北师大版七年级上册2.11 有理数的混合运算课后复习题

有理数的乘方、混合运算及科学记数法（提高）

【学习目标】

1．理解有理数乘方的定义；

2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；

3. 进一步掌握有理数的混合运算.

4. 会用科学记数法表示大数.

【要点梳理】

要点一、有理数的乘方

定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．

即有：.在中，叫做底数， n叫做指数．

要点诠释：                                                            

（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．

（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．

（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 

要点二、乘方运算的符号法则

（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如 ≥0．

要点诠释：

(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．

(2)任何数的偶次幂都是非负数．

要点三、有理数的混合运算

有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．

要点诠释：

 (1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；

 （2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．

(3)在运算过程中注意运算律的运用．

要点四、科学记数法

把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，l≤||<10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如＝.

要点诠释：

（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如=；

（2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.

【典型例题】

类型一、有理数的乘方

1．（2020•虞城县一模）下列各数：①﹣12；②﹣（﹣1）2；③﹣13；④（﹣1）2，其中结果等于﹣1的是（　　）

A．①②③   B．①②④     C．②③④   D．①②③④

【思路点拨】原式各项计算得到结果，即可作出判断．

【答案】A．

【详解】解：①﹣12=﹣1，符合题意；②﹣（﹣1）2=﹣1，符合题意；③﹣13=﹣1，符合题意；④（﹣1）2=1，不符合题意．

故选A．

【总结升华】注意与的意义的区别．（n为正整数），（n为正整数）．

举一反三：

【变式】已知，且，则的倒数的相反数是       ．

【答案】

类型二、乘方运算的符号法则

2．不做运算，判断下列各运算结果的符号．

(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，，-(-2)2010

【思路点拨】理解乘方的意义，掌握乘方的符号法则．

【答案与详解】解：根据乘方的符号法则判断可得：

 (-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负．

【总结升华】 “一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0，指数不为０时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负．

举一反三：

【变式】（2020春•富阳市校级期中）计算（﹣2）2015+（﹣2）2014所得的结果是（　　）

　 A．﹣2 B． 2 C． ﹣22014 D． 22015

【答案】C．

解：（﹣2）2015+（﹣2）2014=（﹣2）2014（﹣2+1）=22014×（﹣1）=﹣22014.

类型三、有理数的混合运算

3．计算：

（1）-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)]

（2）[73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214)

（3）；

（4）

【答案与详解】

解：（1）-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)]

　 ＝-9+(-8)÷(-3+5)

　 ＝-9+(-8)÷2

　 ＝-9+(-4)＝-13

（2）[73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214)

　 ＝(7×72-6×72-1)÷(-214+214-24)

   ＝[72×(7-6)-1]÷(-24)

   ＝(49-1)÷(-24)

   ＝-2

（3）有绝对值的先去掉绝对值，然后再按混合运算.

原式

（4）将带分数化为假分数，小数化为分数后再进行运算.

【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提．

类型四、科学记数法

4．（2020•酒泉）中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨．将数67500用科学记数法表示为（　　）

　 A．0.675×105 B． 6.75×104 C． 67.5×103 D． 675×102

【思路点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【答案】B．

将67500用科学记数法表示为：6.75×104．

【总结升华】将一个绝对值较大的数写成科学记数法的形式时，其中1≤|a|＜10，n为比整数位数少1的数．在进行运算时，a部分和的部分分别运算，然后再把结果整理成的形式．

类型五、探索规律

5．下面是按一定规律排列的一列数：

第1个数：；

第2个数：；

第3个数：；

…

第n个数：．

那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（   ）．

A．第10个数    B．第11个数    C．第12个数    D．第13个数

【答案】A

【详解】第1个数结果为；第2个数结果为；第3个数结果为；…；发现运算中在后边的各式为，分子、分母相约为1，所以第n个数结果为，把第10、11、12、13个数分别求出，比较大小即可．

【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循．

举一反三：

【变式】观察下面三行数：

①-3，9，-27，81，-243，729，…

②0，12，-24，84，-240，732，…

③-1，3，-9，27，-81，243，…

(1)第①行数按什么规律排列?

(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系?

(3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和．

【答案】

解：(1)第①行数的规律是：-3，(-3)2，(-3)3，(-3)4，…；

(2)第②行数是第①行数相应的数加3，即：-3+3，(-3)2+3，(-3)3+3，(-3)4+3，…；第③行数是第①行数相应的数的，即，，，，…；

(3)每行数中的第10个数的和是：59049+59052+19683＝137784．