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2023版考前三个月冲刺专题练 第30练 函数与方程思想课件PPT
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这是一份2023版考前三个月冲刺专题练 第30练 函数与方程思想课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了专项典题精练，由题设及正弦定理，由正弦定理得，练后疑难精讲，练后反馈，易错对点精补等内容，欢迎下载使用。
1.(2018·天津)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则 的最小值为
如图，以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系.连接AC，由题意知∠CAD＝∠CAB＝60°，∠ACD＝∠ACB＝30°，
2.(2019·全国Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3等于A.16 B.8 C.4 D.2
设等比数列{an}的公比为q，由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，即q2＝4，因为数列{an}的各项均为正数，所以q＝2，又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，解得a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.
3.(2020·天津)设a＝30.7，b＝ ，c＝lg0.70.8，则a，b，c的大小关系为A.a
c＝lg0.70.8a>c.
4.(2021·北京)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m等于
由题可得圆心为(0,0)，半径为2，
5.(2014·北京)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝_____时，{an}的前n项和最大.
∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0.∵a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a9<－a8<0.∴数列的前8项和最大，即n＝8.
6.(2020·全国Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_____.
圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r.作出圆锥的轴截面PAB，如图所示，则△PAB的内切圆为圆锥的内切球的大圆.在△PAB中，PA＝PB＝3，D为AB的中点，AB＝2，E为切点，
7.(2019·全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 ＝bsin A.(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围.
由于△ABC为锐角三角形，故0°
(2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值.
由题意可设直线l：x＝my＋t(m≠0，t≠0)，点A(x0，y0).
得(m2＋2)y2＋2mty＋t2－2＝0，
将直线l的方程代入抛物线C2：y2＝2px，得y2－2pmy－2pt＝0，
A.3 B.4 C.5 D.6
由已知得，函数f(x)的值域为[0,3]，函数g(x)＝f(f(x))－2 的零点即方程f(f(x))＝2 的根，设t＝f(x)，则f(t)＝2，t∈[0,3].当0≤t<2 时，令|2t－1|＝2，得t＝lg23；
即方程f(f(x))＝2 共有4个解，故g(x)＝f(f(x))－2 的零点有4个.
10.(2022·潮汕模拟)实数x，y满足x2＋2xy＋2y2＝1，若x＋ ≤k恒成立，则整数k的最小值为A.1 B.2 C.3 D.4
x2＋2xy＋2y2＝1，即(x＋y)2＋y2＝1.令x＋y＝cs θ，y＝sin θ，则x＝cs θ－sin θ.
因此整数k的最小值为2.
11.(多选)(2022·重庆调研)已知数列{an}，{bn}均为递增数列，它们的前n项和分别为Sn，Tn，且满足an＋an＋1＝2n，bnbn＋1＝2n，则下列结论正确的是A.0
当且仅当b1＝b2时，等号成立，
所以对于任意的n∈N*，S2n
当x≤0 时，f(x)＝ex(x＋1)，则f′(x)＝ex(x＋1)＋ex＝ex(x＋2)，由f′(x)>0，得x∈(－2,0]，则函数f(x)的单调递增区间为(－2,0]，由f′(x)<0，得x∈(－∞，－2)，则函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)，且易知x<－1 时，f(x)<0，f(0)＝1.由以上分析，可作出分段函数f(x)的图象，如图所示.
要使函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则方程f(x)－b＝0，即f(x)＝b有三个不同的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与直线y＝b 有三个不同的交点，结合图象可知，实数b 的取值范围是(0,1].
13.(2022·淄博模拟)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，满足对∀x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有(x1－x2)[x1f(x1)－x2f(x2)]>0，且f(2)＝3，则不等式f(x)> 的解集为__________________.
(－2,0)∪(2，＋∞)
因为(x1－x2)[x1f(x1)－x2f(x2)]>0，所以当x1
∵数列{an}满足a1＝ ，且对∀n∈N*，有an＋1＝ ＋an ＋b，∴a2＝ ＋ ＋b＝b＋1，由b∈Z可得a2∈Z，∴∀n≥2，有an∈Z，∴当n≥2时，an＋1＝ ＋an ＋b＝2an＋b，即an＋1＋b＝2(an＋b)，n≥2，∴an＋b＝(2b＋1)·2n－2，n≥2，当n＝1时，满足上式，∴an＝(2b＋1)·2n－2－b，n∈N*，
∵{an}为递增数列，则an＋1－an>0，
当n≥2时，an＋1－an＝(2b＋1)·2n－2>0，
又b∈Z，则整数b的最小值为0.
