初中数学北师大版九年级上册7 相似三角形的性质当堂检测题

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第5讲 相似三角形

知识点1相似三角形的判定
相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.
相似三角形的判定：
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成三角形与原三角形相似.
（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.
（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似. 
直角三角形相似判定定理
斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似.
【典例】
1.如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，当AB的长为　 　时，△ACB与△ADC相似．

【答案】4
【解析】解：∵∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，
∴△ADC是等腰直角三角形，AC==2，
∵△ACB与△ADC相似，
∴△ACB是等腰直角三角形，BC=AC=2，
∴AB==4，
即当AB的长为4时，△ACB与△ADC相似；
故答案为：4．
2.如图，点P是⊙O的直径AB延长线上一点，且AB=4，点M为上一个动点（不与A，B重合），射线PM与⊙O交于点N（不与M重合）．
（1）当M在什么位置时，△MAB的面积最大，并求出这个最大值；
（2）求证：△PAN∽△PMB．

【解析】解：（1）当点M在的中点处时，△MAB面积最大，此时OM⊥AB，
∵OM=AB=×4=2，
∴S△ABM=AB•OM=×4×2=4；
（2）∵∠PMB=∠PAN，∠P=∠P，∴△PAN∽△PMB．
3.如图，已知 O 是△ABC 内一点，D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点．
求证：△ABC∽△DEF．
【解析】证明：∵D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点，
∴DE= AB，EF= BC，DF= AC，
即 = = ，
∴△ABC∽△DEF
4.如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过

P作PF⊥AE于F．
（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠PAF=∠AEB．
∵∠PFA=∠ABE=90°，
∴△PFA∽△ABE．
（2）若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB．
∴PE∥AB．
∴四边形ABEP为矩形．
∴PA=EB=2，即x=2．
若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB．
∵∠PAF=∠AEB，
∴∠PEF=∠PAF．
∴PE=PA．
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点．
∵AE=，
∴EF=AE=．
∵，即，
∴PE=5，即x=5．
∴满足条件的x的值为2或5．


【方法总结】
（1） 在有一组对应角相等的情况下，可以从两个方面选择突破口：
①寻找另一组对应角相等：②寻找两个三角形中这个已知角的两边的比相等.
（2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形都与原三角形相似（此知识常用，但是有时需要证明）
（3）若两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，或斜边和一条直角边成比例，则这两个直角三角形相似.
【随堂练习】
1．（2019•碑林区校级一模）如图，在四边形中，，，，且，点是边上的动点，当、、两两相似时，则　　

A． B． C．或 D．或1
【解答】解：分两种情况：
①当时，如图1，
过作于，

，，
与不平行，
当、、两两相似时，
，
，
，
，，
；
②当时，如图2，

当、、两两相似时，
，
，
，
，
，
，
综上，的值为或1；
故选：．
2．（2019春•岱岳区期末）如图，，，点在边上（与、不重合），四边形为正方形过点作，交的延长线于点，连接，交于点，对于下列结论：①；②四边形是矩形；③．其中正确的是　　

A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【解答】解：①四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，，
，
．
故正确；

②，
，
，，
，
四边形是矩形．
故正确；

③，，
．
故正确．
综上所述，正确的结论是①②③．
故选：．

3．（2019•白云区二模）如图，在梯形中，，过点作，交延长线于点，对角线、相交于点，下列结论中，错误的是　　

A． B．
C．四边形是平行四边形 D．
【解答】解：，
，故正确；
，，
四边形是平行四边形，故正确；
的面积的面积的面积的面积的面积的面积，
的面积的面积，故正确；
，
，故错误；
故选：．
4．（2019•楚雄州一模）如图，为的直径，为的弦，，交于点，，，延长到点，使得，连接．则下列结论中不正确的是　　

A． B．
C． D．直线与相切
【解答】解：，
，
，
，
，选项、正确；
，
，
，选项错误；
连接，如图所示：
为的直径，
，
，
，
，
，
，
直线与相切，选项正确；
故选：．

二．解答题（共5小题）
5．（2019春•泰山区期末）如图，四边形中，交于点，点、分别是、的中点，平分交于点，，连接，
求证：
（1）；
（2）．

【解答】（1）证明：，点是的中点，
，平分．
平分，
．
，
，
，
．
是等腰直角三角形；
．

（2）证明：点，分别是，的中点，
，．
，
，即．
是等腰直角三角形，
，即，
．
，
．
，
．
，
．
，
．
．
6．（2019•黄冈）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作的切线交于点，连接．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求证：．

