数学八年级下册18.1.1 平行四边形的性质导学案

知识点01  平行四边形的定义

平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ □ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.

注意：

平行四边形的基本元素：边、角、对角线.

相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.

知识点02  平行四边形的性质

1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；

2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；

3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；

4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.

注意：

（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；

角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.

（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.

（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.

知识点03  平行四边形的判定

1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.

注意：

（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应

选择较简单的方法.

（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.

知识点04  平行线间的距离

1.两条平行线间的距离：

（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.

注：距离是指垂线段的长度，是正值.

（2）平行线间的距离处处相等

任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.

两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.

 2.平行四边形的面积：       

平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.

导学一：平行四边形的边、角性质

重点1 平行四边形的概念

例1.  如图，E，F分别是 □ABCD的边AB，CD的中点，则图中平行四边形的个数共有（       ）.

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

变式1-1 如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形（不包括四边形ABCD）的个数共有（       ）

A．9个 B．8个 C．6个 D．4个

变式1-2 如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（       ）

A.          B．   

C．       D．

重点2 平行四边形与长度相关的计算

例2.  如图，在▱ ABCD中，AB=3，BC=5，∠ABC的平分线交AD于点E，则DE的长为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2

变式2 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，EF过点O与AD、BC分别相交于E、F．若AB＝4，BC＝5，OE＝1.5，那么四边形EFCD的周长为（       ）

A．16 B．14 C．10 D．12

重点3 平行四边形与角度相关的计算

例3.  如图，在平行四边形ABCD中，∠A=70°，DC=DB，则∠CDB=__．

变式3-1 如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作□BCDE，则∠E的度数为（       ）

A．40° B．50° C．60° D．70°

变式3-2 如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为________．

重点4 平行四边形与面积相关的计算

例4.  如图，的对角线、相交于点，经过点，分别交、于点、，已知的面积是，则图中阴影部分的面积是_____.

变式4-1 如图，在平行四边形中，过点作于，作于，且，，，则平行四边形的面积是（       ）

A． B． C． D．

重点5 利用平行四边形的边、角性质证明线段之间的关系

例5.  如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F．求证：BE=DF．

变式5 如图，已知AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE＝FE.求证：BF＝AC．

重点6 利用平行四边形的边、角性质证明角相等

例6.  如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：∠ABF=∠CDE．

变式6 如图，在▱ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE＝CF．求证：∠BEF＝∠DFE．

重点7 平面直角坐标系中的平行四边形

例7.  在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为(0，0)，(0，－5)，(－2，－2)，以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在(           )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

变式7 在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为，以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点的坐标是_________．

重点8 两条平行线之间的距离

例8.  垂足，则下列说法中错误的是（      ）

A．     B．两点间的距离就是线段的长

C．    D．间的距离就是线段的长

变式8 下列说法错误的是(　　)

A．如果线段AB=AC，那么点A与点B之间的距离等于点A与点C之间的距离

B．两点之间，线段最短

C．连结两点的线段就是两点之间的距高

D．两点之间的距离是连结两点的所有线中长度最短的

导学二：平行四边形的对角线的性质

重点1 平行四边形的对角线的性质

例1.  下列性质中，平行四边形不一定具备的是（   ）

A．邻角互补          B．对角互补            C．对边相等         D．对角线互相平分

变式1-1 在平行四边形ABCD中，对角线AC长为8cm，，，则它的面积为______cm2．

变式1-2 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝，且AC：BD＝2：3，那么AC的长为___．

重点2 利用平行四边形的对角线的性质进行与周长有关的计算

例2.  如图，平行四边形ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长是（          ）

A．12 B．15 C．18 D．24

变式2-1 如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，若△CDE的周长为8，则▱ABCD的周长为（       ）

A．8 B．10 C．16 D．20

变式2-2 如图，在中，，对角线与相交于点，交于，若的周长为，则的周长是（ ）

A． B． C． D．无法确定

变式2-3 如图，E，F分别是▱ABCD的边AD、BC上的点，EF=6，∠DEF=60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为（　　）

A．6 B．12 C．18 D．24

（变式2-1图）                          （变式2-2图）                      （变式2-3图）

重点3 利用平行四边形的对角线的性质进行与取值范围有关的计算

例3.  如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，AB＝4，则BD的长可能是（       ）

