数学九年级上册1 反比例函数同步训练题

实际问题与反比例函数（提高）

【学习目标】

1. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，并能结合图象加深对问题的理解.

2．根据条件求出函数解析式，运用学过的函数知识解决反比例函数的应用问题，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识.

【要点梳理】

要点一、利用反比例函数解决实际问题

1. 基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题.
2. 一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的

                 系数用字母表示.

（2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数.

（3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围.

（4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题.

要点二、反比例函数在其他学科中的应用

1. 当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；
2. 当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数；
3. 在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数；
4. 电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数.

【典型例题】

类型一、反比例函数实际问题与图象

1、 一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示．设小矩形的长、宽分别为，剪去部分的面积为，若，则与的函数图象是（    ）

【答案】A；

【解析】根据题意求出函数的解析式，应该是反比例函数的一部分.

【总结升华】对于函数图象的判断题，应首先求出函数解析式，分清函数的类型，然后再选择对应的图象，同时在实际问题中应注意自变量的取值范围.

举一反三：

【变式】（2015•泉港区模拟）设从泉港到福州乘坐汽车所需的时间是t（小时），汽车的平均速度为v（千米/时），则下面大致能反映v与t的函数关系的图象是（　　）

　　A. 　　             B. 　　

C. 　　                   D.

【答案】D；

提示：设从泉港到福州的路程为k千米，依题意，得vt=k，

所以v=（v＞0，t＞0），

则函数图象为双曲线在第一象限的部分．

故选D．

类型二、利用反比例函数解决实际问题 

2、（2020•浙江模拟）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：

（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？

（2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？

【思路点拨】（1）先用代定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，再分别求第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断；

（2）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能．

【答案与解析】

解：（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20，

把B（10，40）代入得，k1=2，

∴y1=2x+20．

设C、D所在双曲线的解析式为y2=，

把C（25，40）代入得，k2=1000，

∴

当x1=5时，y1=2×5+20=30，

当，

∴y1＜y2

∴第30分钟注意力更集中．

（2）令y1=36，

∴36=2x+20，

∴x1=8

令y2=36，

∴，

∴

∵27.8﹣8=19.8＞19，

∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．

【总结升华】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．

举一反三：

【变式】为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒. 已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量(毫克)与时间(分钟)成正比例，药物燃烧完后，与成反比例(如图所示)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克. 请根据题中所提供的信息解答下列问题：

   ①药物燃烧时关于的函数关系式为__________ ___，自变量 的取值范围是____________  ___；药物燃烧后关于的函数关系式为_________________.

②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过______分钟后，学生才能回到教室；

③研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？

【答案】①药物燃烧时， 是的正比例函数，药物燃烧后，与成反比例，

利用待定系数法即可求出函数的解析式:，0≤≤8，，；

②当空气中每立方米的含药量等于1.6毫克时，求出所对应的时间:把＝1.6代人到中，得＝30，则至少经过30分钟后，学生才能回到教室；

③把＝3分别代人到和中，得＝4和＝16，

16－4＝12，12＞10，所以此次消毒有效.

3、南宁市某生态示范村种植基地计划用90亩～120亩的土地种植一批葡萄，原计划总产量要达到36万斤．

（1）列出原计划种植亩数（亩）与平均每亩产量（万斤）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（2）为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种．改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万斤，种植亩数减少了20亩，原计划和改良后的平均每亩产量各是多少万斤？

【思路点拨】（1）直接根据亩产量、亩数及总产量之间的关系得到函数关系式即可；（2）根据题意列出－＝20后求解即可．

【答案与解析】

解：（1）由题意知：＝36，故（≤≤）

（2）根据题意得：－＝20

解得：＝0.3

          经检验，x=0.3是原方程的解.

1.5＝0.45（万斤）

答：改良前亩产0.3万斤，改良后亩产0.45万斤．

【总结升华】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从复杂的实际问题中整理出反比例函数模型，并利用其解决实际问题．

4、（2020•厦门）如图，是药品研究所所测得的某种新药在成人用药后，血液中的药物浓度y（微克/毫升）用药后的时间x（小时）变化的图象（图象由线段OA与部分双曲线AB组成）．并测得当y=a时，该药物才具有疗效．若成人用药4小时，药物开始产生疗效，且用药后9小时，药物仍具有疗效，则成人用药后，血液中药物浓则至少需要多长时间达到最大度？

【思路点拨】利用待定系数法分别求出直线OA与双曲线的函数解析式，再令它们相等得出方程，解方程即可求解．

【答案与解析】

解：设直线OA的解析式为y=kx，

把（4，a）代入，得a=4k，解得k=，

即直线OA的解析式为y=x．

根据题意，（9，a）在反比例函数的图象上，

则反比例函数的解析式为y=．

当x=时，解得x=±6（负值舍去），

故成人用药后，血液中药物则至少需要6小时达到最大浓度．

【总结升华】本题考查了反比例函数的应用，直线与双曲线交点的求法，利用待定系数法求出关系式是解题的关键．