7年级数学下册尖子生同步培优题典 专题5.11 第5章相交线与平行线单元测试（培优卷）

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专题5.11第5章相交线与平行线单元测试（培优卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020春•荔湾区校级月考）下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用同位角定义进行解答即可．
【解析】A、∠1和∠2是同位角，故此选项不合题意；
B、∠1和∠2是同位角，故此选项不合题意；
C、∠1和∠2不是同位角，故此选项符合题意；
D、∠1和∠2是同位角，故此选项不合题意；
故选：C．
2．（2020秋•肇源县期末）如图，点P是直线a外一点，A，B，C，D都在直线上，PB⊥α于B，下列线段最短的是（　　）

A．PA B．PC C．PB D．PD
【分析】根据垂线段的性质，可得答案．
【解析】由题意，得
点P是直线a外一点，A，B，C，D都在直线上，PB⊥α于B，下列线段最短的是PB，
故选：C．
3．（2020秋•长春期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC．若∠BOD：∠BOE＝1：2，则∠AOE的大小为（　　）

A．72° B．98° C．100° D．108°
【分析】根据角平分线的定义得到∠COE＝∠BOE，根据邻补角的定义列出方程，解方程求出∠BOD，根据对顶角相等求出∠OAC，结合图形计算，得到答案．
【解析】设∠BOD＝x，
∵∠BOD：∠BOE＝1：2，
∴∠BOE＝2x，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOE＝2x，
∴x+2x+2x＝180°，
解得，x＝36°，即∠BOD＝36°，∠COE＝72°，
∴∠OAC＝∠BOD＝36°，
∴∠AOE＝∠COE+∠AOC＝108°，
故选：D．
4．（2020秋•宽城区期末）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠3＝∠4 D．∠1＝∠5
【分析】根据对顶角、平行线的性质判断即可．
【解析】A、∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，本选项说法正确；
B、∵AD与AB不平行，
∴∠2≠∠3，本选项说法错误；
C、∵AD与CB不平行，
∴∠3≠∠4，本选项说法错误；
D、∵CD与CB不平行，
∴∠1≠∠5，本选项说法错误；
故选：A．
5．（2020春•瀍河区校级期中）如图，将三角形ABE向右平移1cm得到三角形DCF，如果三角形ABE的周长是10cm，那么四边形ABFD的周长是（　　）

A．12cm B．16cm C．18cm D．20cm
【分析】利用平移变换的性质解决问题即可．
【解析】∵△ABE的周长＝AB+BE+AE＝10（cm），由平移的性质可知，BC＝AD＝EF＝1（cm），AE＝DF，
∴四边形ABFD的周长＝AB+BE+EF+DF+AD＝10+1+1＝12（cm）．
故选：A．
6．（2020秋•香坊区期末）下列命题为假命题的是（　　）
A．对顶角相等
B．如果AB⊥CD，垂足为O，那么∠AOC＝90°
C．经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行
D．两直线平行，同位角相等
【分析】根据对顶角、垂直的定义、平行公理、平行线的性质判断即可．
【解析】A、对顶角相等，是真命题；
B、如果AB⊥CD，垂足为O，那么∠AOC＝90°，是真命题；
C、∵经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，
∴本选项说法是假命题；
D、两直线平行，同位角相等，是真命题；
故选：C．
7．（2019秋•南海区期末）下列命题为真命题的是（　　）
A．两个锐角之和一定是钝角
B．两直线平行，同旁内角相等
C．如果x2＞0，那么x＞0
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【分析】根据锐角的定义、平行线的性质、有理数的乘方法则、平行公理判断．
【解析】A、20°和30°都是锐角，20°+30°＝50°，50°是锐角，
∴两个锐角之和一定是钝角，是假命题；
B、两直线平行，同旁内角互补，不一定相等，
∴两直线平行，同旁内角相等，是假命题；
C、（﹣1）2＞0，﹣1＜0，
∴如果x2＞0，那么x＞0，是假命题；
D、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题；
故选：D．
8．（2020秋•南关区期末）如图，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，下列结论正确的是（　　）

