北师大版七年级下册1 感受可能性课时训练

第14讲  概率初步

 知识点1 随机事件与概率

随机事件的概念

在一定条件下，必然会发生的事件叫必然事件。

在一定条件下，一定不可能发生的事件叫不可能事件。

在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫随机事件

概率的概念及意义

一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。

①事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必   然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1.

②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.

【典例】

例1（2020春•仪征市期末）一个不透明的袋中装有3个红球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出2球，则“摸出的球至少有1个黑球”是_______事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”）

【方法总结】

本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

例2 （2020春•句容市期中）在一个不透明的口袋里，装有6个除颜色外其余都相同的小球，其中2个红球，2个白球，2个黑球．它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出n个球，红球、白球、黑球至少各有一个．

（1）当n为何值时，这个事件必然发生？

（2）当n为何值时，这个事件不可能发生？

（3）当n为何值时，这个事件可能发生？

【方法总结】

本题考查了随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．也考查了必然事件和不可能事件．

例3 （2020春•海陵区校级期末）质地均匀的骰子的6个面上分别刻有1﹣6的点数，抛掷这枚骰子，把这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列______________．

（1）向上一面的点数大于0

（2）向上一面的点数是7

（3）向上一面的点数是3的倍数

（4）向上一面的点数是偶数

【方法总结】

本题考查的是可能性的大小，解决这类题目要注意具体情况具体对待，最准确的方法是计算出事件发生的概率进行比较．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．

例4 （2020春•青川县期末）如图所示，转盘被等分成六个扇形，并在上面一次写上数字1、2、3、4、5、6；若自由转动转盘，当它停止转动时，求：

（1）指针指向4的概率；

（2）指针指向数字是奇数的概率；

（3）请你用这个转盘设计一个游戏，当自由转动的转盘停止时，指针指向区域的概率为．

【方法总结】

本题考查了概率公式：某随机事件的概率＝这个随机事件发生的情况数除以总情况数．

例5 （2020春•青岛期末）在一个口袋中装有4个红球和8个白球，它们除颜色外完全相同．

（1）判断事件“从口袋中随机摸出一个球是黑球”是什么事件，并写出其发生的概率；

（2）求从口袋中随机摸出一个球是红球的概率；

（3）现从口袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出一个球是红球的概率是，问取走了多少个白球？

【方法总结】

本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

【随堂练习】

1．（2020春•沭阳县期末）下列事件中：①购买张彩票，中奖；②如果a为实数，那么|a|≥0；③水中捞月；④守株待兔．其中为必然事件的是_______．（填序号）

2．（2020春•盐城期末）如图，任意转动转盘1次，当转盘停止运动时，有下列事件：①指针落在标有5的区域内；②指针落在标有10的区域内；③指针落在标有奇数的区域内．请将这些事件的序号按事件发生的可能性从小到大的顺序依次排列为_______．

3．（2020春•广饶县期末）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券（转盘等分成20份）．甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？他得到100元、50元、20元的购物券的概率分别是多少？

4．（2020春•九江期末）在不透明的口袋里有红球4个、绿球5个和黄球若干个，除了颜色不同外，其它都相同．已知任意摸出一个球是绿球的概率是，请解答下列问题：

（1）口袋里黄球的个数为_______．

（2）求任意摸出一个球是红球的概率．

5．（2020春•竞秀区期末）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，并规定：顾客消费300元（含300元）以上，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折，七折区域，顾客就可以获得此项优惠，如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘．

（1）某顾客正好消费220元，他可以转动转盘吗？

（2）某顾客正好消费420元，他转一次转盘，他获得九折八折、七折优惠的概率分别是多少？

（3）某顾客消费中获得了转动一次转盘的机会，实际付费252元，请问他消费所购物品的原价应为多少元．

知识点2 用列举法求概率

用列表法和树状图法，求事件的概率

1. 列表法：当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，为了不重不漏地列举出所有可能的结果，我们采用列表法来求出某事件的概率．

