人教版九年级上册21.1 一元二次方程课后测评

第09课  一元二次方程单元检测（一）

一、单选题

1．下列方程是一元二次方程的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据一元二次方程的定义即可解答.

【详解】

选项A，方程含有分式，选项A不是一元二次方程；

选项B， 方程中含有两个未知数，选项B不是一元二次方程；

选项C，符合一元二次方程的定义，选项C是一元二次方程；

选项D，原方程化简后为-4x+15=0，是一元一次方程，选项D不是一元二次方程.

故选C.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解决问题的关键.

2．若关于x的一元二次方程kx2+2x–1=0有实数根，则实数k的取值范围是

A．k≥–1 B．k>–1

C．k≥–1且k≠0 D．k>–1且k≠0

【答案】C

【详解】

解：∵一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个实数根，∴△=b2﹣4ac=4+4k≥0，且k≠0，解得：k≥﹣1且k≠0．故选C．

点睛：此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．

3．我国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2017年年收入美元，预计2019年年收入将达到美元，设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为，可列方程为

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

关于增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),如果设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x,那么根据题意可用x表示2019地区居民年人均收入,然后根据已知可以得出方程

【详解】

根据题意得出等量关系：增长率=即，故选B.

【点睛】

此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于列出方程

4．一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）

A．12 B．9 C．13 D．12或9

【答案】A

【详解】

因式分解可得：(x－2)(x－5)=0，解得：=2，=5，

当2为底，5为腰时，则三角形的周长为12；

当5为底，2为腰时，则无法构成三角形，

故选A.

5．若关于x的方程x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1，则另一个根为（　　）

A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3

【答案】D

【解析】

【分析】

设方程另一个根为x1，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+（-1）=2，解此方程即可．

【详解】

解：设方程另一个根为x1，

∴x1+（﹣1）＝2，

解得x1＝3．

故选：D．

【点睛】

本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=- ，x1•x2=．

6．一元二次方程x2＋6x﹣5＝0配方后可化为（    ）

A．（x＋3）2＝5 B．（x＋3）2＝14

C．（x﹣3）2＝5 D．（x﹣3）2＝14

【答案】B

【分析】

直接利用配方法进行求解．

【详解】

解：，

，

，

故选：B．

【点睛】

本题考查了配方法，解题的关键是：掌握配方法的基本操作步骤．

7．关于x的一元二次方程﹣kx2﹣6x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ）

A．k＞﹣3 B．k＜3 C．k＜3且k≠0 D．k＞﹣3且k≠0

【答案】D

【分析】

根据方程有两个不相等的实数根，则根的判别式的值大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集，即可得到k的范围，同时注意二次项的系数不为0．

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程﹣kx2﹣6x+3＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0且-k≠0，

∴36-4×（-k）×3＞0且k≠0，
∴k＞﹣3且k≠0，
故选：D．

【点睛】

本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．

8．如图，把一块长为50cm，宽为40cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为400cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

分别用代数式表示出底面矩形的长和宽，即可列出方程

【详解】

根据题意，底面矩形的长为：，宽为：，根据题意得：

故选B

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，根据题意求出底面矩形的长和宽是解题的关键．

9．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），下列命题是真命题的有（    ）

①若a＋2b＋4c＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0必有实数根；

②若b＝3a＋2，c＝2a＋2，则方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实根；

③若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则一定有ac＋b＋1＝0成立；

④若t是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2at＋b）2．

A．①② B．②③ C．①④ D．③④

【答案】C

【分析】

①正确，利用判别式判断即可．②错误，a=-2时，方程有相等的实数根．③错误，c=0时，结论不成立．④正确，利用求根公式，判断即可．

【详解】

解：①∵a+2b+4c=0，

∴a=-2b-4c，

∴方程为（-2b-4c）x2+bx+c=0，

∴Δ=b2-4（-2b-4c）•c=b2+8bc+16c2=（b+4c）2≥0，

∴方程ax2+bx+c=0必有实数根，故①正确．

②∵b=3a+2，c=2a+2，

∴方程为ax2+（3a+2）x+2a+2=0，

∴Δ=（3a+2）2-4a（2a+2）=a2+4a+4=（a+2）2，

当a=-2时，Δ=0，方程有相等的实数根，故②错误，

③当c=0时，c是方程ax2+bx=0的根，但是b+1不一定等于0，故③错误．

④∵t是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，

∴t=，

∴2at+b=±，

∴b2-4ac=（2at+b）2，故④正确，

故选：C．

【点睛】

本题考查命题与定理，一元二次方程的根的判别式，公式法解一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．

