北师大版七年级上册第五章 一元一次方程5.5 应用一元一次方程——“希望工程”义演课时作业

一元一次方程应用（二）----

“希望工程”义演与追赶小明（基础）知识讲解

【学习目标】

1.能够分析复杂问题中的数量关系，建立方程解决实际问题；体会对同一问题设不同未知数的算法多样化；

2.能借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，发展文字语言、图形语言、符号语言之间的转换能力；

3.归纳利用方程解决实际问题的一般步骤，进一步体会模型思想.

【要点梳理】

要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤

列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类问题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．

要点诠释：

（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系．

（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．

（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一．

（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．

（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可．

（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．

要点二、“希望工程”义演（分配问题）

分配（调配或比例）问题在日常生活中十分常见，比如合理安排工人生产，按比例选取工程材料，调剂人数或货物等. 这类问题与生活密切相关，考察大家分析问题能力的同时，也考察了同学们的日常生活知识.

要点诠释：

分配问题中关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系，在分配问题中主要考虑“总量不变”；而在比例问题中则主要考虑总量与部分量之间的关系，或是量与量之间的比例关系.

要点三、追赶小明（行程问题）

  （1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间
　（2）基本类型有：
　 ①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间

                            Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．

②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间

Ⅱ．寻找相等关系：

第一，   同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；

第二，   同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．

③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，

逆流速度=静水速度－水流速度，

顺水速度－逆水速度＝2×水速；

Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．

（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．

【典型例题】

类型一、“希望工程”义演（分配问题）

1．（2020春•南关区校级期中）抗洪救灾小组在甲地段有28人，乙地段有15人，现在又调来29人，分配在甲乙两个地段，要求调配后甲地段人数是乙地段人数的2倍，求应调至甲地段和乙地段各多少人？

【思路点拨】首先设应调至甲地段x人，则调至乙地段（29﹣x）人，则调配后甲地段有（28+x）人，乙地段有（15+29﹣x）人，根据关键语句“调配后甲地段人数是乙地段人数的2倍”可得方程28+x=2（15+29﹣x），再解方程即可．

【答案与详解】

解：设应调至甲地段x人，则调至乙地段（29﹣x）人，

根据题意得：28+x=2（15+29﹣x），

解得：x=20，

所以：29﹣x=9，

答：应调至甲地段20人，则调至乙地段9人．

【总结升华】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是弄懂题意，表示出调配后甲、乙两地段各有多少人．

举一反三：

【变式1】 某天，一蔬菜经营户用70元钱从蔬菜市场批发了辣椒和蒜苗共40kg到市场去卖，辣椒和蒜苗这天的批发价与零售价如右表所示：

问：（1）辣椒和蒜苗各批发了多少kg？
　　（2）他当天卖完这些辣椒和蒜苗能赚多少钱？

【答案】

（1）设该经营户从蔬菜市场批发了辣椒kg，则蒜苗kg，得
　　　　　　　　　　  
　　　　　　　　　　 解得：  

（2）利润： （元）
答：该经营户批发了10kg辣椒和30kg蒜苗；当天能赚55元．

【变式2】某商店选用A、B两种价格分别是每千克28元和每千克20元的糖果混合成杂拌糖果后出售，为使这种杂拌糖果的售价是每千克25元，要配制这种杂拌糖果100千克，问要用这两种糖果各多少千克？

【答案】

解：设要用A种糖果x千克，则B种糖果用(100-x)千克.依题意，得：

 28x+20(100-x)=25×100

    解得：x=62.5.

    当x=62.5时，100-x=37.5.

答：要用A、B两种糖果分别为62.5千克和37.5千克.

类型二、追赶小明（行程问题）

1.一般问题

2．小山娃要到城里参加运动会，如果每小时走4千米，那么走完预订时间离县城还有0.5千米，如果他每小时走5千米，那么比预订时间早半小时就可到达县城．试问学校到县城的距离是多少千米?

【答案与详解】   

解：设小山娃预订的时间为x小时，由题意得：

    4x+0.5＝5(x-0.5)，解得x＝3．

    所以4x+0.5＝4×3+0.5＝12.5(千米)．

    答：学校到县城的距离是12.5千米．

【总结升华】当直接设未知数有困难时，可采用间接设的方法．即所设的不是最后所求的，而是通过求其它的数量间接地求最后的未知量．

举一反三：

【变式】某汽车在一段坡路上往返行驶，上坡的速度为10千米/时，下坡的速度为20千米/时，求汽车的平均速度．

【答案】

解：设这段坡路长为a千米，汽车的平均速度为x千米/时，则上坡行驶的时间为小时，下坡行驶的时间为小时．依题意，得：，

化简得： ．

显然a≠0，解得

答：汽车的平均速度为千米/时．

2.相遇问题（相向问题）

3．（2020•云南模拟）昆曲高速公路全长128千米，甲、乙两车同时从昆明、曲靖两地高速路收费站相向匀速开出，经过40分钟相遇，甲车比乙车每小时多行驶20千米．求甲、乙两车的速度．

【思路点拨】设出乙车速度，进而表示出甲车速度，再根据相遇问题，两车行驶的路程之和为128千米列出方程，解方程求出x的值即可．

【答案与详解】

解：40分钟=小时，设乙车速度为x千米/时，甲车速度为（x+20）千米/时，根据题意，得（x+x+20）=128，

解得x=86，

则甲车速度为：x+20=86+20=106．

答：甲车速度为106千米/时，乙车速度为86千米/时．

【总结升华】本题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是根据路程=速度×时间公式列出一元一次方程，此题难度不大．

举一反三：

【变式】（2020•绥棱县期末）A、B两站相距300千米，一列快车从A站开出，行驶速度是每小时60千米，一列慢车从B站开出，行驶速度是每小时40千米，快车先开15分钟，两车相向而行，快车开出几小时后两车相遇？（只列出方程，不用解）

【答案】

解：设快车开出x小时后两车相遇，

根据题意得：60x+40（x﹣）=300．

3.追及问题（同向问题）

4．一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18分钟时，学校要将一紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去，通讯员用多少分钟可以追上学生队伍?

【答案与详解】

解：设通讯员x小时可以追上学生队伍，则根据题意，

得，

得：， 小时=10分钟．

答：通讯员用10分钟可以追上学生队伍．

【总结升华】追及问题：路程差=速度差×时间，此外注意：方程中x表示小时，18表示分钟，两边单位不一致，应先统一单位．

4.航行问题（顺逆流问题）

5．一艘船航行于A、B两个码头之间，轮船顺水航行需3小时，逆水航行需5小时，已知水流速度是4千米/时，求这两个码头之间的距离．

【答案与详解】

解法1：设船在静水中速度为x千米/时，则船顺水航行的速度为(x+4)千米/时，逆水航行的速度为(x-4)千米/时，由两码头的距离不变得方程：3(x+4)＝5(x-4)，解得：x=16，

（16+4）×3=60（千米）

答：两码头之间的距离为60千米．

解法2：设A、B两码头之间的距离为x千米，则船顺水航行时速度为千米/时，逆水航行时速度为千米/时，由船在静水中的速度不变得方程：，解得：

答：两码头之间的距离为60千米．

【总结升华】顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度，根据两个码头的距离不变或船在静水中的速度不变列方程．类似地，当物体在空中飞翔时，常会遇到顺风逆风问题，解题思路类似顺逆流问题．