初中数学人教版八年级下册17.2 勾股定理的逆定理导学案

知识点01  勾股定理的逆定理

如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.

注意：

（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.

知识点02  如何判定一个三角形是否是直角三角形

（1）       首先确定最大边（如）.

（2）       验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C=90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.

注意：

当时，此三角形为钝角三角形；

当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.

知识点03  互逆命题

如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.

注意：

原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.

知识点04  勾股数

满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　

①     3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……

如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

注意：

（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；

（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；

（3） （是自然数）是直角三角形的三条边长；

导学一：勾股定理逆定理

重点1 勾股定理的逆定理

例1.满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（　　）

A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．BC＝1，AC＝2，AB＝

C．BC：AC：AB＝3：4：5 D．BC＝1，AC＝2，AB＝

变式1 如图，正方形网格中的，若小方格边长为，则的形状为（       ）

A．直角三角形 B．锐角三角形

C．钝角三角形 D．以上答案都不对

重点2 勾股数

例2.下列几组数中，是勾股数的一组是（     ）

A．1.5，2，3.5          B．21，45，51          C．一3，-4，-5         D．8，15，17

变式2下列各组数中，是勾股数的是（          ）

A．9，16，25 B．1，1， C．1，，2 D．8，15，17

重点3 互逆命题与互逆定理

例3.写出下列命题的逆命题，并判断其真假：

（1）同位角相等，两直线平行；

（2）如果，那么；

（3）等腰三角形两底角相等；

（4）全等三角形的对应角相等．

（5）对顶角相等．

（6）线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

变式3（1）下列命题：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②两直线平行，内错角相等；③菱形的对角线互相垂直；④对角线相等的四边形是矩形，其逆命题是真命题的有（     ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

（2）下列定理中，有逆定理的个数是（   ）

①有两边相等的三角形是等腰三角形；②若三角形三边满足，则该三角形是直角三角形；③全等三角形对应角相等；④若，则．

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

重点4 利用勾股定理的逆定理判断三角形形状

例4.已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则这个三角形的形状是（        ）

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形

变式4 若的三边长a、b、c满足，那么是（       ）

A．等腰三角形         B．直角三角形           C．锐角三角形     D．钝角三角形

重点5 利用勾股定理逆定理求线段长

例5.在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，若是的高，则的长为（       ）

A． B． C． D．2

变式5 如图，P是等边三角形ABC中的一个点，PA=2，PB=2   ， PC=4，则三角形ABC的边长为________ 

重点6 利用勾股定理逆定理求面积

例6.如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，且∠A＝90°，则四边形ABCD的面积为（       ）

A．12cm2 B．18cm2 C．22cm2 D．36cm2

变式6 如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得，，，，．求阴影部分的面积．

重点7 利用勾股定理逆定理求角度

例7.如图，是的中线，把沿着直线对折，点落在点处．如果，则________．

变式7 如图，点P是等边△ABC内的一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，若点P′是△ABC外的一点，且△P′AB≌△PAC，则∠APB的度数为___．

导学二：勾股定理逆定理应用

重点1 勾股定理的逆定理的应用

例1.  我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，DA=4m，BC=12m，CD=13m．

（1）求出空地ABCD的面积．

（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？

变式1  在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于种种原因，由C到A的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．

（1）问CH是不是从村庄C到河边的最近路，请通过计算加以说明；

（2）求原来的路线AC的长．

重点2 运用勾股定理的逆定理解决方位角问题

例2.  如图，MN是公园劳动湖边一段东西走向的笔直湖岸，A，B是岸边两建筑物，一小艇在点C处，与MN的距离CE＝60米的，小艇向北偏西30°方向行驶100米到达点D，此时，小艇上的人测量A在小艇的南偏西60°方向，B在南偏西30°方向，求A、B两建筑物之间的距离．

变式2 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A、B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．

（1）海港C会受台风影响吗？为什么？

（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？

重点3 勾股定理及其逆定理的综合应用

例3.  如图，已知等腰三角形的底边长为10，点是上的一点，其中．

（1）求证：；

（2）求的长．

变式3 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝1，AD＝3，∠ABC＝90°，则四边形ABCD的面积为（　　）

A． B．4 C．1 D．2

1．ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定ABC为直角三角形的是（       ）

A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3

C．a2=c2﹣b2 D．a：b：c=3：4：6

2.有五根小木棒，其长度分别为7，15，24，25，现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的是（　　）

A．      B．     C．     D．

3．下列命题中，其逆命题是真命题的是（       ）

A．两直线平行，内错角相等 B．对顶角相等

C．全等三角形的对应角相等 D．正方形的四条边相等

4．已知，为正数，且，如果以，的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（       ）

A．5 B．25 C．7 D．15

5．若的三边长a、b、c满足，那么是（       ）

A．等腰三角形     B．直角三角形          C．锐角三角形     D．钝角三角形

6．已知，，是的三边，如果满足，则三角形的形状是　　

A．等腰三角形       B．直角三角形     C．等腰三角形或直角三角形     D．等腰直角三角形

7．如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高是（       ）

A． B． C． D．

8.在中，，，，平分交于点，，且交于点，则的长为_____________．

9.如图，在四边形ABCD中，点E为AB的中点，于点E，，，，，则四边形ABCD的面积为_________．

10.如图，△ABC中，已知AB=AC，D是AC上的一点，CD=9，BC=15，BD=12．

（1）判断△BCD的形状并证明你的结论．

（2）求△ABC的面积．

11.如图，学校操场边有一块四边形空地ABCD，其中AB⊥AC，AB＝CD＝4m，BC＝9m，AD＝7m．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．

（1）求需要绿化的空地ABCD的面积；

（2）为方便师生出入，设计了过点A的小路AE，且AE⊥BC于点E，试求小路AE的长．

12.如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8 cm，BC=6 cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为1 cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为2 cm/s，它们同时出发，设运动的时间为t s.

（1）运动几秒时，△APC是等腰三角形？

（2）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间.