A．1 B．2 C．4 D．14

变式3-1 如图，在中，一条边的长是8，一条对角线的长为6，那么它的另一条对角线的长的取值范围是________．

（例3图）         （变式3-1图）

变式3-2 在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，如果AC=10，BD=8，AB=x，则x的取值范围是_______．

重点4 利用平行四边形的对角线的性质进行与面积有关的计算

例4.  如图，平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则S△DEF：S△BFC＝（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3

变式4 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，是边的中点，、为上的点，连接和，若，，，则图中阴影部分的面积为（       ）

A． B． C． D．

（例4图）         （变式4图）

重点5 利用平行四边形的对角线的性质进行与线段长有关的计算

例5.  如图，平行四边形ABCD中，两对角线交于点O，AB⊥AC，AD=5cm，OC=2cm，则对角线BD的长为（       ）

A．cm B．8cm    C．3cm      D．cm

变式5-1 如图，在▱ABCD中，BE垂直平分CD于点E，且∠BAD＝45°，AD＝3，则▱ABCD的对角线AC的长为（　　）

A． B．5 C．5 D．2

变式5-2 如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC＝，则B′D的长是（　　）

A．1 B． C． D．

（变式5-1图）                   （变式5-2图）                （变式5-3图）

变式5-3 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC于E，AB＝，AC＝2，BD＝4，则AE的长为（　　）

A． B． C． D．

重点6 利用平行四边形的对角线的性质进行证明

例6.  如图，的对角线相交于点分别为的中点．求证：．

变式6 如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．点E恰是CD的中点．求证：（1）△ADE≌△FCE；   （2）BE⊥AF．

导学三：平行四边形的判定

重点1 根据边的关系判定平行四边形

例1.  已知：如图，E在边的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形．

变式1 如图，□ABCD中，点M、N是对角线AC上的点，且AM=CN，DE=BF，求证：四边形MFNE是平行四边形．

重点2 根据角的关系判定平行四边形

例2.  下面给出了四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判断四边形ABCD为平行四边形的是 （    ）

A．1:2:3:4 B．2:2:4:4 C．2:3:2:3 D．2:3:3:2

重点3 根据对角线的关系判定平行四边形

例3.  已知：▱ABCD的对角线AC，BD相交于O，M是AO的中点，N是CO的中点，求证：BM∥DN，BM=DN．

重点4 平行四边形判定的灵活运用

例4.  如图，平行四边形中，对角线与相交于点，、分别是对角线BD上的两点，给出下列四个条件：①；②；③；④.其中能判断四边形是平行四边形的个数是（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

变式4 在四边形中，∥，要使四边形是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是__________．（只要填写一种情况）

重点5 平行四边形的性质和判定的综合运用

例5.  如图，已知E、F分别为平行四边形ABCD的对边AD、BC上的点，且DE＝BF，EM⊥AC于M，FN⊥AC于N，EF交AC于点O，求证：EF与MN互相平分．

变式5 已知：如图，直线与的对角线平行，延长，，，分别交于点E，F，G，H．求证：．

1．如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（　　）

A．15 B．18 C．21 D．24

2．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（　　）                   

A．150° B．130° C．120° D．100°

3．如图，中，对角线、相交于点O，交于点E，连接，若的周长为28，则的周长为（       ）

A．28 B．24 C．21 D．14

（第1题图）                       （第2题图）                     （第3题图）

4．平行四边形所具有的性质是（     ）

A．对角线相等      B．邻边互相垂直      C．每条对角线平分一组对角      D．两组对边分别相等

5．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是（   ）

A．10 B．14 C．20 D．22

6．如图，在中，分别是的中点，点在延长线上，添加一个条件使四边形为平行四边形，则这个条件是（     ）

A． B． C． D．

7．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE＝CF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有(       )

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

（第5题图）                       （第6题图）                     （第7题图）

8．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC=90°，E、F分别为AC、CD的中点，∠D=α，则∠BEF的度数为_____（用含α的式子表示）．

9．已知：如图，在中，中线交于点分别是的中点．

求证：（1）；      （2）和互相平分．