高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆课时作业

第三章　圆锥曲线的方程

3.1　椭圆

3.1.1　椭圆及其标准方程

A级 必备知识基础练

1.(多选题)已知在平面直角坐标系中,点A(-3,0),B(3,0),点P为一动点,且|PA|+|PB|=2a(a≥0),下列说法中正确的是(　　)

A.当a=2时,点P的轨迹不存在

B.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为3

C.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为6

D.当a=3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆

2.焦点在坐标轴上,且过两点(4,0),(0,2)的椭圆的标准方程为(　　)

A.=1 

B.=1

C.=1 

D.=1

3.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P,-4和Q-,3,则此椭圆的标准方程是 (　　)

A.+x2=1 

B.+y2=1

C.+y2=1或+x2=1 

D.以上都不对

4.已知F1,F2分别为椭圆=1的左、右焦点,倾斜角为60°的直线l过点F1,且与椭圆交于A,B两点,则△AF2B的周长为(　　)

A.10 B.12 C.16 D.20

5.(多选题)椭圆=1的焦距为4,则m的值可以是(　　)

A.12 B.10

C.6 D.4

6.P是椭圆=1上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若|PF1|·|PF2|=12,则∠F1PF2的大小为(　　)

A.60° B.30° C.120° D.150°

7.过点(,-),且与椭圆=1有相同的焦点的椭圆的标准方程为　　　　　. 

8.已知椭圆C:=1,点M与C的焦点不重合.若点M关于C的焦点F1,F2的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=　　　　　. 

9.求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)两个焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,3);

(2)经过两点(2,-),.

B级 关键能力提升练

10.椭圆=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标为(　　)

A.± B.± 

C.± D.±

11.已知△ABC的两个顶点分别为A(-4,0),B(4,0),△ABC的周长为18,则点C的轨迹方程为(　　)

A.=1(y≠0) B.=1(y≠0)

C.=1(y≠0) D.=1(y≠0)

12. 如图,已知F(-5,0)为椭圆C的左焦点,P为椭圆C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的方程为 (　　)

A.=1

B.=1

C.=1

D.=1

13.已知椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则该椭圆的方程为(　　)

A.=1 B.=1 

C.=1 D.=1

14.已知椭圆=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|=　　　　　,∠F1PF2的大小为　　　　　. 

15.已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且.若△PF1F2的面积为9,则b=　　　　　. 

16.动圆C与定圆C1:(x+3)2+y2=32内切,与定圆C2:(x-3)2+y2=8外切,点A的坐标为0,.

(1)求动圆C的圆心C的轨迹方程E;

(2)若轨迹E上的两点P,Q满足=5,求|PQ|的值.

C级 学科素养创新练

17.设P是椭圆=1上一点,M,N分别是圆A:(x+4)2+y2=1和圆B:(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为(　　)

A.9,12 B.8,11 C.8,12 D.10,12

18.在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-3,0)和C(3,0),顶点B在椭圆=1上,则=　　　　　. 

3.1.1　椭圆及其标准方程

1.AC　当a=2时,2a=4<|AB|,故点P的轨迹不存在,A正确;

当a=4时,2a=8>|AB|,故点P的轨迹是椭圆,且焦距为|AB|=6,B错误,C正确;

当a=3时,2a=6=|AB|,故点P的轨迹为线段AB,D错误.

2.D　(方法1)验证排除,将点(4,0)代入验证可排除A,B,C,故选D.

(方法2)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),则解得故选D.

3.A　设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),则解得

∴椭圆的标准方程为+x2=1.故选A.

4.D　由椭圆=1可得a=5,△AF2B的周长=|AF2|+|BF2|+|AB|,|AB|=|AF1|+|BF1|,所以△AF2B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|,

由椭圆的定义知,|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10,所以△AF2B的周长=4a=20.故选D.

5.AD　因为椭圆的焦距为2c=4,则c=2,

当焦点在x轴上时,有m=8+22=12,解得m=12;

当焦点在y轴上时,有8=m+22,解得m=4.

故m=4或12.

6.A　由椭圆的定义得

|PF1|+|PF2|=8,|F1F2|=2,

∴(|PF1|+|PF2|)2=64.

∵|PF1|·|PF2|=12,∴|PF1|2+|PF2|2=40,

在△F1PF2中,cos∠F1PF2=,

∵0°<∠F1PF2<180°,

∴∠F1PF2=60°.

