2023年高考政治第二次模拟考试卷—数学（北京A卷）（全解全析）

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2023年高考数学第二次模拟考试卷（北京A卷）高三数学（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第Ⅰ卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（    ）．A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意， ；故选：C.2．在复平面内，复数对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【详解】，故在复平面内对应的点坐标为，位于第一象限.故选：A3．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到直线距离的最大值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】由于半径为1的圆（设为圆）经过点，所以圆的圆心的轨迹是以为圆心，半径为的圆，到直线距离为，所以圆的圆心到直线距离的最大值为.故选：C4．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】A选项，的定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，A错误；B选项，的定义域为R，且，故为奇函数，且为增函数，为减函数，故为增函数，故B正确；C选项，为减函数，C错误；D选项，不是单调函数，在上单调递减，D错误.故选：B5．函数是（    ）A．最小正周期为的偶函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的奇函数【答案】C【详解】，，即函数为偶函数，又，故函数为最小正周期为的偶函数.故选：C.6．设等差数列的通项公式为，则“函数满足对恒成立”是“为递增数列”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】等差数列的通项公式为，因为函数满足对恒成立，即对恒成立，因此对恒成立，为递增数列，反之，为递增数列，即对恒成立，则对恒成立，因此函数满足对恒成立，所以“函数满足对恒成立”是“为递增数列”的充要条件.故选：C7．是无理数的近似值,被称为黄金比值.我们把腰与底的长度比为黄金比值的等腰三角形称为黄金三角形.如图，是顶角为，底的第一个黄金三角形，是顶角为的第二个黄金三角形，是顶角为的第三个黄金三角形，是顶角为的第四个黄金三角形…,那么依次类推，第个黄金三角形的周长大约为（    ）A．B．C．D．【答案】C【详解】第一个黄金三角形：的底为，由可得腰长；第二个黄金三角形：的底为，由可得腰长；第三个黄金三角形：的底为，由可得腰长；以此类推，第个黄金三角形的底为，腰长为，所以周长为因为，所以，所以原式故选：C8．若，则（    ）A．5 B． C．3 D．【答案】B【详解】，则．故选：B.9．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．已知鳖臑的四个顶点均在表面积为的球面上，则该鳖臑体积的最大值为（    ）．A． B． C．2 D．4【答案】B【详解】把鳖臑放到长方体中，如下图所示：设该长方体的长、宽、高分别为，显然该长方体的对角线长为，所以有，显然该鳖臑体积为，因为，当且仅当时取等号，即，当且仅当时取等号，故选：B10．已知是非零向量，且，设为任意实数，当与的夹角为时，的最小值为（    ）A．1 B． C． D．【答案】C【详解】根据极化恒等式:有．以O为起点，设的终点分别为A，B，C，M为的中点，则点C在以点M为圆心，半径的圆上，的终点在与成的直线l上，如图，因此的最小值为．故选：C.第Ⅱ卷二、填空题：本题共5个小题，每小题5分，共25分．11．函数的定义域为__________.【答案】【详解】由已知得，解得且，即函数的定义域为.故答案为：.12．已知双曲线C的左焦点为F，过F且倾斜角为的直线与C的右支交于点P，O为坐标原点．若，则C的离心率为__________．【答案】##【详解】由题意可知，所以，，因此由余弦定理可知：，设该双曲线的另一个焦点坐标为，因为，所以三角形是等边三角形，因此，由双曲线的定义可知：，所以C的离心率为，故答案为：13．对于数列，令，给出下列四个结论：①若，则；②若，则；③存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立；④若对任意的，都有，则有.其中所有正确结论的序号是______.【答案】①②④【详解】对于①：因为，且因为，所以，所以，故选项①正确；对于②：若，则所以，所以两式相减得，所以，所以，所以，故选项②正确；对于③：，，所以若对任意的都成立，则有，所以，因为各项为整数，则不等式串中绝对值只能从越来越小，之后甚至会出现大于某数绝对值的情况，例如：，后续还会有绝对值，但是会有矛盾，故选项③错误；对于④：若对任意的，都有，则有..故选项④正确；故答案为：①②④.14．已知函数，则______；若将的图象向左平行移动个单位长度得到的图象，则的一个对称中心为______.【答案】          (答案不唯一)【详解】，所以，将的图象向左平行移动个单位长度得到的图象，则，所以的对称中心为.故的一个对称中心为.故答案为：；(答案不唯一).15．若函数存在最小值，则的一个取值为______；的最大值为______.【答案】     0（答案不唯一）     4【详解】对于，在上递减，上递增，在R上的最小值为0；对于，开口向上且对称轴为，所以，在上递减，上递增，在R上的最小值为；综上，对于f(x)：当时，在上递减，上递增，此时恒成立，所以不存在最小值；当时，在上递减，上递增，此时最小值为0；当时，在上递减，,上递增，且，又，若时，，此时最小值为0；若时，，此时最小值为0；若时，，此时最小值为0；若时，，此时最小值为0；若时，，此时不存在最小值；综上，，故m的最大值为4.故答案为：0（答案不唯一），4三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在中内角所对的边分别为，且，若．(1)求角的大小(2)若，求的值【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意得，；整理得，；∴；由得，，又；∴；∴；∴；（2）∵，∴由正弦定理可得，可得为锐角，可得，∴．