A．∠α+∠β﹣∠γ＝90° B．∠α+∠γ﹣∠β＝180°
C．∠γ+∠β﹣∠α＝180° D．∠α+∠β+∠γ＝180°
【分析】根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，进而利用角的关系解答即可．
【解析】∵AB∥EF，
∴∠α＝∠BOF，
∵CD∥EF，
∴∠γ+∠COF＝180°，
∵∠BOF＝∠COF+∠β，
∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，
故选：B．
9．（2020春•老城区校级月考）如图，点E在AC的延长线上，对于给出的四个条件：
（1）∠3＝∠4；
（2）∠1＝∠2；
（3）∠A＝∠DCE；
（4）∠D+∠ABD＝180°．能判断AB∥CD的有（　　）个．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平行线的判定判断即可．
【解析】（1）∵∠3＝∠4，∴BD∥AC；
（2）∵∠1＝∠2，∴AB∥CD；
（3）∵∠A＝∠DCE，∴AB∥CD；
（4）∵∠D+∠ABD＝180°，∴AB∥CD，
故选：C．
10．（2019秋•昌平区校级期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当∠BAD＝15°时，BC∥DE，则∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）其它所有可能符合条件的度数为（　　）

A．60°和135° B．45°、60°、105°和135°
C．30°和45° D．以上都有可能
【分析】根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．
【解析】如图，
当AC∥DE时，∠BAD＝∠DAE＝45°；
当BC∥AD时，∠DAB＝∠B＝60°；
当BC∥AE时，∵∠EAB＝∠B＝60°，
∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝45°+60°＝105°；
当AB∥DE时，∵∠E＝∠EAB＝90°，
∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝45°+90°＝135°．
故选：B．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020春•邳州市期中）如图，两块三角板形状、大小完全相同，边AB∥CD的依据是　内错角相等两直线平行　．

【分析】利用平行线的判定方法即可解决问题．
【解析】由题意：∵∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD（内错角相等两直线平行）
故答案为：内错角相等两直线平行．
12．（2020春•莱州市期末）如图，点E是AD延长线上一点，∠B＝30°，∠C＝120°．如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为　∠1＝30°或∠2＝120°　．（只填一个即可）

【分析】根据平行线的判定即可解决问题．
【解析】可以添加：∠1＝30°或∠C＝120°即可．
理由：∵∠1＝30°，∠B＝30°，
∴∠B＝∠1，
∴BC∥AE．
∵∠C＝∠2＝120°，
∴BC∥AE．
故答案为：∠1＝30°或∠2＝120°．
13．（2020春•齐齐哈尔期末）如图，已知∠1＝（3x+24）°，∠2＝（5x+20）°，要使m∥n，那么∠1＝　75　（度）．

【分析】直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案．
【解析】如图所示：∠1+∠3＝180°，
∵m∥n，
∴∠2＝∠3，
∴∠1+∠2＝180°，
∴3x+24+5x+20＝180°，
解得：x＝17，
则∠1＝（3x+24）°＝75°．
故答案为：75．

14．（2020春•夏邑县期末）将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上．对于给出的四个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55°30'；②∠2＝2∠1；③∠1+∠2＝90°；④∠ACB＝∠1+∠2；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．能判断直线m∥n的有　①⑤　．（填序号）

【分析】根据平行线的判定解答即可．
【解析】①∵∠1＝25.5°+∠ABC＝55.5°＝∠2＝55°30'，所以，m∥n；
②没有指明∠1的度数，当∠1≠30°，∠2≠∠1+30°，不能判断直线m∥n，故∠2＝2∠1，不能判断直线m∥n；
③∠1+∠2＝90°，不能判断直线m∥n；
④∠ACB＝∠1+∠2，不能判断直线m∥n；
⑤∠ABC＝∠2﹣∠1，判断直线m∥n；
故答案为：①⑤
15．（2020春•江都区期中）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝　30°或150°　时，CD∥AB．

【分析】分两种情况，根据CD∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．
【解析】如图所示：当CD∥AB时，∠BAD＝∠D＝30°；