【解答】证明：（1）连接，如图所示：
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2），是的直径，
是的切线，
是的切线，
，
，
，
，
，
．

7．（2019•南昌二模）如图，在中，是延长线上的一点，与交于点．求证：．

【解答】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
．
8．（2019春•海淀区校级月考）如图，在中，是上一点，连接．为上一点，且
求证：．

【解答】证明：四边形是平行四边形，
，，，
．
且．
．
，
，
．
9．（2018秋•安庆期末）如图，在中，，，，垂足分别为，，．
（1）求证：；
（2）交于点，求证：；

【解答】证明：（1），，
，
，即，
，，
，
，即，
则；
（2），
，，，四点共圆，
，，
，
知识点2 相似三角形的性质
相似三角形的性质
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
(3)相似三角形周长的比等于相似比．
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
【典例】
1.如图所示，已知△AOB∽△DOC，OA=2，AD=9，OB=5，DC=12，∠A=58°，求AB、OC的长和∠D的度数．

【解析】解：∵OA=2，AD=9，
∴OD=9﹣2=7，
∵AB∥CD，
∵△AOB∽△DOC，
∴==，
∵OA=2，OB=5，DC=12，
∴==，
解得OC=，AB=，
∵△AOB∽△DOC，
∴∠D=∠A=58°．
2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．
（1）求BD的长；
（2）若△DCN的面积为2，求△DMN的面积．

【答案】
【解析】解（1）∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，
∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，
∴△MND∽△CNB，
∴=，
∵M为AD中点，
∴MD=AD=BC，即=，
∴=，即BN=2DN，
设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x﹣1，
∴x+1=2（x﹣1），
解得：x=3，
∴BD=2x=6；
（2）∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2，
∴MN：CN=1：2，
∵△DCN的面积为2，
∴△MND面积为1（高相同的两个三角形面积比等于底边长度比）
【方法总结】
1对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．
2顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．
3两个三角形形状一样，但大小不一定一样．
4全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．
5相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等
【随堂练习】
1．（2019•沈阳）已知△，和是它们的对应中线，若，，则与△的周长比是　　
A． B． C． D．
【解答】解：△，和是它们的对应中线，，，
与△的周长比．
故选：．
2．（2019•九龙坡区模拟）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为，和，另一个三角形的最长边长为，则它的最短边为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设另一个三角形的最短边长为，
根据题意，得：，
解得：，
即另一个三角形的最短边的长为．
故选：．
3．（2018秋•梁平区期末）已知△’，△ 的面积为6，周长为周长的一半，则的面积等于　　
A．1.5 B．3 C．12 D．24
【解答】解：△’，△ 的周长为周长的一半，
，
，
△的面积为6，
，
故选：．
二．解答题（共4小题）
4．（2019•张家港市模拟）如图，在四边形中，，．，，，动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为，．
（1）用含的代数式表示；
（2）当以点．，为顶点的三角形与相似时，求的值；
（3）当时，求的值．

【解答】解：（1）如图作于，则四边形是矩形，
，，
，，，
由题意．

（2）当以点．，为顶点的三角形与相似时，
或，
或，
解得：或，
当或时，当以点．，为顶点的三角形与相似；

（3）当时，，
，
，
，
，
解得，
经检验：是分式方程的解，
当时，．

5．（2018秋•北海期末）已知四边形中，，平分，过点作于点，点为上一点，且，．
（1）求证：；
（2）为线段上一点，连结，若，，，求的值．

【解答】（1）证明：平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
；
（3）解：，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
即．
6．（2018秋•通州区期中）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的优美线．
（1）如图，在中，为角平分线，，，求证：为的优美线；
（2）在中，，是的优美线，且是以为腰的等腰三角形，求的度数．

【解答】解：（1）如图1中，

，，
，
平分，
，
，
，
是等腰三角形，
，，
，
线段是的优美线．
（2）如图2中，
若，，则，则，这与这个条件矛盾；
若，，，
，
，
．
7．（2018秋•宽城区校级月考）如图，与相交于点，，，，，求
（1）的长．
（2）求．