17．如图在几何体中，是等边三角形，直线平面，平面平面，，．(1)证明：；(2)在“①平面；②平面”两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．点M为线段上的一点，满足__________，直线与平面所成角的大小为，求平面与平面的夹角的余弦值．（请在答题纸上注明你选择的条件序号）【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由题知：直线平面，∵平面，∴平面平面，平面平面， 平面，所以平面，因为平面，所以.（2）若选择①:因为平面，平面，平面平面所以，又,因此四边形为平行四边形，即为中点若选择②:因为平面，平面，所以，又所以四边形为平行四边形，即为中点，（选择①和选择②都能证明为中点，以下的解析过程两种选择相同.）所以 ，，因为直线平面，所以直线与平面所成角为，有， 则，，如图，以为坐标原点，分别以，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，，， 设平面的一个法向量为 且 ，   ，令，则，解得 ， 平面的一个法向量为，，，，令，则，，设平面与平面所成锐二面角为， .所以平面与平面的夹角的余弦值为.18．地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图（如图1），考虑到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表1（该预测价格与亩产量互不影响）.明年冬小麦统一收购价格（单位：元）概率表1假设图1中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率.(1)试估计地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元的概率；(2)设地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元，求的分布列和数学期望；(3)地区农科所研究发现，若每亩多投入元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦产量平均增加.从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由.【答案】(1)(2)分布列答案见解析，(3)建议农科所推广该项技术改良，理由见解析【详解】（1）解：由图可知，亩产量是的概率约为，亩产量是的概率约为，亩产量是的概率约为，估计地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元的概率为（2）解：由题意可知，随机变量的可能取值有：、、、、，，，，，，所以，随机变量的分布列如下表所示： .（3）解：建议农科所推广该项技术改良，设增产前每亩冬小麦产量为，增产后每亩冬小麦产量为，则，设增产后的每亩动漫小麦总价格为元，分析可知，所以，增产的会产生增加的收益为，故建议农科所推广该项技术改良.19．已知椭圆C:的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为.(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆交于、两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与交于点，与轴交于点，为坐标原点，如果，求的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题设得，解得，，，所以椭圆的方程为.（2）由，得，由，得.设、，则，，所以点的横坐标，纵坐标，所以直线的方程为.令，则点的纵坐标，则，因为，所以点、点在原点两侧.因为，所以，所以.又因为，，所以，解得，所以.20．设函数.(1)若，求函数的单调区间；(2)若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围；(3)过坐标原点O作曲线的切线，证明：切线有且仅有一条，且求出切点的横坐标.【答案】(1)单调减区间为，单调增区间为(2)(3)证明见解析，切点的横坐标为【详解】（1）时，，∴，∵当，，为单调减函数．当，，为单调增函数．∴的单调减区间为，单调增区间为；（2）∵，在区间上是减函数，∴对任意恒成立，即对任意恒成立，令，则，因为函数在上都是减函数，所以函数在上单调递减，∴，∴；（3）设切点为，由题意得，∴,∴曲线在点切线方程为，即．又切线过原点，∴，整理得，设，则恒成立，在上单调递增，又，∴在上只有一个零点，即，∴切点的横坐标为，∴切线有且仅有一条，且切点的横坐标为.21．若无穷数列的各项均为整数.且对于，都存在，使得，则称数列满足性质.(1)判断下列数列是否满足性质，并说明理由.①；②.(2)若数列满足性质，且，求证：集合为无限集；(3)若周期数列满足性质，求数列的通项公式.【答案】(1)①不满足，②满足(2)证明见详解(3)或【详解】（1）对①：取，对，则，可得，显然不存在，使得，故数列不满足性质；对②：对于，则，故，∵，则，且，∴存在，使得，故数列满足性质.（2）若数列满足性质，且，则有：取，均存在，使得，取，均存在，使得，取，均存在，使得，故数列中存在，使得，即，反证：假设为有限集，其元素由小到大依次为，取，均存在，使得，取，均存在，使得，取，均存在，使得，即这与假设相矛盾，故集合为无限集.（3）设周期数列的周期为，则对，均有，设周期数列的最大项为，最小项为，即对，均有，若数列满足性质：反证：假设时，取，则，使得，则，即，这对，均有矛盾，假设不成立；则对，均有；反证：假设时，取，则，使得，这与对，均有矛盾，假设不成立，即对，均有；综上所述：对，均有，反证：假设1为数列中的项，由（2）可得：为数列中的项，∵，即为数列中的项，这与对，均有相矛盾，即对，均有，同理可证：，∵，则，当时，即数列为常数列时，设，故对，都存在，使得，解得或，即或符合题意；当时，即数列至少有两个不同项，则有：①当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；②当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；③当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；综上所述：或.