专题二 整式（助考讲义）——2023届中考数学一轮复习学考全掌握

这是一份专题二 整式（助考讲义）——2023届中考数学一轮复习学考全掌握，共15页。试卷主要包含了代数式的定义，代数式的分类，列代数式的要点，代数式求值的常用方法等内容，欢迎下载使用。
专题二 整式（助考讲义）——2023届中考数学一轮复习学考全掌握讲解一：代数式及其分类 一、代数式的定义：用基本运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式，如，，，等.1.基本运算：加、减、乘、除、乘方、开方.2.单独的一个数或一个字母也是代数式.3.不含关系符号，如“”“>”或“”等 .二、代数式的分类1.有理式：只含有加、减、乘、除、乘方和数字开方运算的代数式2.无理式：被开方数中含有字母的代数式三、列代数式的要点通过题目中的关键词（如和、差、积、商、大、小、几倍、几分之几等），找到正确的数量关系.常见数量关系如下：类别数量关系和差倍分问题①的平方和：；②与差的平方：数的表示个位数字为，十位数字为，百位数字为，这个数表示为面积问题①；②；③；④四、代数式求值的常用方法1.直接代入法：已知字母的值或字母的值可计算时，直接代入求解2.整体代入法：字母的值不能或不必计算时，先对已知或所求代数式进行变形（常用到提取公因式、平方差公式、完全平方公式等），再整体代入求解.  1.（2022.湖南长沙）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动.现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为(   )A.8x元 B.元 C.元 D.元【答案】C【解析】设购买甲种读本x本，则购买乙种读本本，乙种读本的单价为8元/本，则购买乙种读本的费用为元.故选C.2.（2022.内蒙古包头）已知实数a，b满足，则代数式的最小值等于(   )A.5 B.4 C.3 D.2【答案】A【解析】，，，，当时，代数式有最小值，最小值为5，故选A. 讲解二：整式的相关概念 一、单项式：由数与字母的乘积组成的式子叫做单项式，如，等.单项式的相关概念如下：类别定义示例系数单项式中的数字因数次数单项式中的所有字母的指数和1.乘积：只含乘法，不含加法2.单独的一个数或字母也是单项式3.分母中不能含有字母4.若单项式只含有字母因数，则它的系数就是1或－15.对于单独一个非零的数，规定它的次数为06.π是常数而不是字母二、多项式：几个单项式的和叫做多项式，如，等.多项式的相关概念如下：类别定义示例项组成多项式的每个单项式项数组成多项式的单项式的个数次数多项式中次数最高项的次数1.不含字母的项叫做常数项2.多项式的每一项都包括它前面的符号3.一般用次数与项数来表示多项式，称作几次几项式，如是二次三项式4.单项式与多项式统称为整式  3.有下列式子：π，，，，-x，3，5xy，.其中整式有(   )A.7个 B.6个 C.5个 D.4个【答案】B【解析】因为式子π是单项式，不是整式，是多项式，是多项式，-x是单项式，3是单项式，5xy是单项式，不是整式，所以整式共有6个，故选B.4.下列判断正确的是(   )A.a的系数为0  B.的系数为C.的次数是2  D.-5是一次单项式【答案】B【解析】A选项，a的系数为1，故本选项错误；B选项，的系数为，故本选项正确；C选项，的次数足4，故本选项错误；D选项，-5是单项式，但不是一次，故本选项错误，故选B. 讲解三：整式的加减整式的加减的实质是合并同类项，如果有括号要先去括号，再合并同类项  一、合并同类项：将同类项的系数相加，字母与其指数不变，如.1.同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项，如与是同类项2.同类项与单项式的系数无关，与字母的顺序无关.3.常数项都是同类项4.若多个同类项的系数相加为0，则合并后该项为0二、去括号法则符号法则举例括号前是“+”去、添括号不变号括号前是“－”去、添括号都变号添括号与去括号的过程相反，添括号是否正确，可用去括号检验.  5.先去括号，再合并同类项正确的是(   )A. B.C. D.【答案】C【解析】，选项A不符合题意；，选项B不符合题意；，选项C符合题意；，选项D不符合题意；故选C.6.（2022.重庆A）在多项式中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”.例如：，，….下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果.其中正确的个数是(   )A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】当添加一个括号，且左括号在x前边时，右括号在任何一个位置，运算结果都与原多项式相等，故说法①正确.由于不管在哪个位置添加括号都无法改变前两项的符号，因此运算结果与原多项式之和不可能为0，故说法②正确.根据“加算操作”的原则，不会改变前两项的符号，改变的是后三项的符号，画示意图如图所示，据图可知共有8种不同的结果，故说法③正确.故本题选D.7.（2022.内蒙古包头）若一个多项式加上，结果得，则这个多项式为___________.【答案】【解析】设这个多项式为A，由题意得：，. 讲解四：幂的运算   幂的运算类别运算法则运算公式逆用同底数幂的乘法底数不变，指数相加（都是正整数）（都是正整数）幂的乘方底数不变，指数相乘（都是正整数）（都是正整数）积的乘方把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘（是正整数）；（是正整数）；同底数幂的除法底数不变，指数相减（都是正整数）（都是正整数）；零次幂任何非零数的0次幂都等于1 负指数幂指数转正，再取倒数（是正整数）；   8.