二、填空题

10．已知一元二次方程的一个根为0，则________．

【答案】-2

【分析】

把x=0代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程可以求得m的值．

【详解】

解：根据题意将x=0代入原方程得：m2-4=0，

解得：m=2或m=-2，

又∵m-2≠0，即m≠2，

∴m=-2，

故答案为：-2．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．

11．如图，在一块长15m，宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽且相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为，设修建的路宽为x m，则满足的方程是______．

【答案】1

【分析】

把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．

【详解】

解：根据题意得：，

解得：(不合题意，舍去)，

则道路的宽为1米；

故答案为：1．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形底面的最上边和最左边是做本题的关键．

12．据美国约翰斯霍普金斯大学发布的全球新冠肺炎数据实时统计系统，截至美国东部时间3月28日晚6时，全美共报告新冠肺炎确诊人数超过3025万，死亡超过54.9万．已知有一人患了新冠肺炎，经过两轮传染后，共有144人患了新冠肺炎，每轮传染中平均每人传染了__________人．

【答案】11

【分析】

设每轮传染中平均每人传染了人，再根据“经过两轮传染后，共有144人患了新冠肺炎”建立方程，解方程即可得．

【详解】

解：设每轮传染中平均每人传染了人，

由题意得：，

解得或（不符题意，舍去），

即每轮传染中平均每人传染了11人，

故答案为：11．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的实际应用，正确建立方程是解题关键．

13．一元二次方程的两个根为则的值为__________

【答案】

【分析】

根据x1，x2是一元二次方程的两个根，可以求得，，代入计算即可．

【详解】

解：∵的两个根为，

∴，，

∴==，

故答案为：．

【点睛】

本题考查根与系数的关系、一元二次方程的解，解题的关键是找出所求问题需要的条件．

14．若方程，满足则方程必有一根为___．

【答案】-3

【分析】

将代入原方程并整理，可得到系数之间的关系满足题意，由此确定出答案即可．

【详解】

当时，代入原方程得：

，即：，

∴原方程必有一根为，

故答案为：-3．

【点睛】

本题考查一元二次方程根的定义，理解根的定义，并且熟记常见的几组未知数的值对应的系数关系是解题关键．

15．已知方程，则的值为_________．

【答案】3

【分析】

设a=x2+y2，把原方程变为a2-2a-3=0，求得方程的解即可．

【详解】

解：a=x2+y2，

则原方程变为a2-2a-3=0，

解得：a1=-1，a2=3，

∵x2+y2≥0，

∴x2+y2=3．

故答案为：3．

【点睛】

此题考查换元法解一元二次方程，渗透整体思想，注意非负数的性质．

16．如果两个数的差为3，并且它们的积为88，那么其中较大的一个数为_____．

【答案】11或﹣8

【分析】

根据题意设较小的数为x，表示出较大的数，列出方程求出解即可．

【详解】

解：设较小的数为x，则较大的数为x+3，

根据题意得：x（x+3）＝88，即x2+3x﹣88＝0，

分解因式得：（x﹣8）（x+11）＝0，

解得：x＝8或x＝﹣11，

∴x+3＝11或﹣8，

则较大的数为11或﹣8，

故答案为：11或﹣8．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用，弄清题意并根据题意列出方程求出解是解答本题的关键．

三、解答题

17．按照指定方法解下列方程：

（1）．（自选方法）

（2）．（配方法）

（3）（因式分解法）

【答案】（1） ；（2），；（3）．

【分析】

（1）原方程整理成一元二次方程的一般形式，用因式分解法即可；

（2）先把二次项系数化为1，即两边都除以3，然后配方即可；

（3）方程两边分别分解因式，再把左边移项后，提取公因式即可．

【详解】

（1）原方程整理得：

即

∴

（2）方程两边同除以3，得：

配方，得：

根据平方根的定义，得：或

解得：，

（3）两边分解因式得：(x+3)(x-3)=2(x+3)