如图所示，当AB∥CD时，∠C＝∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝60°+90°＝150°；

故答案为：150°或30°．
16．（2020春•天宁区校级期中）如图，将长为5cm，宽为3cm的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A'B'C'D'，则阴影部分的面积为　6　cm2．

【分析】利用平移的性质求出阴影部分矩形的长，宽即可解决问题．
【解析】由题意，阴影部分是矩形，长为5﹣2＝3（cm），宽为3﹣1＝2（cm），
∴阴影部分的面积＝2×3＝6（cm2），
故答案为6．
17．（2019秋•卫辉市期末）如图，∠AOC为平角，已知OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，AC与DF相交于点O，∠AOD＝25°，则∠BOE的度数为　65°　．

【分析】根据角平分线的意义，平角的定义可求出∠EOB+∠BOF＝90°，由对顶角相等，求出∠BOF＝25°，进而求出答案．
【解析】∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，
∴∠AOE＝∠EOB=12∠AOB，∠COF＝∠BOF=12∠BOC，
∵∠AOC为平角，
∴∠AOB+∠BOC＝180°
∴∠EOB+∠BOF＝∠EOF＝90°
∵∠AOD＝25°＝∠COF，
∴∠BOE＝90°﹣25°＝65°，
故答案为：65°．
18．（2018秋•二道区期末）直线AB与射线OC相交于点O，OC⊥OD于O，若∠AOC＝60°，则∠BOD＝　30或150　度．
【分析】根据题意画出图形，由OC⊥OD，∠AOC＝60°，利用垂直的定义易得∠AOD，再利用补角的定义可得结果．
【解析】根据题意画图如下，
情况一：如图1，
∵OC⊥OD，∠AOC＝60°，
∴∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝90﹣60°＝30°，
∴∠COD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣30°＝150°；
情况二：如图2，
∵OC⊥OD，∠AOC＝60°，
∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝90°+60°＝150°，
∴∠COD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣150°＝30°，
故答案为：150或30．


三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋•南岗区期中）如图，将△ABC，向右平移4个格子，再向下平移2个格子．
（1）请你画出经过两次平移后的△DEF（A与D、B与E、C与F对应）；
（2）若每个小正方形的边长为1个单位长度，连接BE和CE，请你求出△BCE的面积．

【分析】（1）如图，分别作出A，B，C的对应点D，E，F即可．
（2）利用三角形的面积公式计算即可．
【解析】（1）如图，△DEF即为所求．


（2）S△BCE=12×2×2＝2．
20．（2020秋•法库县期末）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOM＝90°．
（1）如图1，若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数；
（2）如图2，若∠BOC＝4∠NOB，且OM平分∠NOC，求∠MON的度数．

【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠AOC＝45°，然后根据邻补角的定义求解即可；
（2）设∠NOB＝x°，∠BOC＝4x°，根据角平分线的定义表示出∠COM＝∠MON=12∠CON，再根据∠BOM列出方程求解x，然后求解即可．
【解答】解（1）∵∠AOM＝90°，OC平分∠AOM，
∴∠AOC=12∠AOM=12×90°＝45°，
∵∠AOC+∠AOD＝180°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣45°＝135°，
即∠AOD的度数为135°；

（2）∵∠BOC＝4∠NOB
∴设∠NOB＝x°，∠BOC＝4x°，
∴∠CON＝∠COB﹣∠BON＝4x°﹣x°＝3x°，
∵OM平分∠CON，
∴∠COM＝∠MON=12∠CON=32x°，
∵∠BOM=32x+x＝90°，
∴x＝36°，
∴∠MON=32x°=32×36°＝54°，
即∠MON的度数为54°．
21．（2020春•赣州期中）MF⊥NF于F，MF交AB于点E，NF交CD于点G，∠1＝140°，∠2＝50°，试判断AB和CD的位置关系，并说明理由．

【分析】延长MF交CD于点H，利用平行线的判定证明．
【解析】延长MF交CD于点H，
∵∠1＝90°+∠CHF，∠1＝140°，∠2＝50°，
∴∠CHF＝140°﹣90°＝50°，
∴∠CHF＝∠2，
∴AB∥CD．

