2023年高考政治第二次模拟考试卷—数学（天津A卷）（全解全析）

这是一份2023年高考政治第二次模拟考试卷—数学（天津A卷）（全解全析），共19页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年高考数学第二次模拟考试卷数学·全解全析一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知全集，2，3，4，5，，集合，2，，，5，，则　　A． B．， C．，2，3， D．，3，4，5，【答案】【分析】求出，由此能求出．【详解】全集，2，3，4，5，，集合，2，，，5，，，3，，，．故选：．2．（5分）设，则“”是“”的　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】【分析】根据题意，求出两个不等式的解集，由集合与充分必要条件的关系分析可得答案．【详解】根据题意，，即，解可得，不等式的解集为，对于，解可得，即不等式的解集为，又由是的真子集，故“”是“”必要不充分条件，故选：．3．（5分）已知函数，其图象大致为　　A．      B． C．      D．【答案】【分析】先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化趋势即可判断．【详解】函数的定义域为，，，函数，所以函数为奇函数，故排除，因为（1），，故排除，故选：．4．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，，，，，，，，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是　　A．45 B．50 C．55 D．60【答案】【分析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数频率总体容量，即可得到总体容量．【详解】成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20则成绩低于60分的频率，又低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是．故选：．5．（5分）设，，若，则的最小值为　　A．6 B．9 C． D．18【答案】【分析】根据题意，转化条件，利用基本不等式即可求出最小值．【详解】因为，，，所以，所以，当且仅当，即，时取“”，所以的最小值为9．故选：．6．（5分）如图，圆锥的底面恰是圆柱的一个底面，圆柱的两个底面分别为同一个球的两个截面，且圆锥的顶点也在该球的球面上．若球的体积为，圆柱的高为2，则圆锥的体积为　　A． B． C． D．【答案】【分析】由已知求出外接球的半径，利用勾股定理求得圆锥底面半径及高，再由圆锥体积公式求解．【详解】设球的半径为，由，得．圆柱的两个底面分别为同一个球的两个截面，球心在圆柱高的中点上，可得圆锥的高，设圆柱的底面半径为，则，．故选：．7．（5分）已知双曲线的焦点为，，抛物线的准线与交于，两点，且三角形为正三角形，则双曲线的离心率为　　A． B． C． D．【答案】【分析】由题意可得，由与抛物线焦点的连线构成等边三角形，可得，即求出双曲线的离心率．【详解】抛物线的准线方程为，焦点坐标为由，解得，则，与抛物线焦点的连线构成等边三角形，，，即，解得．故选：．        8．（5分）如图所示的曲线为函数的部分图象，将图象上的所有点的横坐标伸长到原来的，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则　　A．函数在上单调递减 B．点为图象的一个对称中心 C．函数在上单调递增 D．为图象的一条对称轴【答案】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再根据函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．【详解】函数的部分图象，可得，左边最高点的横坐标为，最低点的横坐标为，，．结合五点法作图，，，故．将图象上的所有点的横坐标伸长到原来的，得到 的图象；再把所得曲线向右平移个单位长度，得到 的图象，在上，，，函数没有单调性，故错误；令，求得，不是最值，故错误；在上，，，函数单调递增，故正确；令，求得，不是最值，故为图象不关于直线，对称，故错误，故选：．9．（5分）已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，【答案】【分析】讨论当时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得，再由二次函数的最值求法，可得的范围；讨论当时，同样可得，再由基本不等式可得最值，可得的范围，求交集即可得到所求范围．【详解】当时，关于的不等式在上恒成立，即为，即有，由的对称轴为，可得处取得最大值；由的对称轴为，可得处取得最小值，则①当时，关于的不等式在上恒成立，即为，即有，由（当且仅当取得最大值；由（当且仅当取得最小值2．则②由①②可得，．另解1：作出的图象和折线当时，的导数为，由，可得，切点为，代入，解得；当时，的导数为，由，可得舍去），切点为，代入，解得．由图象平移可得，．故选：． 第Ⅱ卷二､填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。）10．（5分）是虚数单位，复数　　．【答案】【分析】利用复数的运算法则即可得出．【详解】复数，故答案为：．11．（5分）展开式中的系数为 　30　．【答案】30【分析】分析展开式中的项的两种可能的来由，结合二项式定理求系数．【详解】当选择1时，展开式选择的项为；当选择时，展开式选择为，所以展开式；故答案为：30．12．（5分）经过点且斜率为的直线与圆相交于，两点，若，则的值为 　　．【答案】或0【分析】利用勾股定理求出圆心到直线的距离，设出直线的方程利用点到直线的距离公式求出值．【详解】设直线的方程为，圆的圆心为，半径为，由勾股定理得圆心到直线的距离为，即圆心为到直线的距离为，解得或．故答案为：或0．13．（5分）已知袋内有大小相同的1个红球和3个白球，袋内有大小相同的2个红球和4个白球．现从、两个袋内各任取2个球，则恰好有1个红球的概率为　　；记取出的4个球中红球的个数为随机变量，则的数学期望为　　．【答案】，．【分析】分1个红球来自袋与1个来自袋，利用古典概型的概率公式即可求出恰好有1个红球的概率，然后利用二项分布的数学期望公式求出的数学期望即可．