人教版八年级下册18.2.2 菱形学案

知识点01  菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

注意：

菱形的定义的两个要素：

①是平行四边形.        ②有一组邻边相等.

即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.

知识点02  菱形的性质

菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：

1.菱形的四条边都相等；

2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.

注意：

（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.

（2）菱形的面积由两种计算方法：

一种是平行四边形的面积公式：底×高；

另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.

（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.

知识点03  菱形的判定

菱形的判定方法有三种：

1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

3.四条边相等的四边形是菱形.

注意：

前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.

导学一：菱形的性质

重点1 利用菱形的性质求线段长度

例1.  菱形的两条对角线长分别为6，8，则它的周长是（　　）

A．5 B．10 C．20 D．24

变式1-1 如图，菱形ABCD的周长为28，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，则OE的长等于（　　）

A．2 B．3.5 C．7 D．14

变式1-2 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（　　）

A． B． C．4 D．

变式1-3如图，在菱形中，P是对角线上一动点，过点P作于点E．于点F．若菱形的周长为20，面积为24，则的值为（       ）

A．4 B． C．6 D．

（变式1-1图）                     （变式1-2图）                    （变式1-3图）  

重点2 利用菱形的性质求角度

例2.  如图，菱形中，，则的度数为（       ）

A. B． C． D．

变式2-1 如图，菱形中，交于点，于点，连接，若，则的度数是（       ）

A．35° B．30° C．25° D．20°

变式2-2 如图，在菱形中，分别垂直平分，垂足分别为，则的度数是（       ）

A．90° B．60° C．45° D．30°

变式2-3 如图，菱形的边的垂直平分线交于点，交于点，连接．当时，则（   ）

A． B． C． D．

（变式2-1图）                       （变式2-2图）              （变式2-3图）  

重点3  利用菱形的性质计算面积及其应用

例3.  已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（       ）

A．12cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．96cm2

变式3-1 已知菱形的周长为8，两邻角的度数比为1：2，则菱形的面积为（　　）

A．8 B．8 C．4 D．2

变式3-2 如图，在菱形ABCD中，对角线BD＝4，AC＝3BD，则菱形ABCD的面积为（　　）

A．96 B．48 C．24 D．6

重点4 利用菱形的性质证明线段相等

例4.  如图，在菱形ABCD中，BE⊥CD于点E．DF⊥BC于点F．求证：BF＝DE；

变式4 如图，菱形的边长为1，，点E是边上任意一点（端点除外），线段的垂直平分线交，分别于点F，G，，的中点分别为M，N．求证：；

重点5  利用菱形的性质证明角相等

例5.  已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD＝∠CBE．

变式5 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO．

难点6  菱形中的图形变换问题

例6.  如图，将菱形纸片折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF．若菱形的边长为4，，则的值是（     ）

A． B．2 C． D．4

变式6-1 如图，在菱形纸片ABCD中，对角线AC、BD长分别为16、12，折叠纸片使点A落在DB上，折痕交AC于点P，则DP的长为（　　）

A．3 B． C．3 D．3

变式6-2 如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，P为AB中点．折叠该纸片使点C落在点C′处且点P在DC′上，折痕为DE，则∠CDE的大小为（　　）

A．30° B．40° C．45° D．60°

  （变式6-1图）           （变式6-2图）

难点7  菱形中的最值问题

例7.  如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（　　）

A． B．1 C． D．2

变式7 如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

（例7图）          （变式7图）

导学二：菱形的判定

重点1 利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定

例1.  如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF，求证：四边形AECF是菱形．

变式1-1 如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．

变式1-2 已知：如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别相交于点E、F．

（1）求证：△BOE≌△DOF；

（2）当EF与AC满足什么关系时，以A、E、C、F为顶点的四边形是菱形？并给出证明．

重点2 利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判定

例2.  如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接.求证：四边形是菱形；

变式2 如图，在ABCD中，E是对角线BD上的一点，过点C作CF∥DB，且CF＝DE，连接AE，BF，EF（1）求证：△ADE≌△BCF；

（2）若∠ABE+∠BFC＝180°，则四边形ABFE是什么特殊四边形？说明理由．

重点3  利用四条边相等的四边形是菱形进行判定

例3.  如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF，

（1）证明：∠BAC=∠DAC．          （2）若∠BEC=∠ABE，试证明四边形ABCD是菱形．

变式3 如图，已知△ABC，按如下步骤作图：

①分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；

②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；

③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF.

(1)求证：△AED≌△CFD；

(2)求证：四边形AECF是菱形．

难点4 菱形的性质与判定的综合

例4.  如图，矩形中，，，点、分别在、上，且.

（1）求证：四边形是菱形；          （2）求线段的长．

变式4 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．(1)求证：四边形ADCF是菱形；        (2)若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCF的面积．

1．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（     ）

A．内角和为360° B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线互相垂直

2．下列条件中，能判定▱ABCD是菱形的是（　　）

A．AC＝BD B．AB⊥BC C．AD＝BD D．AC⊥BD

3．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（       ）

A． B． C．5 D．4

4．如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为(　　)

A．2.4cm B．4.8cm C．5cm D．9.6cm

（题3图）            （题4图）

5．菱形的两条对角线长分别为6，8，则它的周长是（　　）

A．5 B．10 C．20 D．24

6．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（　　）

A．20° B．25° C．30° D．40°

7．如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（   ）

A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形

B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形

C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形

D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形

8．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

9．如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH.若OB=4，S菱形ABCD=24，则OH的长为______________.

10．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是线段BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．则OE+OF＝___．

（题9图）           （题10图）

11．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，求的长．

12．在Rt△ABC中，∠BAC=90°,D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F（1）求证：△AEF≌△DEB；               （2）证明四边形ADCF是菱形；

（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面积．

13．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF

（1）求证：▱ABCD是菱形；

（2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD的面积．