（2022.湖北武汉）计算的结果是(   )A. B. C. D.【答案】B【解析】原式.9.（2022.山东泰安）计算的结果是(   )A. B. C. D.【答案】B【解析】原式.10.（2022.山东济宁）下列各式运算正确的是(   )A. B. C.  D.【答案】C【解析】，A选项的结论不正确；，B选项的结论不正确；，C选项的结论正确；，D选项的结论不正确，故选C.11.（2022.江苏常州）计算：_________.【答案】【解析】. 讲解五：整式的乘除 一、整式的乘法类别运算法则示例单项式×单项式①系数相乘；②同底数幂相乘；③单独含有的字母连同指数不变单项式×多项式①单项式乘多项式的每一项；②积相加多项式×多项式①将多项式的每一项分别相乘②积相加二、整式的除法类别运算法则举例单项式÷单项式①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里含有的字母连同指数不变多项式÷单项式①用多项式的每一项除以单项式；②商相加  12.（2022.河北）若x和y互为倒数，则的值是(   )A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】x和y互为倒数，，.13.（2022.江西）下列计算正确的是(   )A.  B. C.  D.【答案】B【解析】逐项分析如下：选项分析正误A×B√C×D×14.（2022.青海）下列运算正确的是(   )A.  B.C. D.【答案】D【解析】A.与不是同类项不能加减，故选项A计算不正确；B.，故选项B计算不正确；C.，故选项C计算不正确；D.，故选项D计算正确.15.黄老师给学生出了一道题：当时，求的值.题目出完后，李明说：“老师给的条件是多余的.”小颖说：“不给这个条件就不能求出结果，所以不是多余的.”你认为他们谁说的有道理？为什么？【答案】李明说的有道理.理由如下：因为化简后的结果不含，所以最后的结果与的值无关，所以李明说的有道理. 讲解六：乘法公式  一、平方差公式：平方差公式的实质是符号相同项2－符号相反项2，与位置、系数、指数、项数都无关1.位置：2.系数：3.指数：4.项数：二、完全平方公式：完全平方公式间的联系：①；②；③ 16.（2022.内蒙古赤峰）已知，则的值为(   )A.13 B.8 C.-3 D.5【答案】A【解析】，，，所以，故选A.17.（2022.河南）下列运算正确的是(   )A. B. C. D.【答案】D【解析】逐项分析如下：选项分析正误A×B×C×D√18.（2022.四川广安）已知，则代数式的值为__________.【答案】10【解析】方法一：，
又，原式.方法二：

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又，原式. 讲解七：因式分解  一、因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解 因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即二、提取公因式：如果一个多项式的各项都是公因式，可以把该公因式提出来，将多项式分解成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式1.公因式：指多项式中各项都含有相同的因式，如的公因式是.公因式可以是单项式，也可以是多项式2.提公因式后，多项式的项数与原多项式的项数相同；当原多项式的某项与公因式相同时，提公因式后，所得对应项为13.确定公因式的步骤：（以和的公因式为例）①定系数：取各项系数的最大公因数（8和12的最大公因数是4）②定字母：取各项相同的字母（多项式）（各项相同的字母是）③定次数：取各项相同字母（多项式）的最低次数（的最低次数是1;的最低次数是2）④写公因式：（公因式：）4.提公因式的步骤：（以为例）①确定公因式（公因式：）②把多项式的各项写成含公因式的乘积的形式（原式=）③把公因式提到括号外面，余下各项写在括号里面（原式=）三、公因式：利用乘法公式进行因式分解的方法叫做公式法 平方差公式完全平方公式字母表示或语言叙述两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方式子特征（1）被分解的多项式是二项式（2）每一项的绝对值都可以写成平方的形式（3）这两项的符号相反（1）被分解的多项式是三项式（2）其中两项是两个数（或式子）的平方的形式，这两项的符号相同，另一项是这两个数（或式子）的积的2倍，符号正负均可延伸：十字相乘法对于某些形如“”的二次项系数为1的二次三项式，可以利用十字相乘法进行因式分解.十字相乘的步骤如下：类别举例①竖分二次项与常数项②交叉相乘，积相加③检验确定，横写因式当常数项是正数时，分解的两个因数同号；当常数项是负数时，分解的两个因数异号.  19.下列因式分解正确的是(   )A. B.C. D.【答案】D【解析】A项，，故此选项错误；B项，无法分解因式，故此选项错误；C项，无法分解因式，故此选项错误；D项，，正确.故选D.20.（2022.广东广州）分解因式：__________.【答案】【解析】.故答案为.21.（2022.黑龙江哈尔滨）把多项式分解因式的结果是__________.【答案】【解析】.22.，反过来可写成.于是，我们得到一个关于二次三项式因式分解的新的公式.通过观察可知，公式左边的二次项系数为两个有理数的乘积，常数项也为两个有理数的乘积，而一次项系数恰好为这两对有理数交叉相乘再相加的结果，如图①所示，这种因式分解的方法叫十字交叉相乘法.示例：因式分解：.解：由图②可知，.请根据示例，对下列多项式进行因式分解：（1）；（2）.【答案】（1）由图1可知，.（2）由图2可知，.