2. 树状图法：当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图法来求出某事件的概率．树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，像树的树丫形式，最末端的树丫个数就是总的可能的结果．

【典例】

例1（2020秋•韩城市期末）全运会吉祥物以陕西秦岭独有的四个国宝级动物“金丝猴、羚牛、大熊猫、朱鹮”为创意原型，设计了一组幸福快乐、充满活力、精神焕发、积极向上的运动吉祥物形象．现有四张纪念卡片分别绘有吉祥物的图案（如图），纪念卡背面完全相同．

（1）小丽从四张纪念卡任意抽取一张，则小丽抽取到的卡片绘有吉祥物“羚羚”的概率为_______；

（2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的动物名称，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的动物名称．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是“熊熊”的概率．

【方法总结】

此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

例2（2020秋•白云区期末）在一个不透明的盒子中装有四个球，它们分别印有“我”、“爱”、“白”、“云”字样．这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除字样外无其他差别．

（1）随机摸出一个球，恰好摸到“爱”字球的概率为_______；

（2）随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个．求两次摸到的球中，至少有一次摸到“云”字球的概率．

【方法总结】

此题考查的是列表法或树状图法求概率的知识．注意树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．

例3（2020秋•齐河县期末）春节期间，北京为海内外游客奉上了一场“大中国、老北京、最正宗、最有味、最幸福”的节日盛宴．“中国年”成为春节期间年味儿最浓、关注度最高、点赞率最多的热点和亮点．现有5张分别标有：“大中国”、“老北京”、“最正宗”、“最有味”、“最幸福”的卡片，它们除所标文字外质地、大小完全相同．

（1）把卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，求恰好抽到的卡片上含有“最”字的概率；

（2）把卡片背面向上洗匀，从中随机连续抽取两张，嘉琪说两张卡片上都含有“最”字的概率和（1）中的结果一样，你同意她的观点吗？通过树状图或列表说明．

【方法总结】

此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．

【随堂练习】

1．（2020秋•长垣市期末）已知一个口袋中装有5个只有颜色不同的球，其中2个白球，3个黑球．

（1）从中随机抽取出一个黑球的概率是_______；

（2）随机摸取一个小球不放回，再随机摸出一个小球．请用列表法（或画树状图法），求两次取出的小球颜色相同的概率；

（3）若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，求y与x之间的函数关系式．

2．（2020秋•昌图县期末）近年来，人们购物的支付方式发生着巨大变化，随着微信和支付宝这两种手机支付方式的加入，它们与刷银行卡和现金支付已经成为四种最常用的支付方式．在一次购物中，小明和小亮都想从这四种支付方式中选择一种方式进行支付．请用列表或画树状图的方法解决下列问题：

（1）求出两人恰好选择同一种支付方式的概率；

（2）若此次购物，小明不选择现金支付，求出两人恰好都选择手机支付方式的概率．

3．（2020秋•绥中县期末）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”“丽”、“龙”、“岩”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅均匀再摸球．

（1）若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率；

（2）若从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“龙岩”的概率．

知识点3用频率估计概率

用频率估计概率

实际上，从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个时间出现的频率，总在一个固定的数附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率

【典例】

例1（2020秋•同心县期末）一个袋子里有n个除颜色外完全相同的小球，其中有8个黄球，每次摸球前先将袋子里的球摇匀，任意摸出一球记下颜色后放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是_______．

【方法总结】

本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．

例2 （2020春•郏县期末）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购买10元以上的商品就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪个区域就可以获得相应的奖品，如表所示是活动进行中的一组数据：