【详解】；设从袋中取出红球的个数为，则，从袋中取出红球个数为，则，所以．故答案为：，．14．（5分）在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①，顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②．已知正六边形的边长为1，点满足，则　　；若点是线段上的动点（包括端点），则的最小值是 　　．【答案】；．【分析】由平面向量数量积运算，结合平面向量数量积的坐标运算求解即可．【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，，，则，则；设，，则，则，即当时，的最小值为，故答案为：；．15．（5分）已知定义在上的函数满足，且当，时，，若函数，在上有四个零点，则实数的取值范围为 　  　．【答案】，．【分析】先判断出的周期为4．把问题转化为函数与在上有四个交点．在同一个坐标系内作出与的图象，列不等式组，求出实数的取值范围．【详解】因为，所以，记函数的周期为4，，可化为，若函数，在上有四个零点，等价于函数与在上有四个交点．作出和的图象如图示：（1）只需满足：，解得；（2）只需满足：，解得：，综上所述：实数的范围为，．故答案为：，．三、解答题（本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。）16．（14分）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）设，．（ⅰ）求的值；（ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（ⅰ）（ⅱ）【分析】（Ⅰ）利用余弦定理建立方程进行求解即可；（Ⅱ）（ⅰ）利用余弦定理进行求解即可；（ⅱ）利用两角和差的三角公式进行转化求解即可．【详解】（Ⅰ）由．得．即，得，则，则．（Ⅱ）（ⅰ）设，．则，则．（ⅱ），．则，则．17．（15分）如图，正四棱柱中，，点在上且．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求异面直线与所成角的大小；（Ⅲ）求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系．通过计算，，推出，结合，证明平面．（Ⅱ）（方法一）通过平面，推出，说明异面直线与所成角为；（方法二）计算，说明异面直线与所成角为；（Ⅲ）求出平面的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的平面角的余弦函数值即可．【详解】（Ⅰ）证明：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系．依题设，，2，，，2，，，2，，，0，．，，，因为，，故，，又，所以平面．（Ⅱ）解：（方法一）因为平面，且平面，则，所以异面直线与所成角为；（方法二），，，则，所以异面直线与所成角为；（Ⅲ）解：设向量是平面的法向量，则，．故，．令，则，，．等于二面角的平面角，．18．（15分）已知数列是公比大于1的等比数列，为数列的前项和，，且，，成等差数列．数列的前项和为，满足，且．（1）求数列和的通项公式；（2）令，求数列的前项和为．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由等比数列的性质和通项公式，解方程可得首项和公比，可得，运用等差数列的定义和通项公式可得；（2）求得，运用数列的裂项相消求和和错位相减法求和，结合等比数列的求和公式可得所求和．【详解】（1）由已知，得，即，也即，解得，，故；，可得是首项为1，公差为的等差数列，，当时，，经检验时也符合上式，则；（2），，设，所以，两式相减得，所以，所以．19．（15分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆长轴是短轴的倍，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与圆相切，切点在第一象限，与椭圆相交于，两点．①求证：以为直径的圆过原点；②若的面积为，求直线的方程． 【答案】（1）（2）①见解析 ②或【分析】（1）由题意可得，解得，，进而得到方程；（2）①直线的方程为，联立方程，根据韦达定理，计算出，可得，即以为直径的圆过原点，②根据弦长公式，三角形的面积公式可得，解得即可．【详解】（1）由题意可得，解得，，则椭圆的方程为，（2）证明：切点在第一象限，直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，即，且，，直线与圆相切，，即，联立，得，设，，，，则有，，，即，即以为直径的圆过原点，②由①可得，，，，点到直线的距离为，，解得，或，当时，，当时，，，，或，则直线方程为或20．（16分）已知函数．（Ⅰ）若，求曲线在点，（1）处的切线方程；（Ⅱ）若，且在区间，上恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）若，判断函数的零点的个数．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）当时，函数恰有1个零点．【分析】（Ⅰ）当时，对求导，求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；（Ⅱ）若，且在区间，上恒成立，即在，上的最小值大于1，利用导数求判断函数的最小值．（Ⅲ）分类讨论判断的单调性与函数的最小值，从而验证在区间上单调递增．再构造新函数（a），证明（a），进而判断函数是否穿过轴即可．【详解】（Ⅰ）若，则，（1），所以，所以（1），所以切线方程为．（Ⅱ）依题意，在区间上，．因为，．令，得或．若，则由，得；由，得．所以（1），满足条件；若，则由，得或；由，得．，依题意，可得，即，所以．若，则．所以在区间上单调递增，，不满足条件；综上，的取值范围为．（Ⅲ），．所以．设，．令，得．当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．所以的最小值为．因为，所以．所以的最小值．从而，在区间上单调递增．又，设（a）．则．令（a），得．由（a），得；由（a），得．所以（a）在上单调递减，在上单调递增．所以．所以（a）恒成立．所以，．所以．又（1），所以当时，函数恰有1个零点．