A小组,则不同的报名方法有(　　)

A.27种 B.36种 C.54种 D.81种

12.5名同学报名参加两个课外活动小组,每名同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有(　　)

A.10种 B.20种 C.25种 D.32种

13.有4位教师在同一年级的4个班中分别担任数学老师,在数学测验时要求每位教师不能在本班监考,则监考的方法有              (　　)

A.8种 B.9种 C.10种 D.11种

14.计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛,每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行,则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有(　　)

A.24种 B.36种 C.42种 D.60种

15.从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数,作为直线Ax+By=0的系数,则形成不同的直线最多有　　　　　条. 

16. 如图,在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有　　　　　个. 

17.现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画.

(1)从中任选1幅画布置房间,有几种不同的选法?

(2)从这些国画、油画、水彩画中各选1幅画布置房间,有几种不同的选法?

(3)从这些画中任选出2幅不同画种的画布置房间,有几种不同的选法?

C级 学科素养创新练

18.(2022新疆模拟)如图,一次移动是指:从某一格开始只能移动到邻近的一格,并且总是向右或右上或右下移动,而一条移动路线由若干次移动构成,如1→3→4→5→6→7就是一条移动路线,则从数字“1”到“7”,漏掉两个数字的移动路线条数为(　　)

A.5 B.6 C.7 D.8

19.用1,2,3,4四个数字(可重复)排成三位数,并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}.

(1)写出这个数列的前11项;

(2)这个数列共有多少项?

(3)若an=341,求n.

第1课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1.C　完成该任务可分为四类,从每一个方向的入口进入都可作为一类,如图,从第1个入口进入时,有3种行车路线;同理,从第2个,第3个,第4个入口进入时,都分别有3种行车路线,由分类加法计数原理可得共有3+3+3+3=12(种)不同的行车路线,故选C.

2.B　将3个不同的小球放入4个盒子中,不同放法的种数都为4,根据分步乘法计数原理,不同放法的种数为4×4×4=64.

3.A　利用分类加法计数原理.

当x=1时,y=0,1,2,3,4,5,有6个不同的有序自然数对;

当x=2时,y=0,1,2,3,4,有5个不同的有序自然数对;

当x=3时,y=0,1,2,3,有4个不同的有序自然数对.

根据分类加法计数原理可得,共有6+5+4=15(个)不同的有序自然数对.

4.D　由题意,选一本语文书一本数学书有9×7=63(种),

选一本数学书一本英语书有5×7=35(种),

选一本语文书一本英语书有9×5=45(种),

根据分类加法计数原理,共有63+45+35=143(种)选法.

故选D.

5.A　先填第一行,有3×2×1=6(种)不同填法,再填第二行第一列,有2种不同填法,当该单元格填好后,其他单元格唯一确定.根据分步乘法计数原理,共有6×2=12(种)不同的填法.

故选A.

6.30　首先从6人中选1人担任组长,共有6种不同的选法;然后从剩余5人中选1人担任副组长,共有5种不同的选法.根据分步乘法计数原理,从6名医护人员中任意选出2人分别担任组长和副组长共有6×5=30(种)不同的选法.

7.15　由题意,一位数有1,2,3,共3个自然数;两位数有12,21,23,32,13,31,共6个自然数;三位数有123,132,213,231,321,312,共6个自然数.根据分类加法计数原理,所组成的自然数的个数为3+6+6=15.

8.解 分三类:

第一类,千位数字为3时,要使四位数为“渐降数”,则四位数只有3 210,共1个;

第二类,千位数字为4时,“渐降数”有4 321,4 320,4 310,4 210,共4个;

第三类,千位数字为5时,“渐降数”有5 432,5 431,5 430,5 421,5 420,5 410,5 321,5 320,5 310,5 210,共10个.

由分类加法计数原理,得共有1+4+10=15(个)“渐降数”.

9.解用1,2,3,4,5,6表示广告的播放顺序,则完成这件事有3类方法.

第1类,宣传广告与公益广告的播放顺序是2,4,6.分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36(种)不同的播放方式;

第2类,宣传广告与公益广告的播放顺序是1,4,6.分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36(种)不同的播放方式;

第3类,宣传广告与公益广告的播放顺序是1,3,6.同样分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36(种)不同的播放方式.

由分类加法计数原理,得6个广告不同的播放方式共有36+36+36=108(种).

10.B　由已知得ab≤1.

当a=-1时,b=-1,0,1,2,有4种可能;

当a=0时,b=-1,0,1,2,有4种可能;

当a=1时,b=-1,0,1,有3种可能;

当a=2时,b=-1,0,有2种可能.

∴满足要求的(a,b)的个数为4+4+3+2=13.

11.C　小张的报名方法有2种,其他3名同学的报名方法各有3种,由分步乘法计数原理知,共有2×3×3×3=54(种)不同的报名方法,故选C.

12.D　每名同学都有2种选择,根据分步乘法计数原理,不同的报名方法共有25=32(种).

13.B　设四位监考教师分别为A,B,C,D,所教班级分别为a,b,c,d.假设A监考b,则余下三人监考剩下的三个班,共有3种不同的方法.同理A监考c,d时,也分别有3种不同的方法.由分类加法计数原理得,监考方法共有3+3+3=9种.

14.D　把3个项目分配到4个体育馆,所有方案共有4×4×4=64(种),其中,3个项目被分配到同一体育馆进行有4种方法,故满足条件的分配方案有64-4=60(种).

15.18　第一步取A的值,有5种取法,第二步取B的值,有4种取法,其中当A=1,B=2时,与A=2,B=4时是相同的;当A=2,B=1时,与A=4,B=2时是相同的,故共有5×4-2=18(条).

16.40　满足条件的三角形有两类.第1类,与正八边形有两条公共边的三角形有8个;第2类,与正八边形有一条公共边的三角形有8×4=32(个),所以满足条件的三角形共有8+32=40(个).

17.解(1)利用分类加法计数原理,知共有5+2+7=14(种)不同的选法.

(2)国画有5种不同的选法,油画有2种不同的选法,水彩画有7种不同的选法.由分步乘法计数原理,知共有5×2×7=70(种)不同的选法.

(3)三类分别为选国画与油画、油画与水彩画、国画与水彩画.由分类加法计数原理和分步乘法计数原理,知共有5×2+2×7+5×7=59(种)不同的选法.

18.B　从数字“1”到“7”,漏掉两个数字的移动路线条数为以下6条:1,2,4,5,7;1,2,4,6,7;1,3,4,5,7;1,3,4,6,7;1,3,5,6,7;1,2,3,5,7.

19.解 (1)111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133.

(2)这个数列的项数就是用1,2,3,4排成的三位数的个数,每个数位上都有4种排法,则共有4×4×4=64(项).

(3)比an=341小的数有两类:

①

②

共有2×4×4+1×3×4=44(项).

所以n=44+1=45.