22．（2020春•荔湾区校级月考）已知：如图，EF平分∠DEB，AC∥DE，CD∥EF，请证明：CD平分∠ACB．

【分析】由AC∥DE知∠ACD＝∠CDE，由CD∥EF知∠DCB＝∠FEB，∠CDE＝∠DEF，据此得∠ACD＝∠DEF，再由EF平分∠DEB知∠DEF＝∠FEB，从而得∠ACD＝∠DCB，即可得证．
【解析】∵AC∥DE，
∴∠ACD＝∠CDE，
∵CD∥EF，
∴∠DCB＝∠FEB，∠CDE＝∠DEF，
∴∠ACD＝∠DEF，
又∵EF平分∠DEB，
∴∠DEF＝∠FEB，
∴∠ACD＝∠DCB，
∴CD平分∠ACB．
23．（2020春•天河区校级期中）如图，已知AD∥EF，∠2＝50°．
（1）求∠3的度数；
（2）若∠1＝∠2，问：DG∥BA吗？请说明理由；
（3）若∠1＝∠2，且∠DAG＝20°，求∠AGD的度数．

【分析】（1）根据AD∥EF，可得同位角相等即可得∠3的度数；
（2）根据平行线的性质和∠1＝∠2，即可证明DG∥BA；
（3）根据平行线的性质和∠1＝∠2，∠DAG＝20°，即可求∠AGD的度数．
【解析】（1）∵AD∥EF，
∴∠3＝∠2＝50°；
（2）DG∥BA，理由如下：
∵∠1＝∠2，∠3＝∠2，
∴∠3＝∠1，
∴DG∥BA；
（3）∵∠1＝∠2＝50°，∠3＝∠2，
∴∠3＝∠1＝50°，
∴DG∥BA，
∴∠AGD＝∠CAB，
∵∠CAB＝∠DAG+∠3＝20°+50°＝70°，
∴∠AGD＝∠CAB＝70°．
24．（2019秋•历城区期末）已知直线AB和CD交于O，∠AOC的度数为x，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．
（1）当x＝20°时，则∠EOC＝　70　度；∠FOD＝　80　度．
（2）当x＝60°时，射线OE′从OE开始以10°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求至少经过多少秒射线OE′与射线OF′重合？
（3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间．

【分析】（1）利用互余和互补的定义可得：∠EOC与∠FOD的度数．
（2）先根据x＝60°，求∠EOF＝150°，则射线OE'、OF'第一次重合时，其OE'运动的度数+OF'运动的度数＝150，列式解出即可；
（3）分两种情况：在直线OE的左边和右边，根据其夹角列4个方程可得时间．
【解析】（1）∵∠BOE＝90°，
∴∠AOE＝90°，
∵∠AOC＝x＝20°，
∴∠EOC＝90°﹣20°＝70°，
∠AOD＝180°﹣20°＝160°，
∵OF平分∠AOD，
∴∠FOD=12∠AOD=12×160°=80°；
故答案为：70，80；
（2）当x＝60°，∠EOF＝90°+60°＝150°
设当射线OE'与射线OF'重合时至少需要t秒，
10t+8t＝150，
t=253，
答：当射线OE'与射线OF'重合时至少需要253秒；
（3）设射线OE'转动的时间为t秒，
由题意得：10t+90+8t＝150或10t+8t＝150+90或360﹣10t＝8t﹣150+90或360﹣10t+360﹣8t+90＝360﹣150，
t=103或403或703或1003．
答：射线OE'转动的时间为103秒或403秒或703秒或1003秒．
25．（2020秋•南岗区期中）如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点F为线段AC上一点，连接EF，求证：∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°；
（3）如图3，在（2）的条件下，在射线AB上取点G，连接EG，使得∠GEF＝∠C，当∠AEF＝35°，∠GED＝2∠GEF时，求∠C的度数．