【解答】解：（1），
，，
．

（2），
，
，
．
知识点3相似三角形的综合应用
【典例】
1.如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小亮在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向从D后退4米到G处，测得自己的影长GH=5，如果小亮的身高为1.7m，求路灯杆AB的高度．

【解析】解得BD=6，解：∵CD⊥BF，AB⊥BF，
∴CD∥AB，
∴△CDF∽△ABF，
∴=，
同理可得=，
∴=，
∴=，
∴=，
解得AB=5.1．
答：路灯杆AB高5.1m．
2.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=4米，BP=6米，PD=24米，求该古城墙CD的高度．

【解析】解：由题意知∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP，
∴△ABP∽△CDP，
∴=，得=，
解得：CD=16，
∴该古城墙CD的高度为16米．
3.小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．

（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为　　．
（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？
（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示）
【解析】解：（1）设灯泡离地面的高度为xcm，
∵AD∥A′D′，
∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．
∴△PAD∽△PA′D′．
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得，
∴=，
解得x=180．
（2）设横向影子A′B，D′C的长度和为ycm，
同理可得∴=，
解得y=12cm；
（3）记灯泡为点P，如图：

∵AD∥A′D′，∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．
∴△PAD∽△PA′D′．
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得
（直接得出三角形相似或比例线段均对）
设灯泡离地面距离为x，由题意，得PM=x，PN=x﹣a，AD=na，A′D′=na+b，
∴=1﹣
=1﹣
x=
【方法总结】
相似三角形的应用，类型较多，主要集中在测高和测距；此类题目解题时，要把实际问题转化成几何图形，构造相似，利用相似三角形对应边成比例，对应角相等的性质去求解；解题时对应边一定要找对，否则就会事倍功半
【随堂练习】
1．（2019春•济南期末）如图，在正方形中，为边的中点，点在边上，且，延长交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．

【解答】（1）证明：四边形为正方形，且，
，
，，
，
；
（2），为的中点，
，
在中，，
由（1）知，，
，即：，
，
．
2．（2018秋•渝中区校级期末）如图，在平行四边形中，平分，分别交、于点、点．点是上一点，连接交于点，过点作的平行线，交于点．
（1）若，，，求的面积；
（2）若，求证：．

【解答】（1）解：过点作于，如图1所示：
平分，，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：在上截取，连接，如图2所示：
，，，
，
，，，
，
，
在和中，，
，
，，
，，
，
，
，
，
在和中，，
，
．


3．（2019•重庆模拟）如图，在中，过作于点，过点作分别与、交于点、，连接，已知，．
（1）若，，求的面积；
（2）求证：．

【解答】（1）解：，，
，，
；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
在和中，，
，
，，
设，则，，
，
即：，
，
，
过作于，如图所示：
，即：，
，
，即：，
，
，
，
，
．

4．（2019春•润州区期中）如图，在中，，，，于点．点从点出发，沿线段向点运动，点从点出发，沿线段向点运动．两点同时出发．速度都为每秒1个单位长度，当点运动到时，两点都停止．设运动时间为秒．
（1）求线段的长；
（2）设的面积为，求与之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1），，，
，
，
，
解得：；
（2），
过点作于，如图所示：
，
，
，
，即，
，
；
，
，即：，
整理得：，
解得：，，
在运动过程中存在某一时刻，使得，的值为：3或1.8．

5．（2019春•高淳区期末）如图，在中，、分別是、的中点，连接、交于点，连接、交于点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）当　2　时，四边形为矩形．

【解答】（1）证明：连接，如图所示：
四边形是平行四边形，
，．
点、分别是、的中点
，，
，．
四边形是平行四边形．
．
同理可证：且．
四边形是平行四边形．
．
四边形是平行四边形．
（2）解：当时，平行四边形是矩形．理由如下：
由（1）同理易证四边形是平行四边形，
当时，，
四边形是菱形，
，即，
平行四边形是矩形．

6．（2019春•泰山区期末）如图，已知是等边三角形，点、、、在同一条直线上，且，求证：．

【解答】解：是等边三角形
．
，．
，
．
，．
，
．
，
．
7．（2019春•潍城区期末）如图，在中，点，分别在边，上，、的延长线相交丁点，且．
（1）求证：；
（2）当，，时，求的长．

【解答】（1）证明：，且
，
，
又，
，
又，
；
（2）解：
，
即，
，
．
8．（2019•广西模拟）如图所示，在中，平分交直线于，交直线于
（1）求证：；
（2）若点为的中点，求的值．

