2021学年17.2 勾股定理的逆定理备课ppt课件

第十七章　勾股定理

17.2　勾股定理的逆定理

第1课时　勾股定理的逆定理(1)

一、 教学目标

1．掌握直角三角形的判别条件．

2．熟记一些勾股数．

3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法．

二、 重点难点

重点

探究勾股定理的逆定理，理解并掌握互逆命题、原命题、逆命题的有关概念及关系．

难点

归纳猜想出命题2的结论．

三、 教学设计

（一）   新知导入

问题1  同学们，直角三角形都有哪些性质？

直角三角形有如下性质：

(1)有一个角是直角；

(2)两个锐角互余；

(3)两直角边的平方和等于斜边的平方；

(4)在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半．

问题2  那么一个三角形满足什么条件时，才能是直角三角形呢？

如果三角形有一个内角是90°，那么这个三角形就为直角三角形

如果一个三角形，有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形．

前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a，b与斜边c具有一定的数量关系即a2＋b2＝c2，我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？我们来看一下古埃及人是如何做的？

同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?

打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.

这个问题意味着，如果围成的三角形的三边长分别为3，4，5，有下面的关系：32＋42＝52，那么围成的三角形是直角三角形．

（二）   新知讲解

  画画看  如果三角形的三边长分别为：

 ①5,12,13;       ②7,24,25;          ③8,15,17.

问题 1  分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？

下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c:  

           ①5,12,13;       ②7,24,25;          ③8,15,17.

问题2   这三组数在数量关系上有什么相同点？

① 5,12,13满足52+122=132,

② 7,24,25满足72+242=252,

③ 8,15,17满足82+152=172.

问题3   古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？

∵32+42=52，∴满足.

问题3   据此你有什么猜想呢?

由上面几个例子，我们猜想：

命题2    如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

　证一证:

已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．

　求证：△ABC是直角三角形．

勾股定理的逆定理:

如果三角形的三边长a 、b 、c满足

         a2+b2=c2

那么这个三角形是直角三角形.

特别说明：

    勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.

例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？

(1) a=15  ， b=8  ，c=17; (2) a=13 ，b=14  ，c=15.

   解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，

根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，

且∠C是直角.

   (2)∵132+142=365，152=225，

∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，

∴这个三角形不是直角三角形.

          根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.

如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2

          那么这个三角形是直角三角形.

满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.

常见勾股数：

3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.

勾股数拓展性质：

     一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.

       题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.

一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.

（三）   课堂练习

1.说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？

(1)两条直线平行，内错角相等；

(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；

(3)全等三角形的对应角相等；

(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

2、下列四组数中：①1、 、2；②32，42，52 ；③9，40，41；④3k、4k、5k（k为正整数）.属于勾股数的有____________(填序号).

3、直角三角形一条直角边与斜边分别为8cm和10cm.则斜边上的高等于          cm.

4、已知两条线段的长为3cm和4cm,当第三条线段的长为        cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.

5.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）

A．2，3，4                    B．3，4，6

C．5，12，13                D．4，6，7

6.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是                                      （　　）

A．4              B．3               C．2.5               D．2.4

7.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是_______________________.

（四）   拓展提高

1.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，  AD=CD= ,求四边形ABCD 的面积.

四、 课堂总结

1、勾股定理的逆定理

2、什么叫做互逆命题、原命题与逆命题、互逆定理.

3、已学过的直角三角形的判定方法：

（1）直角三角形的定义；（2）勾股定理的逆定理

4、勾股定理与勾股定理的逆定理的  区别与联系：

区别：（1）二者的题设和结论正好相反；（2）前者是直角三角形的性质定理，后者是直角三角形的判定定理；（3）二者的作用不同。

联系：二者互为逆定理

五、 板书设计

六、作业设计

　　　　　　　课后作业：课本33页练习第3题、34页习题17.2第2题。