即：(x+3)(x-3)－2(x+3)＝0

提取公因式得：(x+3)(x-5)=0

∴x+3=0或x-5=0

∴

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法较多，有直接开平方法，配方法，公式法及因式分解法等方法，要根据方程的特点灵活选取适当的方法，提高解方程的速度．

18．已知关于x的方程3x2–(a–3)x–a=0(a>0)．

（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程有一个根大于2，求a的取值范围．

【答案】（1）证明见解析（2）a>6

【详解】

试题分析：（1）先计算根的判别式得到△=（a＋3）2，然后根据a>0得到△＞0，则可根据判别式的意义得到结论；

（2）利用公式法求得方程的两个解为x1＝－1，x2＝，再由方程有一个根大于2，列出不等式，解不等式即可求得a的取值．

试题解析：

（1）证明：Δ＝（a－3）2－4×3×（－a）＝（a＋3）2.

∵a>0，

∴（a＋3）2>0，即Δ>0.

∴方程总有两个不相等的实数根；

（2）∵Δ＝（a＋3）2＞0，由求根公式得x＝，

∴x1＝－1，x2＝.

∵方程有一个根大于2，

∴>2.

∴a>6.

点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

19．某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准各用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示)，

（1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长(AB)和宽(BC)；

（2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．

【答案】（1）鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m；（2）不能，理由见解析．

【分析】

（1）设BC=xm，则AB=（33-3x）m，根据矩形的面积公式结合矩形养鸡场面积为90m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，分别代入（33-3x）中，取使得（33-3x）小于等于15的值即可得出结论；

（2）不能，理由如下，设BC=ym，则AB=（33-3y）m，同（1）可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式△=-111＜0，即可得出结论．

【详解】

解：（1）设BC=xm，则AB=（33-3x）m，

依题意，得：x（33-3x）=90，

解得：x1=6，x2=5．

当x=6时，33-3x=15，符合题意，

当x=5时，33-3x=18，18＞15，不合题意，舍去．

答：鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m．

（2）不能，理由如下：

设BC=ym，则AB=（33-3y）m，

依题意，得：y（33-3y）=100，

整理，得：3y2-33y+100=0．

∵△=（-33）2-4×3×100=-111＜0，

∴该方程无解，即该扶贫单位不能建成一个100m2的矩形养鸡场．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

20．已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿AB边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．

（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？

（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于？

（3）的面积能否等于？请说明理由．

【答案】（1）1秒；（2）3秒；（3）不能，理由见解析

【分析】

（1）设P、Q分别从A、B两点出发，x秒后，AP=xcm，PB=（5-x）cm，BQ=2xcm，则△PBQ的面积等于×2x（5-x），令该式等于4，列出方程求出符合题意的解；

（2）利用勾股定理列出方程求解即可；

（3）看△PBQ的面积能否等于7cm2，只需令×2t（5-t）=7，化简该方程后，判断该方程的与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．

【详解】

解：（1）设经过x秒以后，面积为，

此时，，，

由得，

整理得：，

解得：或舍，

答：1秒后的面积等于 ；

（2）设经过t秒后，PQ的长度等于

由，

即，

解得：t=3或-1(舍)，

∴3秒后，PQ的长度为；

（3）假设经过t秒后，的面积等于，

即，，

整理得：，

由于，

则原方程没有实数根，

∴的面积不能等于．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．

21．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．

（1）设每件童装降价元时，每天可销售______件，每件盈利______元；（用的代数式表示）

（2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元；

（3）平均每天赢利1300元，可能吗？请说明理由．

【答案】（1），；（2）20元；（3）不可能，理由见解析

【分析】

（1）根据：销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量，每件利润=实际售价-进价，列式即可；

（2）根据：总利润=每件利润×销售数量，列方程求解可得；

（3）根据（2）中相等关系列方程，判断方程有无实数根即可得．

【详解】

解：（1）设每件童装降价元时，每天可销售件，每件盈利元，

故答案为：，；

（2）设每件童装降价元，则销售量为件，根据题意得：

，

整理得：，

解得：，．

∵为了扩大销售量，尽快减少库存，

∴．

答：每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元；

（3）设每件童装降价元，则销售量为件，根据题意得：

化简得：

∴方程无实数解，所以不可能每天赢利1300元．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关键．