15.(2022·海口模拟)已知各项都为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝4，S4－a4＝84.(1)求{an}的通项公式；
设数列{an}的公比q，由S4－a4＝84得a1＋a2＋a3＝84，又a1＝4，所以4＋4q＋4q2＝84，解得q＝－5(舍去)或q＝4.所以an＝4×4n－1＝4n，即an＝4n.
(2)设an＝ ，数列{bn}的前n项和为Tn，若3Sk＋Tk＝4ak＋bk＋1，求正整数k的值.
又an＝4n＝22n＝ ，所以bn＝2n，
由3Sk＋Tk＝4ak＋bk＋1，得4(4k－1)＋k2＋k＝4k＋1＋2(k＋1)，整理得k2－k－6＝0，解得k＝－2(舍去)或k＝3.所以k＝3.
16.(2022·邵阳模拟)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝16，点N(1,0)，P是圆M上一动点，若线段PN的垂直平分线与线段PM相交于点E.(1)求点E的轨迹方程；
由已知有|EM|＋|EN|＝|EM|＋|EP|＝4>|MN|，∴点E的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其中2a＝4,2c＝2，
(2)已知A，B，C为点E的轨迹上的三个点(A，B，C不在坐标轴上)，且 ＝0，其中O为坐标原点，求S△ABC的值.
∴S△ABC＝3S△OAB，由已知AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
可得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4(m2－3)＝0，
Δ＝(8km)2－16(4k2＋3)(m2－3)＝48(4k2＋3－m2)>0⇒4k2＋3－m2>0，y1＋y2＝kx1＋m＋kx2＋m
考情分析高考把函数与方程思想作为思想方法的重点来考查，特别是在有关函数、三角函数、数列、不等式、解析几何、平面向量、立体几何等题目中.高考使用客观题考查函数与方程思想的基本运算，而在主观题中，则从更深的层次，在知识网络的交汇处，从思想方法与相关能力相结合的角度深入考查.
一、函数与方程思想在函数、不等式中的应用核心提炼函数与方程思想在函数、方程、不等式中的应用技巧(1)求字母(式子)的值的问题往往要根据题设条件构建以待求字母(式子)为元的方程(组)，然后由方程(组)求得.(2)求参数的取值范围一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后应用函数知识求值域.
(3)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题.同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化.一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数.
二、函数与方程思想在数列中的应用核心提炼函数与方程思想在数列中的应用技巧(1)数列的通项与前n项和是自变量为整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数或一元二次方程来解决.(2)解决数列最值问题常用的思路：一是构造函数，即通过观察已知等式的特点，构造函数，并判断所构造的函数的奇偶性与单调性；二是会利用函数的单调性，得出数列的单调性，从而比较大小；三是灵活运用数列的性质.
三、函数与方程思想在几何中的应用核心提炼几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长、最值(范围)问题的基本方法.
2.[T10补偿](2022·西宁模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋b2＝kab，则△ABC的面积为 时，k的最大值是
所以c2＝absin C，又因为c2＝a2＋b2－2abcs C，所以a2＋b2＝c2＋2abcs C＝absin C＋2abcs C，
如图所示，设正四棱锥的底面边长为a，高为h，侧棱长为l，则该正四棱锥的体积
令f′(h)＝0，解得h＝2.当h∈(0,2)时，f′(h)<0，f(h)单调递减；当h∈(2，＋∞)时，f′(h)>0，f(h)单调递增.
4.[T13补偿](2022·宁波模拟)已知f(x)＝(ex－a－1)ln(x＋2a－1)，若f(x)≥0对x∈(1－2a，＋∞)恒成立，则实数a的值为_____.
当0
5.[T15补偿](2022·龙岩模拟)设数列{an}满足a1＝2，a2＝6，a3＝12，数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋2－Sn－1＝3(Sn＋1－Sn)＋2(n∈N*，n≥2).(1)求证：数列{an＋1－an}为等差数列，并求{an}的通项公式；
当n≥2时，由Sn＋2－Sn－1＝3(Sn＋1－Sn)＋2可得an＋2＋an＋1＋an＝3an＋1＋2，∴an＋2－2an＋1＋an＝2，∴(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2，∵a2－a1＝4，a3－a2＝6，∴当n＝1时，(a3－a2)－(a2－a1)＝2，∴{an＋1－an}是以4为首项，2为公差的等差数列，∴an＋1－an＝4＋(n－1)×2＝2n＋2.
当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n＋2(n－1)＋…＋2×2＋2
当n＝1时，a1＝2也满足上式，∴an＝n2＋n.