【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠BAE＝∠CAE，求出∠CEA＝∠BAE，根据平行线的判定得出即可；
（2）过F作FM∥AB，求出AB∥FM∥CD，根据平行线的性质得出∠BAF+∠AFE＝180°，∠DEF+∠EFM＝180°，即可求出答案；
（3）设∠GEF＝∠C＝x°，求出∠GED＝2x°，根据平行线的性质得出∠BAC＝180°﹣x°，根据角平分线的定义得出∠BAE=12∠BAC＝90°−12x°，根据平行线的性质得出∠BAE+∠AED＝180°，得出方程90−12x+x﹣35+2x＝180，求出x即可．
【解答】（1）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠CAE＝∠CEA，
∴∠CEA＝∠BAE，
∴AB∥CD；

（2）证明：过F作FM∥AB，如图，

∵AB∥CD，
∴AB∥FM∥CD，
∴∠BAF+∠AFE＝180°，∠DEF+∠EFM＝180°，
∴∠BAF+∠AFM+∠DEF+∠EFM＝360°，
即∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°；

（3）解：设∠GEF＝∠C＝x°，
∵∠GEF＝∠C，∠GED＝2∠GEF，
∴∠GED＝2x°，
∵AB∥CD，
∴∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣x°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC=12（180°﹣x°）＝90°−12x°，
由（1）知：AB∥CD，
∴∠BAE+∠AED＝180°，
∵∠AEF＝35°，
∴90−12x+x﹣35+2x＝180，
解得：x＝50，
即∠C＝50°．
26．（2020春•武昌区期末）如图1，AB∥CD，点E在AB上，点H在CD上，点F在直线AB，CD之间，连接EF，FH，∠AEF+∠CHF=73∠EFH．
（1）直接写出∠EFH的度数为　108°　；
（2）如图2，HM平分∠CHF，交FE的延长线于点M，证明：∠FHD﹣2∠FMH＝36°；
（3）如图3，点P在FE的延长线上，点K在AB上，点N在∠PEB内，连NE，NK，NK∥FH，∠PEN＝2∠NEB，则2∠FHD﹣3∠ENK的值为　72°　．

【分析】（1）证明∠DHF＝∠HFM，则∠AEF+∠CHF+∠EFH＝360°，而∠AEF+∠CHF=73∠EFH，即可求解；
（2）∠3＝∠EFH﹣∠F′FH＝108°﹣∠FHD，则∠M′MF＝∠3＝108°﹣∠FHD，而∠1＝∠2，则∠1=180°−∠FHD2，进而求解；
（3）证明∠1+∠2＝252°，则3α﹣∠4＝72°，即可求解．
【解析】（1）过点F作MN∥AB，如图1所示：

则∠BEF＝∠EFM，
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠DHF＝∠HFM，
∴∠AEF+∠CHF+∠EFH＝360°，
∵∠AEF+∠CHF=73∠EFH，
故∠EFH＝108°，
故答案为108°；

（2）过点F作FF′∥AB，过点M作MM′∥AB．

∵AB∥CD，
∴FF′∥MM′∥AB∥CD，
∴∠F′FH＝∠FHD，
∴∠3＝∠EFH﹣∠F′FH＝108°﹣∠FHD，
∴∠M′MF＝∠3＝108°﹣∠FHD，
∵∠1＝∠2，
∴∠1=180°−∠FHD2，
∵MM′∥CD，
∴∠M′MH＝∠1，
∴∠FMH+108°﹣∠FHD=180°−∠FHD2，
∴∠FHD﹣2∠FMH＝36°；

（3）延长NK交CD于点R，

∵∠AEF+∠CHF=73∠EFH，即∠1+∠2=73∠3，
而∠1+∠2+∠3＝360°，
故∠1+∠2＝252°，
设∠NEB＝α，则∠PEN＝2∠NEB＝2α，
则∠1＝∠PEB＝3α，
而∠2＝180°﹣∠4，
故3α﹣∠4＝72°，
则2∠FHD﹣3∠ENK＝2∠4﹣3（∠NKB﹣∠NEB）＝2∠4﹣3（∠4﹣α）＝3α﹣∠4＝72°，
故答案为72°．