（1）计算并完成表格；

（2）请估计n很大时，频率将会接近多少？

（3）假如你去转动转盘一次，你获得洗衣粉的概率大约是多少？

（4）在该转盘中，标有铅笔区域的扇形圆心角大约是多少？（精确到1°）

【方法总结】

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．

【随堂练习】

1．（2020秋•锦州期末）某批篮球的质量检验结果如下：

从这批篮球中，任意抽取一只篮球是优等品的概率的估计值是_______．（精确到0.01）

2．（2020春•盐城期末）某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据：

（1）填写表中的空格；

（2）当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是_______；

（3）若袋中有红球2个，请估计袋中白球的个数．

   综合运用

1．（2020•安顺）下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是（　　）

A． B． 

C． D．

2．（2020春•江阴市校级期中）一个布袋里装有3个红球，4个黑球，5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，则下列事件中，发生可能性最大的是（　　）

A．摸出的是红球 B．摸出的是黑球 

C．摸出的是绿球 D．摸出的是白球

3．（2020秋•潮州期末）在一次摸球实验中，摸球箱内放有白色、黄色乒乓球共50个，这两种乒乓球的大小、材质都相同．小明发现，摸到白色乒乓球的频率稳定在60%左右，则箱内黄色乒乓球的个数很可能是_______．

4．（2020春•揭阳期末）在一个不透明的口袋中装着大小、外形等一模一样的5个红球、3个蓝球和2个白球，它们已经在口袋中被搅匀了．请判断以下事情是不确定事件、不可能事件，还是必然事件．

（1）从口袋中任意取出一个球，是一个白球；

（2）从口袋中一次任取5个球，全是蓝球；

（3）从口袋中一次任意取出9个球，恰好红蓝白三种颜色的球都齐了．

5．（2020春•滕州市校级期末）一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，每个球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球．

（1）判断摸到什么颜色的球可能性最大？

（2）求摸到黄颜色的球的概率；

（3）要使摸到这三种颜色的球的概率相等，需要在这个口袋里的球做什么调整？

6．（2020春•泰山区期末）计算下列各题：

如图，是一个圆形转盘，现按1：2：3：4分成四个部分，分别涂上红、黄、蓝、绿四种颜色，自由转动转盘，请计算：

（1）停止后指针落在蓝色区域的概率；

（2）黄色区域扇形的圆心角度数是多少？

7．（2020春•文山州期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球5个，黑球若干个．若从中任意摸出一个白球的概率是．

（1）求盒子中黑球的个数；

（2）求任意摸出一个球是黑球的概率；

（3）能否通过改变盒子中球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，若能，请写出你的修改方案．

888.（2020秋•抚顺县期末）小智将清华大学、北京大学、复旦大学及浙江大学的图片分别贴在4张完全相同的不透明的硬纸板上，制成名校卡片，如图．小智将这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上，从中随机抽取一张卡片；之后将剩余卡片洗匀，再随机抽取一张卡片．

（1）小智第一次抽取的卡片上的图片是浙江大学的概率是多少？（请直接写出结果）

（2）请你用列表或画树状图的方法，帮助小智求出两次抽取的卡片上的大学一个校址是北京、一个校址是上海的概率．（卡片名称可用字母表示，清华大学、北京大学在北京，复旦大学在上海，浙江大学在杭州．）

9．（2020秋•河东区期末）在甲口袋中有三个球分别标有数码1，﹣2，3；在乙口袋中也有三个球分别标有数码4，﹣5，6；已知口袋均不透明，六个球除标码不同外其他均相同，小明从甲口袋中任取一个球，并记下数码，小林从乙口袋中任取一个球，并记下数码．

（1）用树状图或列表法表示所有可能的结果；

（2）求所抽取的两个球数码的乘积为负数的概率．

10．（2020秋•荥阳市期中）从2021年起，很多省份的高考将采用“3+1+2”的模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．

（1）若你在“1”中选择了你喜欢的物理，在“2”中已经选择了你喜欢的化学，则你选择地理的概率为_______．

（2）若小王在“1”中选择了喜欢的历史，请用列表法表示他在“2”中所有可选科目的方案，由于大学后考研必须要考思想政治，小王不想到考研的时候出现知识空档期，而他对其他学科没有特别要求，那么他选择合适科目的概率是多少？

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日期：2021/1/29 9:07:27；用户：广饶数学；邮箱：chaoyin5@xyh.com；学号：24896626