【解答】证明：（1）如图所示：

四边形是平行四边形，
，
，
又平分，
，
，
，
又，
，
又，，
，
，
又，，
，，
又，
，
，
，
，
又，，
；
（2）如图所示：

由（1）可知：，
点为的中点，
，
又，
，
，
又，，
，



综合运用：相似三角形
1.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．
（1）求证：DF是BF和CF的比例中项；
（2）在AB上取一点G，如果AE•AC=AG•AD，求证：EG•CF=ED•DF．

【解析】证明：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠BCD=∠A，∠ADC=90°．
∵E是AC的中点，
∴DE=AE=CE，∴∠ADE=∠A，
∴∠BCD=∠ADE．
又∠ADE=∠FDB，∴∠FCD=∠FDB．
∵∠CFD=∠DFB，∴△CFD∽△DFB，
∴DF2=BF•CF．
（2）∵AE•AC=AG•AD，
∴=．
∵∠A=∠A，∴△AEG∽△ADC，
∴EG∥BC，∴△EGD∽△FBD，
∴=．
由（1）知：△CFD∽△DFB，
∴=，
∴=，
∴EG•CF=ED•DF．

2.如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，已知BC=40cm，AD=30cm，求这个正方形的边长．

【解析】解：∵四边形EFGH是正方形，
∴EH∥BC，
∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，
∴△AEH∽△ABC．
如图，设AD与EH交于点M．
∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，
∴四边形EFDM是矩形，
∴EF=DM，设正方形EFGH的边长为xcm，
∵△AEH∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴x=，
∴正方形EFGH的边长为cm．

3.在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF∽△EBD．

【解析】证明：∵AC⊥BE，
∴∠AFB=∠AFE=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE=90°，
又∵∠AEF=∠BEA，
∴△AEF∽△BEA，
∴=，
∵点E是AD的中点，
∴AE=ED，
∴=，
又∵∠FED=∠DEB，
∴△DEF∽△BED．

4.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长120mm，高AD为80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
（Ⅰ）图中与△ABC相似的三角形是　 　，说明理由；
（Ⅱ）这个正方形零件的边长为多少？

【解析】解：（Ⅰ）∵正方形EGHF，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
故答案为：△AEF；
（Ⅱ）设EG=EF=x
∵△AEF∽△ABC
∴=，
∴=，
∴x=48，
∴正方形零件的边长为48mm．
5.如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．
（1）△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由．
（2）求∠1+∠2的度数．

【解析】解：（1）相似．
理由：设正方形的边长为a，
AC==a，
∵==，==，
∴=，
∵∠ACF=∠ACF，
∴△ACF∽△GCA；
（2）∵△ACF∽△GCA，
∴∠1=∠CAF，
∵∠CAF+∠2=45°，
∴∠1+∠2=45°．
6.【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：
△ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，延长DE、AC交于点F，DE=EF，AB=5，求AE的长．
小白的想法是：过点E作EH∥BC交AC于H，再通过相似三角形的性质得到AE、BE的比，从而得出AE的长，请你按照小白的思路完成解答．
【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：
△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，E为AB边上一点，AE=AD，H、Q为BC上两点，CQ=DH，DQ=mDH，G为AC上一点，连接EQ交HG、AD于F、P，∠EFG+∠EAD=180°，猜想并验证EP与GH的数量关系．

【解析】解： 如图1，过点E作EH∥BC交AC于H，
∴∠FEH=∠FDC，∠FHE=∠C，
∴△FEH∽△FDC，
∴，
∵DE=EF，
∴，
∵BD=DC，
∴，
同理得：△AEH∽△ABC，
∴，
∵AB=5，
∴AE=；
【解决问题】
猜想：=，理由是：
如图2，过D作DM∥GH，交AC于M，
∴∠CMD=∠CGH，∠CDM=∠CHG，
∴△CDM∽△CHG，
∴，
设DH=CQ=x，则DQ=mx，
∴==，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAP=∠DAM，
∵∠EFG+∠EAD=180°，
∴∠AEP+∠ANF=180°，
∵GH∥DM，
∴∠ADM+∠DNG=∠ADM+∠ANF=180°，
∴∠ADM=∠AFP，
∵AE=AD，
∴△AEP≌△ADM，
∴EP=DM，
∴=．