当n≥1时，2n2＋2n－1>0，f(n＋1)>f(n)，因此f(n)的最小值为f(1)＝6，
1.(2018·天津)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则 的最小值为
如图，以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系.连接AC，由题意知∠CAD＝∠CAB＝60°，∠ACD＝∠ACB＝30°，
2.(2019·全国Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3等于A.16 B.8 C.4 D.2
设等比数列{an}的公比为q，由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，即q2＝4，因为数列{an}的各项均为正数，所以q＝2，又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，解得a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.
3.(2020·天津)设a＝30.7，b＝ ，c＝lg0.70.8，则a，b，c的大小关系为A.a
c＝lg0.70.8
4.(2021·北京)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m等于
由题可得圆心为(0,0)，半径为2，
5.(2014·北京)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝_____时，{an}的前n项和最大.
∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0.∵a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a9<－a8<0.∴数列的前8项和最大，即n＝8.
6.(2020·全国Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_____.
圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r.作出圆锥的轴截面PAB，如图所示，则△PAB的内切圆为圆锥的内切球的大圆.在△PAB中，PA＝PB＝3，D为AB的中点，AB＝2，E为切点，
7.(2019·全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 ＝bsin A.(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围.
由于△ABC为锐角三角形，故0°
(2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值.
由题意可设直线l：x＝my＋t(m≠0，t≠0)，点A(x0，y0).
得(m2＋2)y2＋2mty＋t2－2＝0，
将直线l的方程代入抛物线C2：y2＝2px，得y2－2pmy－2pt＝0，
A.3 B.4 C.5 D.6
由已知得，函数f(x)的值域为[0,3]，函数g(x)＝f(f(x))－2 的零点即方程f(f(x))＝2 的根，设t＝f(x)，则f(t)＝2，t∈[0,3].当0≤t<2 时，令|2t－1|＝2，得t＝lg23；
即方程f(f(x))＝2 共有4个解，故g(x)＝f(f(x))－2 的零点有4个.
10.(2022·潮汕模拟)实数x，y满足x2＋2xy＋2y2＝1，若x＋ ≤k恒成立，则整数k的最小值为A.1 B.2 C.3 D.4
x2＋2xy＋2y2＝1，即(x＋y)2＋y2＝1.令x＋y＝cs θ，y＝sin θ，则x＝cs θ－sin θ.
因此整数k的最小值为2.
11.(多选)(2022·重庆调研)已知数列{an}，{bn}均为递增数列，它们的前n项和分别为Sn，Tn，且满足an＋an＋1＝2n，bnbn＋1＝2n，则下列结论正确的是A.0
当且仅当b1＝b2时，等号成立，
所以对于任意的n∈N*，S2n
当x≤0 时，f(x)＝ex(x＋1)，则f′(x)＝ex(x＋1)＋ex＝ex(x＋2)，由f′(x)>0，得x∈(－2,0]，则函数f(x)的单调递增区间为(－2,0]，由f′(x)<0，得x∈(－∞，－2)，则函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)，且易知x<－1 时，f(x)<0，f(0)＝1.由以上分析，可作出分段函数f(x)的图象，如图所示.
要使函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则方程f(x)－b＝0，即f(x)＝b有三个不同的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与直线y＝b 有三个不同的交点，结合图象可知，实数b 的取值范围是(0,1].
13.(2022·淄博模拟)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，满足对∀x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有(x1－x2)[x1f(x1)－x2f(x2)]>0，且f(2)＝3，则不等式f(x)> 的解集为__________________.
(－2,0)∪(2，＋∞)
因为(x1－x2)[x1f(x1)－x2f(x2)]>0，所以当x1
∵数列{an}满足a1＝ ，且对∀n∈N*，有an＋1＝ ＋an ＋b，∴a2＝ ＋ ＋b＝b＋1，由b∈Z可得a2∈Z，∴∀n≥2，有an∈Z，∴当n≥2时，an＋1＝ ＋an ＋b＝2an＋b，即an＋1＋b＝2(an＋b)，n≥2，∴an＋b＝(2b＋1)·2n－2，n≥2，当n＝1时，满足上式，∴an＝(2b＋1)·2n－2－b，n∈N*，
∵{an}为递增数列，则an＋1－an>0，
当n≥2时，an＋1－an＝(2b＋1)·2n－2>0，
又b∈Z，则整数b的最小值为0.
