苏科版八年级数学上册同步精品讲义 第13讲 勾股定理的逆定理（学生版+教师版）

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知识点01 勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
【微点拨】
（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
【即学即练1】某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形土地时，在BC上有一处古建筑D，使得BC的长不能直接测出，工作人员测得AB＝130米，AD＝120米，BD＝50米，在测出AC＝150米后，测量工具坏了，使得DC的长无法测出，请你想办法求出BC的长度为（ ）
A．90米B．120米C．140米D．150米
知识点02 如何判断一个三角形是否是直角三角形
（1）首先确定最大边（如）.
（2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.
【微点拨】
当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
【即学即练2】在中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．，，D．，，
知识点03 勾股数
满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：
①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
【微点拨】
（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；
（2）（n≥1，是自然数）是直角三角形的三条边长；
（3） （是自然数）是直角三角形的三条边长；
【即学即练3】下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，，3B．0.3，0.4，0.6C．9，12，15D．5，6，7
考法01 判断三边能否构成直角三角形
【典例1】1．如图，在△ABC中，AC＝3 cm，BC＝4 cm，AB＝5 cm，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积等于（ ）
A．1B．1.5C．2D．3
考法02 利用勾股定理的逆定理求解
【典例2】下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（ ）
A．三个角的比是
B．三条边，，满足关系
C．三条边的比是
D．三边长分别为1，2，
题组A 基础过关练
1．以线段a，b，c为三边的三角形是直角三角形的是（ ）
A．a＝5，b＝4，c＝3B．a＝1，b＝2，c＝3
C．a＝5，b＝6，c＝7D．a＝2，b＝2，c＝3
2．下列给出的三条线段首尾相接，组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，4cmB．5cm，7cm，9cmC．6cm，8cm，10cmD．8cm，10cm，12cm
3．如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．B．C．D．
4．若△ABC的三边为a、b、c满足a：b：c=1：1：，则△ABC的形状为 ________________．
5．如图，在4×4的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点画△ABC，使，，．标出顶点位置，并判断△ABC形状为 三角形．
6．已知a，b，c为三角形的三边，且满足，这个三角形是________三角形．
7．如图所示的一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，则这块地的面积为多少?
题组B 能力提升练
1．下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是( )
A．，，B．，，C．3，4，5D．6，8，11
2．满足下列条件的三边长为a、b、c的，不是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知的三边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A．B．，，
C．D．
4．如图，在正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别画三角形，则图中直角三角形是（ ）
A．①B．②C．③D．④
5．在中，，，，则等于90°的角是（ ）
A．B．C．D．不存在
6．如图，在四边形ABCD中，，，，．则的度数为________．
7．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E是格点，则∠ABD＋∠CBE的度数为_____________．
8．如图是一个零件的示意图，测量，，，，若，则_________．
9．如图，在四边形ABCD中，，，，，BC⊥DC于点C．求四边形ABCD的面积．
10．如图，中，点D是上的一点，，，，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)求的面积．
题组C 培优拔尖练
1．已知△ABC的三边分别是a、b、c，下列条件中不能判断△ABC为直角三角形的是（ ）
A．B．∠A＋∠B＝∠C
C．a＝1，b＝3，D．
2．关于有下列条件：①；②；③；④；⑤．其中能确定是直角三角形的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是，甲客轮沿着北偏东的方向航行，后到达小岛，乙客轮到达小岛．若，两岛的直线距离为，则乙客轮离开港口时航行的方向是（ ）
A．北偏西B．南偏西
C．南偏东或北偏西D．南偏东或北偏西
4．△ABC的边为a、b、c，下列条件：①∠A＝∠B－∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；③；④；； (m＞1)；⑤若c的中线为m，且，其中能判定△ABC为直角三角形的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
5．如图，D为△ABC边BC上的一点，AB＝20，AC＝13，AD＝12，DC＝5，则S△ABC＝______．
6．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，DE⊥AC于E，DE＝3，S△DAC＝6，则∠ACB的度数等于 _____．
7．如图，在中，，，，把折叠，使AB落在直线AC上，则重叠部分（阴影部分）的面积是______．
8．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，，．
(1)求证：∠A＝90°；
(2)若AC＝6，BD＝5，求AE的长度．
9．自2020年以来，安宁市建起了多个“口袋公园”，它们既美化了城市空间，又拓展了市民的公共活动场所，还体现着城市风貌和文化.如图，在某小区旁有一块四边形空地，其中，，，，．
(1)如图，连接AC，试求AC的长；
(2)安宁市委市政府计划将其打造为“口袋公园”，经测算，每平方米的费用为2000元，请你计算将这块地打造成“口袋公园”需要多少钱？
10．如图①，是四边形ABCD的一个外角，，，点F在CD的延长线上，，，垂足为G．
（1）求证：
①DC平分；
②．
（2）如图②，若，，．
①求的度数；
②直接写出四边形ABCF的面积．
课程标准
课标解读
体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理
探究勾股定理的逆定理的证明方法
理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系
掌握勾股定理的逆定理及简单应用
掌握勾股定理的逆定理的证明方法
理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；
能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形