7.=1　椭圆=1的焦点为(0,±4),

设椭圆方程为=1(a>b>0),

则有a2-b2=16, ①

再代入点(,-),得

=1, ②

由①②解得a2=20,b2=4.

则所求椭圆方程为=1.

8.12　如图,取MN的中点G,G在椭圆C上,

因为点M关于C的焦点F1,F2的对称点分别为A,B,

故有|GF1|=|AN|,|GF2|=|BN|,

所以|AN|+|BN|=2(|GF1|+|GF2|)=4a=12.

9.解(1)(方法1)因为椭圆的焦点在y轴上,

所以可设它的标准方程为=1(a>b>0).

由椭圆的定义知2a==12,所以a=6.

又c=2,所以b==4.

所以椭圆的标准方程为=1.

(方法2)因为椭圆的焦点在y轴上,

所以可设其标准方程为=1(a>b>0).

由题意得解得

所以椭圆的标准方程为=1.

(2)(方法1)若椭圆的焦点在x轴上,

设椭圆的标准方程为=1(a>b>0).

由已知条件得解得

所以所求椭圆的标准方程为=1.

同理可得,焦点在y轴上的椭圆不存在.

综上,所求椭圆的标准方程为=1.

(方法2)设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).

将两点(2,-),代入,得解得所以所求椭圆的标准方程为=1.

10.D　∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点),

∴PF2⊥x轴,∴点P的横坐标是±3,∵点P在椭圆上,∴=1,即y2=,∴y=±.

∴点M的纵坐标为±.

11.A　依题意得|CA|+|CB|=10>8,∴点C的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,设其标准方程为=1(a>b>0),则a=5,c=4,从而b2=9.

又A,B,C三点不共线,∴点C不在x轴上,∴点C的轨迹方程为=1(y≠0).故选A.

12. C　由题意可得c=5,设右焦点为F',连接PF',由|OP|=|OF|=|OF'|知,∠PFF'=∠FPO,∠OF'P=∠OPF',

∴∠PFF'+∠OF'P=∠FPO+∠OPF',

∴∠FPO+∠OPF'=90°,即PF⊥PF',

在Rt△PFF'中,由勾股定理,

得|PF'|==8,

由椭圆的定义,得|PF|+|PF'|=2a=6+8=14,

从而a=7,a2=49,于是b2=a2-c2=49-52=24,

∴椭圆C的方程为=1.

13.D　设A(x1,y1),B(x2,y2),

∵A,B在椭圆上,

∴

①-②,得

=0,

即=-.

∵AB的中点为(1,-1),∴y1+y2=-2,x1+x2=2.

而=kAB=,

∴.又a2-b2=9,∴a2=18,b2=9.

∴椭圆E的方程为=1.故选D.

14.2　120°　由|PF1|+|PF2|=6,且|PF1|=4,知|PF2|=2.

在△PF1F2中,

cos∠F1PF2==-.故∠F1PF2=120°.

15.3　由题意得,|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|2+|PF2|2=4c2,|PF1||PF2|=9,

∴(|PF1|+|PF2|)2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2,

∴36=4(a2-c2)=4b2,∴b=3.

16. 解(1)如图,设动圆C的半径为R.

由题意得,定圆C1的半径为4,定圆C2的半径为2,则|CC1|=4-R, ①

|CC2|=2+R, ②

①+②,得|CC1|+|CC2|=6>6=|C1C2|.

解得x=2,

由椭圆的定义知点C的轨迹是以C1,C2为焦点,2a为6的椭圆的一部分(在C1的内部),其轨迹方程为=1(x<2).

(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则=x1,y1-,=x2,y2-.由=5可得,x1,y1-=5x2,y2-,所以x1=5x2,y1=5y2-×5+=5y2-18,由P,Q是轨迹E上的两点,得

解得

所以x1=0,y1=-3.

所以P(0,-3),Q(0,3),|PQ|=6.

17. C　如图,由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点,由椭圆的定义知|PA|+|PB|=2a=10,连接PA,PB,分别与左、右两圆相交于M,N两点,此时|PM|+|PN|最小,最小值为|PA|+|PB|-2r=8.延长PA,PB,分别与左、右两圆相交于M',N'两点,此时|PM'|+|PN'|最大,最大值为|PA|+|PB|+2r=12,即最小值和最大值分别为8,12.

18.　由椭圆的方程得a=5,b=4,c=3.

∵△ABC的顶点A(-3,0)和C(3,0),顶点B在椭圆=1上,

∴|BC|+|AB|=2a=10,

∴由正弦定理可知.