15.(2022·海口模拟)已知各项都为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝4，S4－a4＝84.(1)求{an}的通项公式；
设数列{an}的公比q，由S4－a4＝84得a1＋a2＋a3＝84，又a1＝4，所以4＋4q＋4q2＝84，解得q＝－5(舍去)或q＝4.所以an＝4×4n－1＝4n，即an＝4n.
(2)设an＝ ，数列{bn}的前n项和为Tn，若3Sk＋Tk＝4ak＋bk＋1，求正整数k的值.
又an＝4n＝22n＝ ，所以bn＝2n，
由3Sk＋Tk＝4ak＋bk＋1，得4(4k－1)＋k2＋k＝4k＋1＋2(k＋1)，整理得k2－k－6＝0，解得k＝－2(舍去)或k＝3.所以k＝3.
16.(2022·邵阳模拟)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝16，点N(1,0)，P是圆M上一动点，若线段PN的垂直平分线与线段PM相交于点E.(1)求点E的轨迹方程；
由已知有|EM|＋|EN|＝|EM|＋|EP|＝4>|MN|，∴点E的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其中2a＝4,2c＝2，
(2)已知A，B，C为点E的轨迹上的三个点(A，B，C不在坐标轴上)，且 ＝0，其中O为坐标原点，求S△ABC的值.
∴S△ABC＝3S△OAB，由已知AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
可得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4(m2－3)＝0，
Δ＝(8km)2－16(4k2＋3)(m2－3)＝48(4k2＋3－m2)>0⇒4k2＋3－m2>0，y1＋y2＝kx1＋m＋kx2＋m
考情分析高考把函数与方程思想作为思想方法的重点来考查，特别是在有关函数、三角函数、数列、不等式、解析几何、平面向量、立体几何等题目中.高考使用客观题考查函数与方程思想的基本运算，而在主观题中，则从更深的层次，在知识网络的交汇处，从思想方法与相关能力相结合的角度深入考查.
一、函数与方程思想在函数、不等式中的应用核心提炼函数与方程思想在函数、方程、不等式中的应用技巧(1)求字母(式子)的值的问题往往要根据题设条件构建以待求字母(式子)为元的方程(组)，然后由方程(组)求得.(2)求参数的取值范围一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后应用函数知识求值域.
(3)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题.同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化.一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数.
二、函数与方程思想在数列中的应用核心提炼函数与方程思想在数列中的应用技巧(1)数列的通项与前n项和是自变量为整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数或一元二次方程来解决.(2)解决数列最值问题常用的思路：一是构造函数，即通过观察已知等式的特点，构造函数，并判断所构造的函数的奇偶性与单调性；二是会利用函数的单调性，得出数列的单调性，从而比较大小；三是灵活运用数列的性质.
三、函数与方程思想在几何中的应用核心提炼几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长、最值(范围)问题的基本方法.
2.[T10补偿](2022·西宁模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋b2＝kab，则△ABC的面积为 时，k的最大值是
所以c2＝absin C，又因为c2＝a2＋b2－2abcs C，所以a2＋b2＝c2＋2abcs C＝absin C＋2abcs C，
如图所示，设正四棱锥的底面边长为a，高为h，侧棱长为l，则该正四棱锥的体积
令f′(h)＝0，解得h＝2.当h∈(0,2)时，f′(h)<0，f(h)单调递减；当h∈(2，＋∞)时，f′(h)>0，f(h)单调递增.
4.[T13补偿](2022·宁波模拟)已知f(x)＝(ex－a－1)ln(x＋2a－1)，若f(x)≥0对x∈(1－2a，＋∞)恒成立，则实数a的值为_____.
当0
5.[T15补偿](2022·龙岩模拟)设数列{an}满足a1＝2，a2＝6，a3＝12，数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋2－Sn－1＝3(Sn＋1－Sn)＋2(n∈N*，n≥2).(1)求证：数列{an＋1－an}为等差数列，并求{an}的通项公式；
当n≥2时，由Sn＋2－Sn－1＝3(Sn＋1－Sn)＋2可得an＋2＋an＋1＋an＝3an＋1＋2，∴an＋2－2an＋1＋an＝2，∴(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2，∵a2－a1＝4，a3－a2＝6，∴当n＝1时，(a3－a2)－(a2－a1)＝2，∴{an＋1－an}是以4为首项，2为公差的等差数列，∴an＋1－an＝4＋(n－1)×2＝2n＋2.
当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n＋2(n－1)＋…＋2×2＋2
当n＝1时，a1＝2也满足上式，∴an＝n2＋n.
当n≥1时，2n2＋2n－1>0，f(n＋1)>f(n)，因此f(n)的最小值为f(1)＝6，
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